|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98 |
|
|
|
мощности выходного шума s 2 . Заметим, что значения m и s 2 |
равны одной и |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
той же величине d 2 , которая определяется выражением |
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
1 |
|
æ |
2 |
2 |
m |
|
2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d |
|
= |
|
|
|
ç(1-g |
|
)s0 |
+ å(si |
-g si -1 ) |
÷ . |
|
(2.105) |
|
(1-g |
2 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
)sп |
è |
|
|
i =1 |
|
ø |
|
|
|
Анализ этого выражения показывает, что отношение сигнал/шум при |
|||||||||||||||||
дискретной обработке зависит как от параметров шума сигнала, так и от |
|||||||||||||||||
интервала |
|
дискретизации Dt . |
|
Например, для детерминированного |
сигнала |
||||||||||||
s(t) = A0 cos(w0t +j) |
|
при |
условииw0T = pk, k =1, 2,..., |
когда |
на |
интервале |
|||||||||||
наблюдения [0,T ] укладывается целое число полупериодов гармонического |
|||||||||||||||||
колебания и wDt ¹ pl, l =1, 2,..., |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
A2 |
æ |
|
|
1+g 2 - 2g cos (wDt ) T |
ö |
|
|
|
||||||
d |
2 |
= |
|
0 |
ç |
2 |
j - |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
s |
2 |
ç cos |
|
2(1-g |
2 |
) |
|
Dt |
÷ . |
|
|
|
||||
|
|
|
п |
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|||||
В пределе при Dt ® 0 дискретная обработка переходит в непрерывную и |
|
|||||||||||||||
d 2 ® d02 . |
Отношение |
k · = d 2 |
d02 характеризует потери энергии |
сигнала |
при |
|
||||||||||
дискретной |
обработке, |
представленные |
на |
рисунке2.49, |
в |
зависимости |
от |
|
||||||||
d = aDt |
- нормированного |
интервала |
дискретизации |
при |
фиксированных |
|
||||||||||
значениях |
нормированной |
частотыn = w0 a . Из |
графиков |
видно, |
что при |
|
||||||||||
относительно |
малых |
интервалах |
|
дискретизации |
по |
времени |
качество |
|||||||||
дискретного обнаружителя незначительно уступает качеству аналогового. С |
|
|||||||||||||||
учётом преимуществ дискретной обработки можно считать такие потери |
|
|||||||||||||||
несущественными и использовать эту обработку вместо аналоговой. |
|
|
|
|||||||||||||
Рассмотрение |
дискретного |
различия |
двух |
сигналов |
приводит |
к |
||||||||||
результатам, |
аналогичным |
вышеприведённым, |
поскольку |
вероятность |
|
|||||||||||
ошибочного |
приёма P |
определяется |
величинойd 2 , |
которую |
можно |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычислить по формуле (2.105).
2.7Функция неопределённости сигнала
При совместной оценке времени запаздывания сигнала t (т.е. дальность до цели) и частотного сдвига W (т.е. скорость движения цели) используют
соотношение неопределённости ag ³1,
где a - эффективная длительность сигнала; g - эффективная ширина
спектра сигнала. |
|
|
|
|
|
|
Это |
соотношение |
показывает, что |
сигнал |
не |
может |
иметь |
одновременно сколь угодно малую продолжительность и произвольную малую ширину спектра.
Критерии эффективности указанных параметров могут быть различны. Так, например, для прямоугольного импульса
99
Df ×tи =1,
где Df - это ширина спектральной плотности вида sin x этого сигнала, взятая
|
|
t |
x |
по первым нулям этой |
; |
- длительность прямоугольного |
|
|
функции |
|
|
импульса.
Рисунок 2.50. |
|
|
|
Рисунок 2.51. |
|
|||||||||||||
Для характеристики |
сигналов, зависящих от t и W , вводят функцию |
|||||||||||||||||
неопределённости |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¥ × |
× |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
rн (t , W) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
-ò¥ S 0 (t) S0* (t -t )exp (- jWt )dt |
, |
|
(2.106) |
|||||||
|
2E |
|
||||||||||||||||
где E = |
1 |
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
- энергия сигнала. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ò |
S 0 (t) |
dt |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
-¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функция неопределённости зависит от формы сигнала. Поверхность, |
||||||||||||||||||
определяемую функцией неопределённости, называют |
поверхностью |
|||||||||||||||||
неопределённости. |
Геометрическое |
тело, ограниченное |
поверхностью |
|||||||||||||||
неопределённости |
|
|
и |
плоскостьюr |
= 0 , носит |
название тела |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
неопределённости. Пример тела неопределённости показан на рисунке2.50. Сечение тела неопределённости плоскостями rн = const позволяют судить об
основных свойствах тела неопределённости на |
уровнях сильной( rн = 0, 5 ) и |
слабой ( rн = 0,1) корреляции (рисунок 2.51). |
функции rн2 (t , W), обладает |
Тело неопределённости, построенное для |
|
следующими важными свойствами: при t = W = 0 |
функция неопределённости |
принимает своё наибольшее значение |
|
rн2 (0, 0) = 1 |
(2.107) |
объём тела неопределённости rн2 (t , W) не зависит от вида сигнала, т.е.
¥ |
|
ò ò rн2 (t , W)dt dW = 2p . |
(2.108) |
-¥
100
Соотношение (2.108) можно рассматривать как общую формулировку принципа неопределённости, в соответствии с которым объём тела неопределённости не зависит от вида модуляции сигнала.
Конкретные примеры тел неопределённости будут рассмотрены далее в
гл. 3.
3РАЗРЕШЕНИЕ СИГНАЛОВ[1, 2]
3.1Оптимальное разрешение сигналов
Разрешающая способность оценивается той минимальной разницей в
параметрах |
сигналов, при |
которой |
возможны |
уверенное |
раздельное |
обнаружение сигналов и оценка их параметров. Применительно к системам |
|||||
извлечения |
информации |
разрешающая |
способность |
количественн |
|
оценивается |
минимальной |
разницей в |
координатах или скоростях целей, |
||
позволяющей уверенно и раздельно обнаруживать цели и измерять их координаты. На практике большинство ситуаций сводится к разрешению двух сигналов (целей), поэтому в дальнейшем будем рассматривать этот случай.
В процессе разрешения двух сигналов одновременно решается задача их обнаружения. Наблюдаемая смесь на входе приёмника представляется соотношением (1.17), которое запишем в виде
r(t) =q1s1 (t) +q2 s2 (t) + n(t), t Î[0,T ] ,
где q1 , q2 - независимые случайные величины, которые могут принимать
значения 0 и 1; сигналы s1(t) , s2 (t) считаем полностью известными функциями |
|||||
времени; n(t) - белый гауссовский шум с характеристиками (1.26). |
|||||
При разрешении двух сигналов возможны следующие четыре ситуации: |
|||||
1) наличие в смеси r(t) обоих сигналов и шума (q1 =q2 |
=1); 2) наличие в смеси |
||||
r(t) сигнала s1 |
и шума (q1 =1 , q2 = 0 ); 3) |
наличие |
в |
смеси r(t) |
сигнала s2 и |
шума (q1 = 0 , |
q2 =1); 4) наличие в r(t) |
одного |
шума(q1 =q2 |
= 0 ). Задача |
|
оптимального разрешающего устройства состоит в оценке параметров q1 |
и q2 , |
||||||||||||||||||
обеспечивающей минимум среднего риска(2.2). Этот критерий может быть |
|||||||||||||||||||
сведён к максимизации функционала правдоподобия. В рассматриваемом |
|||||||||||||||||||
случае функционал правдоподобия можно представить в виде |
|
|
|||||||||||||||||
F |
q |
,q |
|
= exp æ - |
1 |
T |
r |
|
t |
|
- s t,q |
,q |
|
2 dt ö , |
|
|
(3.1) |
||
2 ) |
|
ò( |
( |
) |
2 )) |
|
|
||||||||||||
( |
1 |
|
ç |
N0 |
|
|
( |
1 |
|
÷ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
è |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
где s (t,q1 ,q2 ) = q1s1 (t )+q2 s2 (t ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.2) |
|||||||||
Максимизация |
|
|
|
функционала (3.1) |
сводится |
к |
определению |
||||||||||||
минимального значения интеграла в показатели экспоненты. Предположим, |
|||||||||||||||||||
что энергии сигналовs1 и |
s2 |
одинаковы |
и равныE . |
Тогда |
с |
учётом |
|||||||||||||
выражения (3.2) запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
101
T T
l = ò(r (t )- s t(,q1,q2 ))2 dt =òr 2 (t)dt -
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
T |
|
( |
|
) 1 ( ) |
T |
|
( |
|
) |
2 |
|
ò |
r |
t |
2 ò |
r |
t |
(t)dt + |
||||||
-2q |
|
|
s t dt - 2q |
|
|
s |
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
+q12 E + 2q1q2 r12 E +q22 E,
T
где r12 = 1 òs1 (t)s2 (t )dt - коэффициент взаимной корреляции сигналов.
E 0
Определим |
значения q1 |
и q2 , при которых |
обеспечивается минимум |
||||||||||||
величины l . Оценки q |
* |
и q |
* определяются следующей системой уравнений: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
¶l |
|
|
|
|
|
T |
|
( |
|
|
|
dt + r q*E = 0 ; |
(4.3) |
|
|
|
| |
* = q* E - |
ò |
r |
t |
s |
t |
|||||||
|
¶q |
|
|||||||||||||
|
|
|
q =q |
|
1 |
|
) 1 |
( ) |
12 2 |
|
|||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
¶l |
|
|
|
|
T |
|
( |
|
|
|
|
|
(4.4) |
|
|
|
| |
|
* =q* E - |
ò |
r |
t |
s |
t dt + r q* E = 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
¶q |
2 |
q =q |
2 |
|
) 2 |
|
( ) |
12 1 |
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решая уравнения (4.3) и (4.4), получаем значения q1* и q2* , приводящие к минимуму ( l = lmin ):
q* = |
( |
E |
1 |
- r2 |
-1 |
T |
r (t ) |
s |
|
t( -) r s |
(t ) dt ; |
(4.5) |
1 |
|
( |
12 )) |
|
ò |
( |
1 |
12 2 |
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
q* = |
( |
E |
1 |
- r2 |
-1 |
T |
r (t ) |
s |
2 |
t( -)r s |
(t ) dt . |
(4.6) |
2 |
|
( |
12 )) |
|
ò |
( |
|
12 1 |
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Приёмник, реализующий алгоритм (4.5), (4.6), состоит из двух каналов, включающих согласованные фильтры. Импульсные реакции СФ определяются по аналогии с выражением (2.36) и имеют вид:
-1
g1 (t) = C (s1 (t0 - t )- r12 s2 (t0 - t ))(E (1- r122 )) ;
|
g2 (t) = C (s2 (t 0 -t )- r12 s1 (t0 -t ))(E (1- r122 ))-1 , |
|
|
|
||||
где t0 |
³ T , что следует из условия физической реализуемости фильтров. При |
|
||||||
t0 = T |
наибольшее значение сигналов на выходе СФ ожидается в момент t = T ; |
|
||||||
образующиеся |
в этот |
момент |
напряжения сравниваются с |
пороговыми |
||||
уровнями ±lп |
в |
пороговых устройствах(ПУ) (рисунок 3.1). Заметим, |
что |
|
||||
возможна |
реализация |
каналов |
разрешающего |
устройства |
на |
основ |
||
корреляторов.
Вотличие от обнаружителя сигнала с полностью известными
параметрами (например, формулу (2.36) и рисунок 2.7) импульсные реакции g1 (t) =1, 2 , в устройстве разрешения имеют более сложную зависимость от сигналов s1 (t ) и s2 (t ). При отсутствии корреляции между
102
сигналами ( r12 = 0 ) каждый из сигналов превращается в оптимальный
обнаружитель одиночного сигнала. |
|
|
|
|
Определим |
качественные |
показатели |
оптимального |
устройства |
разрешения двух сигналов. Как и при обычном обнаружении, качество разрешения можно охарактеризовать условными вероятностями правильного обнаружения и ложной тревоги.
Рисунок 3.1.
|
Рисунок 3.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для определения этих вероятностей необходимо знать следующие |
|||||||||||||||
условные плотности вероятности: wп (q1* ) |
- при наличии только шума; wс.п (q1* ) |
|
||||||||||||||
- при наличии шума и сигнала s1 ; wп (q2* ) - при наличии только шума; |
wс.п (q2* ) - |
|
||||||||||||||
при |
наличии |
шума |
и |
сигналаs |
. Поскольку |
шум |
является гауссовским, |
|||||||||
случайные величины q |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
* |
и q* |
также |
гауссовские и характеризуются |
своими |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
математическими |
ожиданиями |
|
и |
дисперсиями. Используя |
методику, |
|||||||||||
описанную в п.2.2.4, можно получить выражения для условных плотностей |
||||||||||||||||
вероятности, |
аналогичные |
(2.25), |
(2.26). |
Дисперсии |
sq2 |
и |
sq2 , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
характеризующие |
случайные |
величиныq* и |
q* , при |
одинаковой |
энергии |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
сигналов оказываются равными и определяются выражением |
|
|
|
|
||||||||||||
|
sq2 |
= N0 (2E ((1- r122 |
))). |
|
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
|
||||
|
Условные математические ожидания <q1* > и <q2* > при наличии в смеси |
|
||||||||||||||
шума и сигнала равны единице, при наличии только шума – нулю. Условные |
|
|||||||||||||||
плотности вероятности wп (q1* ) |
и wс.п (q1* ) |
показаны на |
рисунке3.2 для |
двух |
|
|||||||||||
значения r12 : штриховые кривые – для |
¢¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
||||||||
r12 |
, сплошные – для r12 ; здесь принято |
|
||||||||||||||
¢ |
¢¢ |
Вероятность |
|
обнаружения |
сигналаs1 |
не |
зависит |
|
от , |
того |
||||||
r12 < r12 . |
|
|
||||||||||||||
присутствует на |
выходе сигнал s2 |
или нет. То же самое можно сказать и |
о |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
103 |
|
|
|
|
вероятности обнаружения сигнала s2 . |
|
|
|
|
||||||
Вероятность |
ложной |
|
|
тревогиF |
для |
сигналаs1 |
определяется |
|||
вероятностью превышения порога l |
п |
величиной q* |
при условии действия в |
|||||||
смеси только шума: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = P (q1* > lп ,q1 = 0) = òwп (q1* d)q1* = 1-Ф (lп sq ), |
|
|
||||||||
|
lп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где sq определяется из выражения(4.7); Ф (x) |
- интеграл вероятности (2.29). |
|||||||||
Вероятность правильного обнаружения вычисляется по формуле |
|
|||||||||
|
æ l |
п |
-1ö |
|
|
|
|
|
||
D = P (q1* > lп ,q1 = 1) =1-Ф ç |
|
|
÷ . |
|
|
|
|
(3.8) |
||
|
sq |
|
|
|
|
|||||
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
||
Рисунок 3.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фиксируя |
значение |
вероятности |
ложной |
тревогиF , можно |
при |
|
|||||||
заданной величине отношения сигнал/шум q = 2E N0 |
построить зависимости |
|
|||||||||||
вероятности |
D |
от r12 . Семейство таких |
характеристик, |
построенных |
в |
|
|||||||
соответствии |
с |
выражением(3.8) |
при |
различных |
значенияхq , |
образует |
|
||||||
характеристики |
|
разрешения. |
Они |
представлены |
на |
рисунке3.3. |
|
||||||
Характеристики разрешения показывают, что с уменьшением значений |
|
||||||||||||
коэффициента |
взаимной |
корреляцииr12 |
|
и |
увеличением |
отношения |
|||||||
сигнал/шум |
q надёжность |
разрешения |
двух |
сигналов возрастает. Удобно |
|
||||||||
ввести параметр |
разрешения 2E (1- r122 ) N0 |
= q (1- r122 ), |
определяющий |
|
|||||||||
надёжность разрешения. Для канала обнаружения |
сигналаs2 , т.е. для q2* , |
|
|||||||||||
можно получить аналогичные характеристики разрешения. Таким образом, по |
|
||||||||||||
наблюдениям |
|
выходов |
обоих |
|
каналов |
осуществляется |
проце |
||||||
разрешения: при превышении порога только в каналеq |
* принимается |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
решение, что имеется один сигнал s1 ; превышение порогов одновременно
в обоих каналах свидетельствует о присутствии обоих сигналов.
Для двух сигналов, имеющих случайные независимые амплитуды и случайную разность фаз, каналы оптимального устройства разрешения включают согласованные фильтры(СФ), детекторы огибающей (ДО) и пороговые устройства (ПУ). На рисунке 3.4 изображена структурная схема