Основы физической оптики

51

n = n × sin θ1

2 1 sin q2

и подставим его в указанное условие (2.60). В результате придем к соотношению: sinq1×cosq1 = sinq2× cosq2. Но, так как q1¹q2, то это соотношение может выполняться лишь в случае, когда q2=(90° - q1). При этом sinq1 = cosq2. Поэтому условие (2.60), или R =0, примет вид: n2×cosq1 - n1×sinq1 = 0 или отсюда:

Эффект Брюстера или эффект полного прохождения вертикально поляризованной электромагнитной волны через границу раздела диэлектриков широко используется на практике. Одним из примеров являются газоразрядные трубки газовых лазеров. Их выходные окна наклонены к оптической оси трубки под углом Брюстера для выделения излучения с линейной поляризацией и минимизации потерь оптического резонатора для данного излучения.

2.9.3. Нормальное падение плоской световой волны на границу раздела

Важным с практической точки зрения случаем является падение световых волн на границу раздела сред (q=0˚). Коэффициенты Френеля, определяющие амплитуды отраженных волн, вне зависимости от поляризации (смысл понятий горизонтальная и вертикальная поляризация при этом исчезает) оказываются одинаковыми. Коэффициент отражения по интенсивности (обозначается, как правило, строчными буквами r) в практически важном случае отражения света от границы раздела среды и воздуха находится тогда из простого соотношения:

r = R 2 = (n -1)2

(n +1)2

2.9.4. Явление полного внутреннего отражения

Расмотрим случай, когда электромагнитная волна падает на границу раздела из оптически более плотной среды (n1>n2). Из закона Снеллиуса следует, что при этом угол преломления больше, чем угол падения: q2>q1. Таким образом, при величине угла падения, отвечающей условию:

52

преломленная волна должна распространяться вдоль границы раздела (sinq2=1). Угол θ1кр = arcsin(n2 n1 ) называют критическим углом полного

внутреннего отражения. Очевидно, что при углах падения больше критического электромагнитная волна во второй среде уже не может уходить от границы. Выясним, какова структура поля электромагнитной волны в первой и во второй средах при таких углах падения. В этом случае выражение для величины cosq2, необходимой для определения коэффициентов Френеля, можно записать в форме:

Тогда выражения для коэффициентов отражения при горизонтальной и вертикальной поляризации принимают вид:

Таким образом, при q1>q1кр коэффициенты отражения являются комплексными величинами: R = |R|×exp(ij), причем |R|||=|R |=1. А это означает, что потоки энергии, связанные с падающей и отраженной волнами, равны.

Поле (EΣ) в первой среде найдем, учитывая наличие в ней как падающей (Ei), так и отраженной (Er) волн: EΣ = Ei + Er. Выражения для комплексных амплитуд падающей и отраженной волн, очевидно, можно записать в виде:

Здесь j - фаза коэффициента отражения. Умножая Ei на единицу, представленную в форме exp(-ij/2)×exp(ij/2), и, проведя простые преобразования, получим:

54

Видим, что поле во второй среде также представляет собой неоднородную плоскую волну, бегущую вдоль границы раздела. Но в данном случае амплитуда поля очень быстро уменьшается по экспоненциальному закону с удалением от границы (поле становится пренебрежимо малым на растояниях z»l). Тем не менее, оно может быть обнаружено в физических экспериментах даже для света видимого диапазона длин волн.

Расмотрим фазовые соотношения при полном внутеннем отражении (как уже отмечено, коэффициенты отражения являются в этом случае комплексными величинами). Из вида выражений для R , R|| следует, что они могут быть представлены в форме: R=Z/Z*, где Z* - комплексно сопряженная величина к Z. Фазы коэффициентов отражения для волн горизонтальной и вертикальной поляризаций различны и являются функциями угла падения. Из представления R=Z/Z* и с учетом соотношения Z=|Z|×exp(ij), вытекает:

| Z | ×exp( ia )

| Z | ×exp( -ia )

Поэтому отсюда очень просто находим фазу j/2 :

И действительно, видим, что величины фазовых сдвигов при полном внутреннем отражении от границы раздела ЭМВ с разной поляризацией различны.

Явление полного внутреннего отражения электромагнитных волн от границы раздела двух сред находит широкое применение в современной технике. В случае радиодиапазона оно является основой для построения диэлектрических волноводных элементов. Особую роль данный эффект и подобные волноводные элементы играют в оптике. Волоконные световоды, канальные и планарные оптические волноводы представляют собой основу элементной базы современных оптических систем связи и обработки информации.

2.10. Когерентность световых волн

Под понятием когерентности волновых процессов подразумевается согласованность, корреляция каких – либо характеристик этих процессов, рассматриваемых в разных точках пространства в разные моменты времени.

55

2.10.1. Понятие полной когерентности

Рассмотрим следующий пример. Пусть точечный источник света испускает монохроматическую сферическую волну. С помощью линзы часть светового поля преобразуется в плоскую волну, для которой поле определяется выражением:

где φ – фаза волны в точке z=0 в момент времени t=0. Для определенности считаем плоскую волну поляризованной линейно. Пусть теперь мы имеем две

частотами, но разными начальными фазами, от двух точечных источников. Суммарная интенсивность света в некоторой точке z задается соотношением:

Для сокращения записей операцию усреднения по времени будем представлять также в форме:

Необходимость усреднения по времени при вычислении энергетических характеристик светового поля, как уже отмечалось, обусловлена инерционностью любых фотоприемных элементов, что не позволяет измерить мгновенное значение вектора поля. Подставляя в (2.72) выражения для E1x(z,t) и E2x(z,t), получим:

56

Здесь I1 и I2 – интенсивности света в точке z, создаваемые первым и вторым источниками, соответственно. Очевидно, что суммарная интенсивность поля в данной точке существенным образом зависит от усредненного по времени значения разности фаз возмущений в этой точке, создаваемых разными источниками. При I1=I2=I0 величина I в точке z может изменяться от 0 до 4I0 в зависимости от разности фаз (φ1– φ2), если эта разность фаз постоянна во

Рассмотренная ситуация является идеализированной, поскольку мы говорили о точечных источниках и строго монохроматических полях. Реальные источники всегда имеют конечные размеры, а реальные световые волны не могут быть строго монохроматическими. Поэтому попытаемся уточнить понятие когерентности.

2.10.2. Временная когерентность

Будем считать источник излучения точечным, но само излучение полагаем не строго гармоническим, а имеющим форму цуга:

где τ – некоторая постоянная. Пусть цуг расщепляется на два с помощью полупрозрачного зеркала, а глухое зеркало изменяет направление распространения излучения, так что оба цуга встречаются в точке С (рис.2.6). Если разность путей цугов L такова, что L/c<<τ, то в точке С, очевидно, встречаются почти одни и те же части исходного цуга. Если же L/c>τ, то в

данной точке встречаются уже разные цуги. Произведение τc определяет длину когерентности, а сама рассмотренная ситуация иллюстрирует понятие временной когерентности. Постоянную времени τ называют временем когерентности.

2.10.3. Функция взаимной когерентности

При рассмотрении источников излучения конечных размеров используем более общий подход, суть которого иллюстрируется рисунком 2.7. Здесь излучение источника конечных размеров проходит через экран с двумя щелями, и мы находим интенсивность света в некоторой точке М плоскости P. Очевидно, она определяется соотношением:

E1( t - t1 ) × E1* ( t - t1 ) = E1( t ) × E1* ( t ) = I1

E2 ( t - t2 ) × E2* ( t - t2 ) = E2 ( t ) × E2* ( t ) = I2

Здесь I1 – интенсивность света в точке М, создаваемая при закрытом отверстии В2; а I2 – интенсивность света в этой точке, создаваемая при закрытом отверстии В1. Далее:

E1( t - t1 ) × E2* ( t - t2 ) + E2 ( t - t2 ) × E1* ( t - t1 ) =

= E1( t - t1 + t2 ) × E2* ( t ) + E2 ( t ) × E1* ( t - t1 + t2 ) = 2 Re E1( t + t ) × E2* ( t ) ,

где t=t2 – t1.

Тогда выражение для интенсивности света в точке М можно записать в виде:

Последнее слагаемое в (2.77) описывает эффект корреляции световых

Однако наиболее часто используется нормированная функция взаимной когерентности γ12 , определяемая соотношением:

Таким образом, для интенсивности света в точке М окончательно имеем:

IΣ = I1 + I2 + 2I1I2 Re[ g12 ( t )]

Очевидно, что величина γ12 изменяется в пределах от 0 до 1.

2.10.4. Временная и пространственная когерентность

Рассмотрим модифицированную схему эксперимента (рис. 2.8).

58

случае в точку М приходят волновые возмущения только от отверстия В1.

Рис. 2.10.

Соответственно, выражение для нормированной функции взаимной когерентности принимает вид:

некоторой точке пространства в разные моменты времени, т.е. она характеризует временную когерентность светового поля.

Второй частный случай соответствует равенству оптических путей волновых возмущений от отверстий В1 и В2 до точки М (рис. 2.9). Тогда

Рис. 2.11.

2. 11. Дифракция света на щели и периодических структурах

В явлениях дифракции проявляются волновые свойства световых полей, а под самим термином “ дифракция” понимается отклонение свойств световых волн от идеализированных геометрической оптикой. В приближении геометрической оптики при наличии в световом поле, создаваемом точечным излучателем, некоторого непрозрачного препятствия, за ним должна наблюдаться резкая граница между областью «света» и

59

«тени». Реально в предполагаемой области «тени» обнаруживается электромагнитное поле, что объясняется с позиций волновой теории огибанием препятствий волновым возмущением. Дифракционные задачи относятся к наиболее сложным, их строгое решение может быть получено лишь для ряда частных случаев. При анализе явлений дифракции в большинстве случаев используются приближенные методы, в частности – теория Гюйгенса – Френеля. Важными частными случаями являются дифракция плоской световой волны на прямоугольной щели и периодической структуре – амплитудной дифракционной решетке.

Согласно положению Гюйгенса, каждая точка волнового фронта волны любой природы играет роль источника вторичных сферических волн. Волновой фронт в некоторый более поздний момент времени может быть найден как огибающая волновых фронтов всех вторичных волн. Френель объяснил эффекты дифракции, используя положение Гюйгенса, дополненное утверждением об интерференции вторичных волн между собой. Сочетание положения Гюйгенса с дополнением Френеля называется принципом Гюйгенса – Френеля [2].

Для рассмотрения задачи о прямолинейном распространении света Френель, скорректировав формулировку принципа Гюйгенса, предложил метод, получивший название метода зон Френеля. Суть его сводится к следующему.

Рассмотрим величину возмущения в точке В, обусловленного световой волной, испускаемой источником в точке А. Следуя принципу Гюйгенса – Френеля, введем воображаемые источники вторичных волн, расположенные на поверхности S фазвого фронта волны, испускаемой источником в точке А

(Рис. 2.12).

Рис. 2.12.

Можно упростить поиск результата интерференции вторичных волн, применив следующий прием, впервые использованный Френелем. Соединим точки А и В, а поверхность S разобьем на концентрические области такого размера, чтобы расстояния от их краев до точки В отличались на λ/2, т.е.

(М1В - М0В) = (М2В – М1В) = (М3В - М2В) = ... = λ/2.

60

Размеры полученных таким образом зон легко вычислить. Из рис. 2.13 для первой зоны найдем:

r 2 = a2 − (a − x)2 = (b + λ 2)2 − (b + x)2

Рис. 2.13. Определение площади первой зоны Френеля.

и площадь сферического сегмента, соответствующего первой (центральной) зоны можно найти, как:

2pax = 2pa × b × λ = πab × l a + b 2 a + b

Для площади области, соответствующей двум первым зонам, найдем

зон также практически равны этой величине. Таким образом, подход Френеля сводится к разбиению волнового фронта на концентрические зоны с

одинаковой площадью SF:

SF = πab ×l a + b

Для вычисления возмущения в точке В учтем, что вклад последующих зон в это возмущение тем меньше, чем больше угол между нормалью к поверхности зоны и направлением на В. Пусть действие центральной зоны в точке В создает возбуждение с амплитудой s1, действие соседней зоны - с амплитудой s2, следующей - с амплитудой s3 и т.д. Поскольку действие зон постепенно (хотя и незначительно) убывает от центра к периферии и действия соседних зон ослабляют друг друга, то найдем, что окончательное значение амплитуды возбуждения в точке В всеми зонами, т.е. всей световой волной, будет равно: