¥

2)dn = exp (-hп2

2).

F = òn exp (-n 2

hп

Приведённые

соотношения

определяют

семейство

характеристик

обнаружения, показанных на рисунке 2.17 (штрихпунктирные кривые).

При сигнале со случайной амплитудой и начальной фазой условные

вероятности

D

и

F

определяются

площадями, заштрихованными

под

кривыми wс.п (Z ) и wп (Z )

на рисунке 2.18. Эти вероятности вычисляются по

следующим формулам:

¥

æ

2

ö

hп

2

D = ò wс.п (Z )dZ = exp ç -

÷;

(2.64)

h

è

1+ q 2 ø

п

¥

2).

F = ò wп (Z )dZ = exp (-hп2

(2.65)

hп

Исключив

величину hп

из

соотношений(2.64)

и

(2.65),

получим

¢-1

D = F (1+q 2)

Кривые обнаружения, соответствующие данному случаю, приведены на

рисунке 2.17 (сплошные). Для

сравнения

на этом

же

рисунке

показаны

кривые

обнаружения

сигнала

с

полностью

известными

параметрами

(штриховые). Из

анализа

кривых

можно

сделать

вывод

о,

чтотом для

обнаружения сигнала со случайными параметрами требуется большая

энергия,

чем

для

обнаружения

полностью

известного

сигнала при

условии одинаковых качественных показателей обнаружения. Кривые

обнаружения для сигнала со случайной амплитудой при больших значениях

вероятности

D

смещаются

вправо

особенно

сильно, что

объясняется

возможностью значительных замираний сигнала в канале распространения и

снижением

качества обнаружения. Вместе с

тем

при

малых

значенияхD

(менее 0,2)

из-за

случайного

характера

амплитуды

возможно

некоторое

2.4.1 Отношение

правдоподобия

для

сигналов

в

флуктуирующей

и

нефлуктуирующей

пачек

радиоимпульсов

со

случайными начальными фазами

Модель сигнала в виде некогерентной пачки радиоимпульсов

задана

выражением (1.21). Начальные фазы радиоимпульсов ji º bi ,

i =1,..., k

(k-

каждая

из

которых

равномерно

[

,p

]

, т.е.

распределена на интервале-p

w(bi ) =1 (

2p ),

i =1,..., k .

Совместная

плотность

вероятности

ur

совокупности независимых случайных величин b = {b1 ,..., bk } определяется

выражением

ur

k

w(b

=) Õw(bi ) .

(2.66)

i=1

Как и в .п2.3.3, по формуле косинуса суммы приводим выражение

(1.11) к следующему виду:

ur

k

(t )cos bi + s2i

(t )sin bi ),

s (t, b

= )å(s1i

(2.67)

где

i=1

s1i (t ) = S0i (t )cos (w0t +yi (t )),

s2i (t ) = -S0i

(t )sin (w0t +yi (t )).

Условное значение корреляционного интеграла можно

записать на

основе выражения (2.67):

r

¥

r

k

z (r(t) | b )= ò r(t)s(t, b)dt =

å(z1i cos bi

+ z2i sin bi ) ,

(2.68)

-¥

i=1

где интегралы взяты без конкретизации пределов и принято

¥

z ji

= ò r(t)s ji (t)dt, j =1, 2;i =1,..., k .

-¥

Обозначив

z2 + z2 = Z

,

1i

2i

i

приведём выражение (2.68) к виду

r

k

z(r(t) | b ) =

åZi cos(bi - Qi ) .

(2.69)

i=1

Если

пачка

состоит из неперекрывающихся импульсов, то

энергия

амплитуды и фазы yi (t)

в пределах импульса за время периода колебаний

высокой частоты можно записать:

k

k

1

¥

k

E(b ) = åEi (bi ) ;å

ò S02i (t)dt = åEi ,

(2.70)

2

i=1

i=1

-¥

i=1

k

1

¥ 2p

æ

2

ö

l(r(t)) = Õ

òdAi

ò Ai exp(-Ai2 ) exp ç -

Ai Ei

÷´

p

N0

i=1

0

0

è

ø

æ

2Ai Zi

ö

´exp ç

cos (bi

- Q1 )÷d bi .

è

N0

ø

Каждый из сомножителей в этом выражении может быть подвергнут

преобразованию

с учётом соотношения(2.58) [по аналогии с выводом

формулы (2.59)]. В итоге получим выражение для отношения правдоподобия:

k

N0

æ

1

2

ö

l(r(t)) = Õ

Zi

exp ç

÷.

(2.74)

Ei + N0

N0 Ei

i=1

è

+

N0 ø

неперекрывающихся

спектрах

сигналов, если

даже

эти

сигналы

накладываются друг на друга. Такие многочастотные сигналы используют

для борьбы с замираниями.

2.4.2

Структурные схемы обнаружения пачек импульсов

Упростим алгоритм обнаружения пачек, используя

монотонную

функцию от отношения правдоподобия. Решающее правило при этом не

меняется. Прологарифмировав выражения (2.71) и (2.74), получим:

k

æ

ö

k

Ei

ln l(r(t)) = åln I

0 ç

2Zi

÷

-

å

;

i=1

è

N0 ø i=1

N0

1

k

2

k

N0

ln l(r(t)) =

å

Zi

+ åln

.

N0

Ei

+ N0

i=1

i=1

Ei + N0

При

логарифмировании

операции

умножения

были

заменены

операциями сложения, которые реализуются проще.

Оптимальные

решающие

правила

обнаружения

пачек

импульсов

сводятся к сравнению с порогом следующих велич: прин обработке

нефлуктуирующей пачки

k

æ

2Zi

ö

åln I0 ç

÷;

N0

i=1

è

ø

при

обработке

некогерентной

пачки

с

независимыми

флуктуациями

импульсов

2

k

å

Zi

.

(2.75)

i=1 Ei

+ N0

73

1

¥

· *

Zi =

-ò¥

R(t) S 0i (t)dt

,

(2.76)

2

· *

где S 0i (t) = S0i

exp(- jyi (t)) - полностью известная функция, определяемая

параметрами i -го импульса.

Zi = si Z0i ,

(2.77)

где

величины Z0i , i =1,..., k, соответствуют

нормированным по

амплитуде

импульсам siн (t) и

могут быть получены с помощью схемы,

состоящей

из

согласованного

фильтра и детектора огибающей. После

детектора огибающей, согласно формуле (2.77), необходимо добавить схему

ввода весовых

множителей si .

Таким образом, в обнаружителе требуется

вычислять

значения ln I0 (2si Z0i

N0 ),i =1,..., k, и

суммировать их(для

При

малых

значениях

аргумента(u <<1) ln I0

(u) = u2 4 ,

т.е.

характеристика

нелинейного

элемента

может

быть

представл

квадратичной

параболой. При

сильных

сигналах(u >>1)

справедливо

асимптотическое выражение ln I0 (u) ;u ,

позволяющее

аппроксимировать

характеристику НЭ линейной функцией.

Таким образом, для пачки импульсов с малыми амплитудами(по

сравнению с шумом) имеем

k

æ

ö

k

2

2

2si Z0i

si Z0i

åln I0 ç

÷

@ å

;

(2.78)

N0

2

i=1

è

ø

i=1

N0

при больших амплитудах

k

æ

2si Z0i

ö

k

2si Z0i

åln I0 ç

÷

@ å

.

N0

i=1

è

ø

i=1

N0