Основы физической оптики

61

Sm = s1 - s2 + s3 - s4 + s5 - s6 + . . . = s1 - (s2 - s3) - (s4 - s5) - (s6 - s7) ….

Из условия s1 > s2 > s3 > s4 ... вытекает, что все выражения в скобках положительны, так что Sm < s1. Световая мощность в точке В

пропорциональна квадрату амплитуды результирующего возмущения, следовательно, Sm2 < s12.

Итак, амплитуда результирующего колебания в точке В, вследствие взаимной интерференции света, идущего от различных участков фронта сферической волны, меньше амплитуды, создаваемой действием одной центральной зоны. На этом основании предложены элементы, называемые зонными пластинками Френеля (или линзами Френеля), позволяющие увеличить амплитуду возмущения в точке наблюдения путем экранирования четных зон Френеля, либо фазировкой возмущений от соседних зон [].

При дифракции на щели и периодической структуре рассматривают, как правило, случай дифракции в параллельных лучах, или дифракцию Фраунгофера.

Для одномерной щели шириной b, при нормальном падении на нее плоской световой волны, распределение амплитуды и интенсивности в дальней зоне описываются выражениями:

где q - угол наблюдения, A0 и I0 – амплитуда поля и его интенсивность в плоскости щели.

При дифракции плоской волны на системе из N щелей шириной b, расположенных с пространственным периодом d в непрозрачном экране, распределение интенсивности света в дальней зоне имеет вид:

Первый множитель в (2.83) описывает дифракцию света на каждой щели, а второй учитывает интерференцию световых полей, излучаемых всеми щелями.

62

3. ОПТИКА ОГРАНИЧЕННЫХ СВЕТОВЫХ ПУЧКОВ

Плоская однородная световая волна – это всего лишь математическая абстракция. Реально в оптике имеют дело с ограниченными световыми пучками. В случае монохроматического лазерного излучения подобные пучки иногда могут рассматриваться как плоские световые волны. Однако во многих случаях их поведение существенно отличается от поведения плоских волн. Это обусловлено эффектами дифракции. Основной задачей теории дифракции является определение амплитуды, фазы и поляризации (в случае векторных волн) волнового возмущения в любой точке пространства при наличии препятствий на пути распространения поля. Ввиду сложности дифракционных задач, важную роль играют различные приближенные методы их решения.

3.1. Угловой спектр плоских волн

Представление световых полей в виде углового спектра плоских волн часто используется при приближенных решениях дифракционных задач. Данный подход, как и Фурье – анализ сигналов во временной области, основан на применимости принципа суперпозиции к линейным системам.

Пусть плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси Z и проходит через транспарант, помещенный в плоскости z=0. Комплексная амплитуда светового поля в данной плоскости после транспаранта имеет вид E0(x, y, 0). Необходимо определить амплитуду поля в некоторой точке M(x, y, z) за экраном. Для наглядности упростим ситуацию, рассматривая лишь одну поперечную координату. Положим, что световое поле однородно в направлении оси Y, т.е. может быть представлено в виде E0(x, 0). Очевидно, что аналогично функциям во времени, распределение E0(x) может быть представлено в виде суммы (конечной или бесконечной) гармонических составляющих с амплитудами и фазами, определяемыми соотношениями Фурье:

Здесь wx указывает на число периодов гармонической функции на единице длины. Гармоническое распределение амплитуды светового поля по пространственной координате x можно представить как результат падения на эту плоскость плоской волны, распространяющейся под некоторым углом к оси Z. Таким образом, заданное распределение E0(x) можно рассматривать как результат суперпозиции совокупности плоских световых волн,

63

распространяющихся под разными углами к оси Z. Характеризуя плоские волны волновыми векторами, а их углы относительно оси Z – проекциями волновых векторов на ось X, соотношения (3.1, 3.2) представим в виде:

Функция F0(kx) называется угловым спектром распределения E0(x) и представляет собой не что иное, как указанную совокупность плоских световых волн. Действительно, выражение F0 ( kx ) exp( -ikx × x ) определяет комплексную амплитуду плоской световой волны в плоскости z=0 с

зависящей от направления распространения. Временной множитель exp(iwt) здесь опущен. Отметим, что kx=k·sina, kz=k·cosa, где a – угол между волновым вектором k и осью Z.

Итак, выражение (3.3) представляет собой разложение комплексной амплитуды поля E0(x, 0) в угловой спектр плоских волн.

Если бы угловой спектр светового поля был известен в любой плоскости, параллельной плоскости транспаранта, т.е. при любом z, то распределение поля E(x) в этой плоскости могло быть определено соотношением:

−∞

Вслучае однородной среды световое поле E(x, y, z) удовлетворяет уравнению

Гельмгольца Ñ2 E + k 2 E = 0 . В силу линейности ситуации каждая плоская волна углового спектра и весь угловой спектр также удовлетворяют этому уравнению. Подставляя (3.5) в уравнение Гельмгольца, легко получить следующее уравнение:

65

Связь углового спектра за экраном с его исходным видом и видом отверстия

Если световое поле En(x) проходит через экран (транспарант) с комплексной функцией пропускания g(x), то поле за экраном имеет вид:

Угловой спектр поля E0(x,0) представляет собой в этом случае свертку угловых спектров падающего светового поля Fi ( k x ) и транспаранта F( k x ) :

−∞

В качестве примера рассмотрим случай нормального падения плоской световой волны с единичной амплитудой на непрозрачный экран с отверстием шириной a в направлении оси x. Функция пропускания экрана при этом определяется соотношением:

Угловой спектр падающей волны представляет собой дельта – функцию: Fi ( kx ) = d( kx ), а угловой спектр поля за экраном имеет вид:

Для оценки ширины углового спектра используют условие равенства нулю

оси z. Таким образом, ширина углового спектра оценивается по величине отношения длины волны света к размеру отверстия.

3.2. Параболическое уравнение

Распространение световых волн в пространстве описывается волновым уравнением: Ñ2 E + k 2 E = 0 , где E = E( x, y,z,t ). Рассматривая световые пучки, принимаем во внимание, что их поле сконцентрировано вблизи оси пучка и быстро спадает до нуля в поперечных направлениях. Поэтому для них нет необходимости в рассмотрении точек пространства, далеко отстоящих от оси пучка. В то же время, вследствие эффектов дифракции, амплитуда поля в пучке, в отличие от случая плоских волн, изменяется в продольном направлении. Для учета эффектов дифракции ищем поле пучка (в скалярной форме) в виде:

67

амплитуды в поперечных плоскостях и кривизну волнового фронта в пучке. Дифференцируя (3.18) по пространственным координатам, получим:

Условие (3.19) должно выполняться при любых x, y, z. Но это возможно лишь при одновременном выполнении условий:

Постоянная интегрирования z0 может быть найдена из граничных условий. Удобно полагать, что при z=0 фазовый фронт пучка является плоским, а распределение амплитуды имеет вид:

Для удобства будем записывать выражение для q в форме q = z + iz0 . Предположение плоского фазового фронта означает, что P(0)=0:

68

где F = arctg( - z ). Далее, из соотношения для q(z) найдем 1/q: z0

Если заданы длина волны света l и ширина пучка w0 , то его параметры оказываются полностью определенными. Добавка iΦ в (3.29) описывает отличие фазы пучка от фазы плоской волны. Амплитудный множитель перед экспонентой в (3.29) описывает изменение амплитуды пучка вследствие эффекта дифракции. Поле пучка в полной форме включает еще множитель exp( −ikz ) . Тогда волновой фронт пучка определяется соотношением:

Пренебрегая величиной Φ , которая, как правило, невелика, получим соотношение:

k ( x2 + y 2 ) = k ×( z1 - z ) или 2R

Последнее соотношение представляет собой уравнение поверхности вращения. Параметр R является радиусом кривизны этой поверхности для точек на оси пучка.

Пространственная форма пучка определяется изменением его амплитуды. Она может быть найдена из условия:

Выражение (3.32) является уравнением однополостного гиперболоида

3.4. Угловой спектр гауссова пучка

Пусть распределение амплитуды светового поля в плоскости z=0 задано соотношением:

Таким образом, видим, что угловой спектр гауссова пучка также имеет гауссову форму.

3.5. Гауссовы пучки высших порядков

Выше рассматривалось лишь одно аналитическое решение уравнения (3.17), а именно фундаментальный гауссов пучок, который называют также основной модой свободного пространства. Но кроме этого существуют и

70

другие решения параболического уравнения (3.17), определяющие поля пучков с неизменной формой распределения амплитуды по поперечному сечению. Данные решения называют высшими модами свободного пространства. Все подобные решения (3.17) образуют полную ортогональную систему функций, поэтому любое произвольное монохроматическое световое поле может быть представлено в виде суперпозиции мод свободного пространства.

В декартовой системе координат решение уравнения (3.17) может быть записано в виде: