81

функционирующей

по

правилу n

из m ,

при

m = M

основано на

подсчёте

числа импульсов, превышающих порог. Анализ показывает, что для каждого

значения M

существует оптимальное значение nopt ,

для которого проигрыш

цифрового накопления по сравнению с когерентным

минимален. Рисунок

2.34 показывает

потери

цифрового

последовательного

накопителя

в

зависимости от числа суммируемых импульсов для n0 = nopt и n = 1 при D = 0,5

и F =10-6 .

Штриховая

кривая

представляет

потери

при

квадратичном

накоплении

импульсов. Если

используется

правилоm < M ,

потери

возрастают. Их можно оценить, откладывая по оси абсцисс на рисунке2.34

вместо числа

импульсовM

отношение m'

= M m , определяющее

число

независимых

наблюдений,

при

каждом

из

которых

осуществляется

обнаружение.

Отсчёт

при

этом

следует

производить

по,

прямо

2.5.1

Различение детерминированных сигналов

Рассмотрим задачу различения двух детерминированных сигналов. В

качестве критерия оптимальности примем критерий идеального наблюдателя

(2.7), в

соответствии

с

которым

минимизируется

полная

вероятность

ошибочного приёма Pe .

Принятую смесь сигнала и шума представим в виде(1.6), полагая

сигналы s1(t) и s2 (t) известными точно:

r(t) =q s1 (t) + (1-q)s2 (t) + n(t), t Î[0,T ] .

(2.80)

Параметр q

может

принимать

одно

из

двух

значений– 0 или 1.

Считаются

известными

априорные

вероятностиP(s1 ) и P(s2 )

присутствия

каждого

из сигналов, причём P(s1 ) + P(s2 ) =1. Белый гауссовский

шум n(t)

имеет

нулевой

среднее

значение

и

корреляционную

фу

Rп (t1, t2 ) = (N0 2)d (t1 -t2 ) . По

принятой

реализации(2.80)

требуется

принять

решение о значении параметра q , т.е. определить, какой из двух возможных

сигналов присутствует в реализации. В данной задаче ошибочные ситуации

характеризуются условными вероятностями Pe 2 = P(s1 | s2 ) и Pe1 = P(s2 | s1 ) .

При решении задачи различения двух сигналов можно воспользоваться

методикой,

изложенной

в

.п 2.2.2,

и

определить

оптимальное

решающее

правило

q* (r(t)) ,

минимизирующее

полную

вероятность

ошибкиP .

По

e

аналогии с соотношениями (2.8) и (2.9) критерий минимизации вероятности

Pe можно свести к максимизации взвешенной разности:

P(s1 | s1) - l0 p(s1 | s2 ) = max ,

где P(s1 | s1 )

- вероятность принятия решения о наличии сигналаs1

при

условии

действия в

смесиr(t)

сигнала s1 ;

P(s1 | s2 ) = Pe2

-

вероятность

ошибочного принятия решения о наличии сигналаs ;

l

0

= P(s )

P(s ) -

1

1

2

ì1,

если

l (r(t)) > l ;

(2.81)

q* (r(t)) = í

если

1

0

î0,

l1 (r(t)) < l0 .

Здесь отношение правдоподобия l1 (r(t)) определяется выражением

l1 (r(t)) =

w(r(t) | s1)

æ

E1 - E2

ö

= exp ç

-

÷

´

w(r(t) | s2 )

è

N0

ø

(2.82)

æ

2

T

ö

´exp ç

òr(t)(s1 (t) - s2 (t))dt ÷

,

N0

è

0

ø

H1

2

T r(t)(s

(t) - s (t))dt

> ln

P(s1)

+

E1 - E2

= h ,

(2.83)

N0

1

2

< P(s2 )

N0

ò0

Разность

величин u1 и u2

на выходах

интеграторов

сравнивается с

порогом h1 . Согласованные с сигналом s1 и s2

фильтры (СФ) на рисунке 2.36

обеспечивают

формирование

в

t = t + t

, t

0

³ T

, величин,

момент0

з

пропорциональных значениям u1 и u2 . При t0

= T

и C = 1

импульсная реакция

различителей одноканального типа приведены на рисунках 2.37, а, б.

Вычислим

вероятность

общей

ошибкиP

различителя

двух

e

детерминированных сигналов. Рассмотрим симметричную систему передачи.

Решающее правило (2.83) содержит

в

левой

части

неравенства величину,

которая зависит от

реализации шума и

поэтому случайна. Поскольку n(t)

-

подчиняется гауссовскому закону. При

наличии смесиr(t) сигнала s1(t)

выражение в левой части неравенства можно представить в виде

T

u(T ) = us1 = ò(s1 (t) + n(t)) (s1 (t) - s2 (t))dt .

0

Гауссовская случайная величина us1

имеет среднее значение

< us1 >= E(1- rs )

(2.85)

и дисперсию

< us21 > - < us1 >2 = EN0 (1- rs ) .

(2.86)

Здесь

T s (t)s (t)dt

r =

1

(2.87)

E

s

ò0

1 2

При условии наличия

в смесиr(t)

сигнала s2 (t)

случайная величина

u(T ) , образующаяся

на

выходе

коррелятора

или, определяетсяСФ

выражением

T

85

< us 2

>= -E(1- rs ) ;

(2.88)

дисперсия

>2 = EN0 (1- rs ) .

(2.89)

< us22

> - < us 2

Выражения

(2.85) – (2.89) получены

в соответствии с методикой,

приведённой в п. 2.2.3.

Плотности вероятности w1 (us )

и

w2 (us ) определяются при условии

присутствия в смеси сигналовs1 и

s2 соответственно. Вид

этих условных

плотностей вероятности показан

на

рисунке2.38, где

заштрихованные

Рисунок 2.39.

Рисунок 2.40.

Указанные вероятности определяются выражениями:

¥

h

p(s1 | s2 ) = òw2 (u)du;

p(s2 | s1 ) = ò w1 (u)du .

(2.90)

h

-¥

æ ¥

0

ö

Pe = 0, 5ç òw2 (u)du + ò

w1 (u)du ÷ .

è 0

-¥

ø

Pe =1-Ф (

),

(2.91)

0, 5q(1- rs )

где q = 2E N0 - отношение сигнал/шум; Ф(x)

- интеграл

вероятности

(2.29).

образом, вероятность

полной

ошибки

при

приёме

Таким

отношения

сигнал/шум q = 2E N0

зависит от величины коэффициента

взаимной корреляции сигналовrs . Наибольшей помехоустойчивостью

обладают сигналы с минимальным коэффициентом корреляцииrs . Следует

отметить,

что

rs

£ 1. Для

противоположных

сигналов s1 (t) = -s2 (t)

имеем

rs = -1, для одинаковых сигналов s1 (t) = s2 (t) коэффициент rs

=1. Сигналы s1(t)

и s2 (t) ортогональны, если

rs = 0 . Наибольшей

различимостью

обладают

сигналы,

одинаковые

по

форме

и

противоположные

по

знак

(противоположные сигналы). Одинаковые сигналы различить невозможно.

Вероятность

ошибки P

зависит от

коэффициента

корреляцииr , как

e

s

показано

на

рисунке2.39,

где

значения

отношения

сигнал/шум

зафиксированы.

Наименьшую

вероятность Pe

можно

достичь

приrs = -1.

Если rs =1 то, независимо от значений q , вероятность Pe

= 0, 5 .

Обычно пользуются кривымипотенциальной помехоустойчивости,

которые

характеризуют

зависимость

вероятности

общей

ошибкиP от

e

отношения

сигнал/шум q

при

оптимальном

приеме

детерминированных

манипулированных

сигналов,

применяемых

для

передачи

двоичных

сообщений.

При амплитудной модуляции (АМ)

и

передаче

сообщений с

пассивной паузой

s1(t) = Am cos(w0t +j); s2 (t) = 0, t Î[0,T ] .

В этом случае rs = 0 , а характеристики плотностей вероятности w1 (us ) и

w (u

) следующие:

< u

s1

>= E ;

< u

s 2

>= 0 ;

< u2

> - < u

si

>2 = N

E 2 ,

i =1, 2 ,

где

2 s

si

0

вероятность

Pe минимальна. Из

условия dPe dh = 0 или по формуле(2.83)

находим hopt

= E 2 . При таком

пороге вероятностьPe минимальна и равна