Основы физической оптики

где Fb – поток вектора электрической индукции через боковую поверхность цилиндра. Уменьшая неограниченно высоту цилиндра Dh, придем к слиянию оснований цилиндра на границе раздела. При этом поток Fb через его боковую поверхность исчезает (Fb=0), а единичные векторы нормалей к основаниям цилиндра оказываются параллельными, но противоположно

границу изменяется на величину поверхностной плотности электрического заряда (если граница несет заряд). В случае x=0 нормальная компонента вектора D непрерывна. Поскольку D = e × E , то для нормальных компонент вектора E , в случае свободной от заряда границы, справедливо соотношение:

E1n = ε2 E2n e1

B. Граничные условия для тангенциальных компонент.

Вообразим, что заданная граница раздела пересекается некоторой

N0 - единичная нормаль к плоскости P, образующая с направлением обхода контура ABCD правовинтовую систему.

Применим к данному контуру уравнение Максвелла

23

Здесь два первых слагаемых соответствуют вкладу сторон AB и CD в циркуляцию вектора E по этому контуру, а третье выражает долю боковых сторон.

При неограниченном уменьшении величины Dh стороны AB и CD сливаются на границе, а правая часть последнего равенства и Cb исчезают. В

Сравнивая эти соотношения, видим, что линии векторов D и E на границе раздела преломляются. Действительно, для 1-ой среды:

tga1 = Eτ1 /En1 tga2 = Eτ2 /En2

и (tga1 /tga2 ) = En2 /En1 = (e1/e2)

Для вектора D в изотропной среде:

1.4.2. Граничные условия для векторов магнитного поля

Уравнения граничных условий для векторов магнитного поля можно найти, используя тот же подход, что и в случае электрического поля.

А. Нормальные компоненты магнитных векторов.

Используем, как и в случае граничных условий для нормальных компонент вектора D , элемент объема цилиндрической формы, построенный

26

Выражение в левой части (1.49), согласно одному из тождеств векторного

где S - замкнутая поверхность, охватывающая объем V. Последнее слагаемое в (1.51) имеет размерность мощности, поэтому все члены (1.51) должны иметь размерность мощности.

Это уравнение баланса энергии или интегральная формула Умова - Пойнтинга. Вектор P = [E ,H ] называют вектором Пойнтинга. Он характеризует плотность потока мощности ЭМП и измеряется в Вт/м2. Положительный поток вектора P через границу соответствует излучению энергии из выделенной области, отрицательный – ее поступлению в данную область из окружающего пространства.

28

ЭМП в пространстве. С учетом данного соотношения и введенных ранее обозначений, выражение

Это дифференциальная форма теоремы Умова - Пойнтинга. Она показывает, что изменение плотности энергии ЭМП в каждой точке пространства определяется характером ее преобразования (этому соответствует локальное значение плотности мощности pl) и движения (которое характеризуется вектором Пойнтинга P ).

Зная величины w и P , можно найти скорость движения энергии ve, т.е. групповую скорость ЭМП. Так, выделим в потоке энергии ЭМП цилиндрический объем с поперечным сечением DS. Количество энергии,

l1 и l2 численно равно скорости движения энергии Dl=ve. Для определения этой величины необходимо W(dt=1) разделить на количество энергии, приходящееся на единицу длины цилиндра, которое равно: W( l=1)= w×DS. Таким образом:

1.6. Символический метод (метод комплексных амплитуд)

Световые волны представляют собой электромагнитное поле с очень высокими частотами. Как уже отмечено, система уравнений Максвелла для описания электромагнитного поля в диэлектрической среде имеет вид:

Будем рассматривать установившиеся во времени процессы, которым свойственны гармонические колебания. Такой подход возможен и продуктивен в силу применимости принципа суперпозиции к описанию электромагнитных процессов в линейных средах. Очевидно, что в данном

29

случае любая временная зависимость может быть представлена в виде суммы (конечной либо бесконечной) отдельных гармонических составляющих.

Гармонические колебания величины U описываются известным соотношением:

где Um - амплитуда; ω - круговая частота; j - начальная фаза; (wt +j) - полная фаза колебания. Гармонические колебания - это периодический процесс, т.е. рассматриваемая величина в любой момент времени удовлетворяет соотношению:

U(t)=U(t+T),

где T – период колебаний - T = 2π = 1 . w f

Скалярные и векторные гармонические функции координат и времени (амплитуды и фазы в общем случае зависят от положения точки) выражаются соотношениями:

Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. Его основная идея состоит в том, что действительная гармоническая функция является, согласно формуле Эйлера, вещественной частью экспоненциальной функции от мнимого аргумента. Практический смысл данного подхода обусловлен тем, что многие алгебраические преобразования выполняются проще для экспоненциальной функции, чем для тригонометрических функций. Итак, выражение U=U m cos(ωt + j) может быть представлено в виде: