42

Отсюда при F ' = F

opt

D

³ D' .

(2.10)

opt

Соотношение (2.10) остаётся в силе и в

случае, если F ' £ F

. Это

opt

означает,

что

оптимальная

система

обеспечивает

наибольшую

вероятность

правильного

обнаружения(наименьшую

вероятность

содержание критерия

Неймана-Пирсона. Как и критерий идеального

наблюдателя, он является следствием критерия минимума среднего риска.

Достоинством его

следует считать независимость от априорных

2.2.1

Постановка задачи

На интервале [0,T ]

наблюдается аддитивная смесьr(t) сигнала

и

шума (1.15). Сигнал представляет детерминированную функцию времени и

известных

параметров (1.8). Статистические

свойства

помехиn(t) ,

представляющей

гауссовский

белый , шумсчитаются

известными

и

определяются

соотношениями (1.16).

Задача

правильного

обнаружения

сводиться к определению правила оценивания параметра обнаружения q (т.е.

к нахождению

оценки q* = q* (r(t)) ), обеспечивающего минимум

среднего

риска (или

максимум

весового

критерия). Алгоритм

оптимального

обнаружения должен определить математические операции, по которым для

каждой принятой реализацииr(t) можно найти

наиболее

рациональный

ответ о наличии или отсутствии сигнала. Далее необходимо определить

качественные

показатели обнаружителя, т.е. условные вероятности D и F ,

и выяснить путь реализации оптимального обнаружителя.

2.2.2

Методика решения задачи обнаружения

Для

решения

задачи

оптимального

обнаружения

воспользуемся

критерием

(2.9).

Чтобы

определить

оптимальное

решающее

правило

q* = q* (r(t)) ,

необходимо записать развёрнутое выражение вероятностей D

и F . Эти вероятности характеризуются условными плотностями вероятности

реализации

r(t)

при

наличии

и

отсутствии

сигнала

в.

Чтобысмеси

определить

плотности

вероятности, рассмотрим

простейший

метод

за элементарный интервал Dt

значения колебания r(t) , сигнала s(t) и шума

n(t) :

1

ti

1

ti

ri

=

ò

r(t)dt; si

=

ò s(t)dt ;

Dt

Dt

t -Dt

t

-Dt

i

i

1

ti

ni

(t) =

ò n(t)dt .

(2.11)

Dt

t -Dt

Очевидно, что

i

ni

= ri - si .

(2.12)

величин ni ,

i =1,..., m. Случайные

величины ni с

учётом условий(1.26) и

(2.11)

являются

гауссовскими

и

имеют

характеристики: < n >= 0;

i

s 2 =< n2 >= N

o

(2Dt); < n n

j

>= 0 при i ¹ j . Тогда совместная плотность

ni

i

i

æ p N ö

-m 2

æ

1

m

ö

= ç

o

÷

exp ç

-

åni2 Dt ÷ .

(2.13)

Dt

No

è

ø

è

i=1

ø

значений n = {n1 , n2 ,..., nm }. Знаком

m

совокупности

Õ

обозначено

i=1

произведение, в

данном

случае– одномерных

плотностей

вероятности

независимых случайных величин ni .

При отсутствии сигнала в смесиri

= ni , поэтому

условная

плотность

вероятности совокупности значений реализацииr

совпадает с

плотностью

вероятности помехи (2.13), куда вместо ni

следует поставить ri .

При условии действия суммы сигнала и шума, подставив значения ni из

выражения (2.12), можно

записать

условную

плотность

вероятности

совокупности значений реализации r в следующем виде:

æ

1

m

ö

2

m

l(r) = exp ç

-

åsi2Dt ÷exp

åri si Dt .

(2.18)

No

No

è

i=1

ø

i=1

необходимо

в выражении(2.18)

перейти

к

приделуDt ® 0 . При этом

отношение

правдоподобия (функция

переменных r1 ,..., rm )

перейдёт в

функционал отношения правдоподобия:

æ

1

T

ö

æ

2

T

ö

l(r(t)) = exp ç-

òs2 (t)dt ÷exp ç

òr(t)s(t)dt ÷.

(2.19)

No

No

è

0

ø

è

0

ø

qopt*

ì1,

åñëè

l(r(t)) > l ;

(r(t)) = í

åñëè

o

(2.20)

î0,

l(r(t)) < lo .

1nl(r(t)) = -

E

+

2

z(r(t)) ,

T

No

No

где E = òs2 (t)dt - энергия сигнала;

0

T

z(r(t)) = z(T ) = òr(t)s(t)dt

(2.21)

0

есть

корреляционный

интеграл. С

учётом

этих

соотношений

оптимальное решающее правило принимает следующий вид:

qopt* (r(t)) =

ì1, åñëè

z(T ) > z

ï

;

(2.22)

í

åñëè

î0,

z(T ) < zï ,

где порог zп

= (1nlo + E No ) No 2 .

2.2.3 Корреляционный оптимальный обнаружитель

В соответствии с алгоритмом обнаружения(2.21), (2.22) структурная

схема

оптимального

обнаружителя

может

быть

представлена

ви

корреляционного

приёмника с

пороговым

устройством(рисунок 2.1). В