Основы автоматизированного проектирования радиоэлектронных устройств (часть 1)

111

строками, и предыдущим вариантом, основанном на факторизации, путем ортогонализации строк, практически нет. При изложении алгоритмов факторизации доказывается, что эти алгоритмы отличаются лишь порядком выполнения операций над строками.

Как и в предыдущем варианте алгоритма, на этапе факторизации, можно рассматривать матрицу A, расширенную вектором Y , тогда в результате преобразований на месте n 1 - го столбца образуется вектор W .

В противном случае необходимо вычислять обратную матрицу Q 1 .

Вариант элементарных операций над столбцами. Факторизация на

где R – ортогональная, либо ортонормированная по столбцам матрица; Q –

верхнетреугольная матрица с единичной диагональю, либо обычная.

В случае ортонормальной матрицы R , из соотношения ортогональности следует, D 1 , и решение системы запишется в виде

Видим, что принципиальной разницы между данным алгоритмом решения, на основе факторизации путем элементарных операций над столбцами и предыдущим вариантом, основанном на факторизации путем ортогонализации столбцов, практически нет. При изложении алгоритмов факторизации доказывается, что эти алгоритмы отличаются лишь порядком выполнения операций над столбцами.

Метод QR – факторизации матрицы коэффициентов исходной системы

уравнений, как и метод LU – факторизации, имеют преимущества перед методами исключения Гаусса и Гаусса – Жордана при многократном

112

решении системы с разными правыми частями, встречающимися при вычислении чувствительности и численном интегрировании систем дифференциальных уравнений. Это обстоятельство, объясняется тем фактом, что разложение производиться один раз и храниться в матрицах Q и R , что

составляет примерно половину операций необходимых для решения. Методы решений систем уравнений основанные на ортогональном

разложении исходной матрицы коэффициентов отличаются повышенной устойчивостью и точностью вычислений. Дело в том, что погрешности вычислений при ортогональных преобразованиях минимизируются.

Остановимся подробнее на алгоритмах QR –факторизации на основе

ортогонализации по Грамму-Шмидту и элементарных операций над строками и столбцами.

6.7 QR – факторизация (алгоритм Грамма - Шмидта)

Наиболее известным алгоритмом разложения матрицы на произведение ортогональной и треугольной матриц является алгоритм Грамма – Шмидта.

Вариант ортогонализации по столбцам. Суть алгоритма основана на утверждении, что всякую неособенную матрицу A можно представить в виде

построен из a( 2 ) , ортогонально r(1 ) . Для этого вектор a( 2 ) разложим на составляющие

a( 2 ) q12 r(1 ) r( 2 ) ,

Аналогично, вектор a( 3 ) , раскладываем на три составляющие

114

k 1

где q jj r j .

В соответствии с матричными операциями, разложение (6.62) исходной матрицы A, соответствует произведению ортонормальной матрицы R на верхнетреугольную матрицу Q .

Процесс ортогонализации и нормировки, соответствующий разложению матрицы A на ортонормальную и верхнетреугольную с учетом (6.57) – (6.59) и (6.60), можно записать соотношениями

где i j ; i 1, , j 1 ; j 2, ,n . Этот процесс называется ортогонализацией

Грамма – Шмидта.

Проиллюстрируем разложение матрицы, на ортогональную и верхнетреугольную с единичной диагональю, на простейшем примере матрицы порядка n 3

Зададимся конкретными значениями элементов матрицы

Согласно алгоритму, полагаем вначале

Для определения r( 3 ) , вычисляем

и взаимную ортогональность векторов r( 1 ) , r( 2 ) , r( 3 )

r 1 ,r 2 0 1 1 1.6 2 0.88 0 ,

r 1 ,r 3 0 1.7 1 0.88 2 0.44 0 ,

r 2 ,r 3 1 1.7 1.6 0.88 0.8 0.44 0.

Правильность разложения и ортогональность векторов выполняется, однако вектора не нормированы.

Используя данный пример, рассмотрим процесс разложения матрицы на произведение ортонормальной и верхнетреугольной матриц.

Нормируем первый вектор

Для определения r( 3 ) , вычислим

изменились в результате нормировки системы ортогональных векторов.

Вариант ортогонализации по строкам. Суть алгоритма основана на

Представим исходную матрицу, как совокупность векторов – строк

118

ортогонализации Грамма – Шмидта.

При факторизации матрицы, с целью решения линейной системы, удобно рассмотреть матрицу, расширенную вектором свободных членов, в качестве n 1 - го столбца. В результате процесса ортогонализации на месте вектора свободных членов

Q 1 A X Q 1 Y

или

окажется трансформированный вектор W .

Помимо процесса ортогонализации Грамма-Шмидта, к ортогональным матрицам или QR - факторизации, можно прийти и в результате

элементарных операций над строками либо столбцами. Под элементарными операциями, здесь понимаются операции алгебраического суммирования

119

одной строки или столбца с другими, умноженными на коэффициенты и оставляющими неизменным ранг исходной матрицы, а в данном случае и определитель.

Ортогонализация на основе элементарных операций над строками.

Утверждается, что в результате элементарных операций над строками, исходная матрица трансформируется в ортогональную по строкам матрицу

где Q - нижнетреугольная матрица с единичной диагональю и

соответствующая последовательности элементарных операций.

Ортогонализация на основе элементарных операций над столбцами. Утверждается, что в результате элементарных операций над столбцами, исходная матрица трансформируется в ортогональную по

соответствующая последовательности элементарных операций.

Более детально на данных алгоритмах останавливаться не будем в силу ограниченности объема учебного пособия. Можно лишь отметить, что алгоритмы ортогонализации на основе элементарных операций над строками

истолбцами дают те же самые результаты, что и алгоритмы Грамма-Шмидта

ипредставляют собой их модификацию.

Валгоритмах, основанных на ортогонализации Грамма-Шмидта, последовательно обходятся исходные вектора и каждый k - тый вектор разбивается на k ортогональных составляющих. В алгоритмах ортогонализации, основанных на элементарных операциях над векторами,

обход повторяется n 1 раз со смещением и на каждом проходе выделяется очередная ортогональная составляющая.

Таким образом, эти алгоритмы отличаются лишь последовательностью действий и соответственно порядком определения компонент результирующих матриц.

На основе ортогонального разложения можно построить алгоритм обращения исходной матрицы, имея результат QR - разложения. На данном

алгоритме также не будем акцентировать внимание.

Таким образом, на основе факторизации матрицы на произведение ортогональной и треугольной матриц, можно решать линейные системы алгебраических уравнений, вычислять определитель и обращать матрицы. Алгоритмы ортогональной факторизации отличает устойчивость и повышенная точность вычислений. Единственно, что требует доработки по сравнению с алгоритмами LU - факторизации, это вопрос о рациональном хранении результатов факторизации.

Методы QR - факторизации имеют аналогичные преимущества перед

методами Гаусса и Гаусса – Жордана, что и методы LU - факторизации при многократном решении систем уравнений с изменяющейся правой частью.

120

Таким образом, нами рассмотрены основные универсальные алгоритмы решения линейных систем уравнений общего вида, которые находят самое широкое применение при реализации алгоритмов расчета и проектирования РЭУ.