Основы автоматизированного проектирования радиоэлектронных устройств (часть 2)

82

Подобный вывод уравнений состояния из узловых уравнений возможен лишь для RC - цепей, так как в этом случае s входит в числитель и, используя преобразование Лапласа, легко перейти к системе дифференциальных уравнений. Для перехода к системе дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши необходимо также существование обратной матрицы C 1 .

Расчет временных характеристик прямыми методами. Расчет временных характеристик возможен на основе табличного и модифицированного узлового методов. Как известно, в табличном, модифицированном табличном, модифицированном узловом и модифицированном узловом с проверкой - методах, существует возможность управлять представлением реактивных ветвей, таким образом, чтобы оператор Лапласа можно было вынести перед мнимой частью матрицы коэффициентов, как общий множитель. Для соблюдения этого условия необходимо емкостные ветви представлять через адмитанс, а индуктивные ветви через импеданс, тогда оператор Лапласа окажется во всех компонентах реактивной части матрицы в числителе. Преобразование Лапласа, примененное к, таким образом, сформированной системе алгебраических уравнений, трансформирует ее в систему дифференциальных уравнений с матрицей коэффициентов, наиболее просто связанной с исходной матрицей алгебраической системы.

Итак, матрица коэффициентов, алгебраических систем уравнений, сформированная выше названными методами, при соблюдении указанных

условий представления реактивных ветвей, может быть представлена в виде

T G s C ,

где G - матрица действительной части; C - матрица мнимой части; s - оператор Лапласа. Соответственно алгебраическая система уравнений может быть записана

Применяя к такой алгебраической системе, преобразование Лапласа, получим систему дифференциальных уравнений

Поскольку матрица мнимой части C , в общем случае, может быть вырождена, необходимо найти переход к системе дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, не требующий существования C 1 .

83

Рассмотрим обратную формулу Эйлера, предварительно помноженную на матрицу C

интегрирования систем дифференциальных уравнений при матрице коэффициентов, заданной в комплексной форме. Это уравнение также показывает, что нет необходимости описывать цепь дифференциальными уравнениями в нормальной форме Коши, если известны действительные и мнимые части G и C , матрицы коэффициентов T . Матрицы G и C по

интегрирования систем дифференциальных уравнений при матрице коэффициентов, заданной в комплексной форме.

Рассмотрим пример использования обратной формулы Эйлера для систем дифференциальных уравнений, коэффициенты которых заданы в комплексной форме, для схемы, изображенной на рисунке 10.4.

85

Как видим, методы интегрирования или вычисления переходных процессов цепей свелись к последовательному решению систем линейных алгебраических уравнений.

В случае нелинейных цепей, матрицы коэффициентов G , C и вектор свободных членов W , в общем случае, являются функциями вектора переменных X , т.е. система алгебраических уравнений становится нелинейной. Применение преобразования Лапласа для перехода к системе алгебраических уравнений становится проблематичным, однако, с определенной степенью условности возможно и его формальное применение приведет к системе нелинейных дифференциальных уравнений. Так, обратную формулу Эйлера и формулу трапеций для интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений, с комплексной матрицей коэффициентов исходной нелинейной алгебраической системы уравнений, можно записать

Для решения таких систем дифференциальных уравнений можно применять те же самые численные методы интегрирования. Однако, если, в случае линейных систем, достаточно один раз сформировать исходную алгебраическую систему уравнений и на каждом шаге переформировывать вектор свободных членов в формуле интегрирования с учетом предыдущего решения, то, в случае нелинейных цепей, необходимо на каждом шаге интегрирования переформировывать, как исходную алгебраическую систему, так и систему дифференциальных уравнений, с учетом решения на предыдущем шаге.

Прямое применение формул численного интегрирования для нелинейных систем дифференциальных уравнений не нашло, однако, широкого применения в силу низкой устойчивости и точности получаемых решений.

Более корректный подход к вычислению переходных процессов нелинейных цепей, основан на том, что система нелинейных дифференциальных уравнений, представленная в нормальной форме Коши, интерпретируется как система нелинейных уравнений, и к ней применяются известные итерационные методы решения типа Ньютона-Рафсона. Формулы интегрирования в этом случае есть результат применения итерационных алгоритмов к традиционным численным методам. Такой подход обеспечивает необходимую устойчивость и точность.

86

10.6 Метод дискретных моделей реактивных элементов

Кроме подхода, изложенного в предыдущем разделе и основанного на формировании и численном интегрировании системы дифференциальных уравнений, получил распространение альтернативный подход, использующий так называемые дискретные или сопровождающие модели реактивных элементов. При этом подходе компонентные дифференциальные уравнения реактивных элементов аппроксимируются соотношениями, соответствующими одной из формул численного интегрирования, а результаты аппроксимации интерпретируются, как резистивные дискретные модели реактивных элементов, значения которых зависят от шага интегрирования и результатов решения на предыдущем шаге.

После замены реактивных элементов резистивными моделями, известными методами формирования математических моделей формируется система алгебраических уравнений, в вектор свободных членов которой входят источники резистивных моделей, зависящие от результатов решения на предыдущем шаге. Решая систему алгебраических уравнений, находим очередное решение, подставляя найденное решение в правую часть, как предыдущее решение, можем найти решение в следующей точке и т.д.

Рассмотрим дискретные модели конденсатора, описываемого

Те же соотношения можно получить, подставляя в компонентное уравнение (10.19), вместо производной, ее выражение из обратной формулы Эйлера

v'n 1 1 / h vn 1 1 / h vn .

Уравнениям (10.20, 10.21) соответствуют резистивные модели, изображенные на рисунке 10.5.

87

Заменяя производную, полусуммой производных в текущей и предыдущей точках, или конечной разностью половинного шага

dv / dt ( v'n 1 v'n ) / 2 ( vn 1 vn 1 / 2 ) / h ( vn 1 / 2 vn ) / h

( vn 1 vn ) / h,

или

v'n 1 v'n 2 / h ( vn 1 vn ) ,

и, используя компонентное уравнение (10.19), получим соотношение in 1 in 2 C / h ( vn 1 vn ) ,

которое можно переписать в виде

уравнение (10.19), вместо производной, ее выражение из формулы трапеций v'n 1 v'n 2 / h vn 1 2 / h vn .

Уравнениям (10.22, 10.23) соответствуют резистивные модели, изображенные на рисунке 10.6.

88

Перейдем к рассмотрению дискретных моделей катушки индуктивности, описываемой компонентным уравнением вида

уравнение (10.24) вместо производной, ее выражение из обратной формулы Эйлера

i'n 1 1 / h in 1 1 / h in .

Уравнениям (10.25, 10.26) соответствуют резистивные модели, изображенные на рисунке 10.7.

89

Заменяя производную, полусуммой производных в текущей и предыдущей точках или конечной разностью половинного шага

уравнение (10.24), вместо производной, ее выражение из формулы трапеций i'n 1 i'n 2 / h in 1 2 / h in .

Уравнениям (10.27, 10.28) соответствуют резистивные модели, изображенные на рисунке 10.8.

Используя другие конечноразностные представления производной, или подставляя в компонентные уравнения реактивных ветвей, ее выражение из других формул интегрирования, можем получить более сложные резистивные модели реактивных элементов.

Таким образом, применение дискретных моделей к реактивным элементам приводит к следующему: