Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементарные функции и их графики

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

шиной в точке x0 1, 5 , y0 6, 25 и ветвями, направленными вверх. Затем точки графика, расположенные ниже оси Ох, – это точки, у которых координата x принадлежит интервалу (1; 4) , – отображаем симметрично относительно этой оси

(рис. 36).							◊
Пример		23.		Постройте		график	функции
y 2x2 4 \| x \| 1 .
Решение. Функция				y 2x2 4	x	1 – четная. Ее график
Решение. Функция				y 2x2 4	x	1 – четная. Ее график
симметричен		относительно
оси Oy, причем при неотри-
цательных x он совпадает с
параболой	y 2x2		4x 1,
имеющей	вершину		x0	1,

y0 1 и ветви, направлен-

ные вверх. Сначала построим часть данной параболы при неотрицательных х, а затем полученную кривую симметрично отобразим относительно оси Oy (рис. 37). ◊

§ 11. Гармонические колебания

Тригонометрические функции используются для описания различных колебательных процессов: колебания груза, подвешенного на пружине, вокруг положения равновесие, закон изменения переменного тока в цепи, колебания маятника, распространение звуковых и цветовых волн и т.д.

Формулы y Asin(x ) и y Acos(x ) , с помо-

щью которых описываются такие процессы, называются

формулами гармонических колебаний. Положительная величина А называется амплитудой колебания, положительная величина – частотой колебания, величина – начальной фазой колебания. Амплитуда характеризует размах колебания, частота – количество колебаний в единицу времени.

Построение графиков гармонических колебаний (гар-

моник) y Asin(x ) ,			y Acos(x ) производится в
несколько этапов.
Рассмотрим		алгоритм		построения графика	функции
y Asin(x ) :		а) строим		график функции	y sin x ;
б) строим	график	функции		y sin(x ) , сдвигая график
функции	y sin x	на \| \| единиц по оси Оx (если			0 , то
сдвигаем влево, если 0 ,				то сдвигаем вправо); в) строим
график функции		y sin(x ) , сжимая его в раз к оси

Oy; г) строим график функции y Asin(x ) , растягивая

его в A раз от оси Оx.
Заметим,	что	функции	y Asin(x )	и
y Acos(x ) ,	описывающие гармонические колебания,

являются периодическими с периодом T 2 . Они ограни-

чены сверху и снизу, их наибольшее и наименьшее значения равны A .

Пример 24. Постройте график гармонического колеба-

	y 3cos	2x	2
ния				.

			3

Решение. Для этой гармоники амплитуда A 3, частота

– 2 , начальная фаза – 23 .

Строим		график
функции	y cosx ;
сдвигаем на		2	еди-

	3
	3

ниц по оси Ох вправо; сжимаем график к оси Oy в 2 раза; растягива-

ем от оси Ox в 3 раза (рис. 38). ◊ Пример 25. Постройте график гармонического колеба-

ния	y 3cos 2
ния	y 3cos 2	x	.
			6

Решение. Преоб-

разуем формулу, раскрыв в аргументе косинуса скобки:

y3cos 2x .

Следовательно, для этой гармоники амплитуда A 3, часто-

та – 2 , начальная фаза – 3 .

Строим график функции y cosx ; сдвигаем график на

	единиц по оси Оx вправо; сжимаем график к оси Oy в 2
3
раза; растягиваем от оси Ox в 3 раза (рис. 39).		◊

Пример 26. Постройте график гармонического колеба-

ния
ния	y 3cos 2 x	.
		3

Решение. Эта формула не задает гармоническое коле-

бание, так как			A 3 0 . Применив формулу приведения
cos(x ) cosx , преобразуем формулу к				виду:

y 3cos 2x			. Следовательно, для этой гармоники ам-
		3
плитуда A 3, частота – 2 , начальная фаза –				.
				3
Строим			график
функции		y cosx ;
сдвигаем на			единиц
	3
по оси Оx влево; сжи-
маем график к оси Oy в
2 раза; растягиваем от
оси Ox в 3 раза (рис. 40).				◊

§12. Упражнения

1.Найдите области определения функций:

x 1

а) y

;

б) y 14 5x x2 ;

x2 7x 6

x 7

10 3x x2

в)

;

г)

;

x2 9x 20

x 5

д)

;

е)

(x 1)(x2 4x 12) ;

x3 9x

x2 9

ж) y

;

з) y

x 11

;

x 6

5 4x x2

к) y x2 7x 6

;

и) y

x 5 2 x ;

2x 7

м) y

x 4

x 7

л) y 8 2x x2 x ;

;

9 x

x 1

н) y

x 8

;

о) y

x 3

;

x 3

x 8

п) y

x 8

;

р) y

x 3

x 8

2.Найдите области определения функций:

а)

y log

(2x 5) ;

б)

y log

(45 7x x2 ) ;

в) y lg | x2 2x 8 | ;

г) y | lg x | 1;

2x2 2x 8 ;

д)

log

(x2

5x 5) ;

е)

0,5x2 5x 1 8 ;

ж)

log

(x2

4x 5) 3 ;

з)

y arcsin

x 1

и)

log

(x2 3x 2) 1 ;

к)

1/ 6

3.Найдите множества изменения функций:

а) y x2 10x 17 ;				б) y 12 4x x2 ;
в)	y log	2	(x2 6x 13) ;	г)	y 4sin 2x ;
		2
д)	y 5sin x 2;			е)	y 3 24x 1 7 .

4.Выразите площадь и периметр прямоугольного треугольника, катеты которого равен 4, а гипотенуза равна х, как функцию от х. Найдите область определения этой функции.

5.В равнобедренный треугольник с основанием а и высотой h вписан прямоугольник с основанием х. Выразите площадь этого прямоугольника как функцию от х. Найдите область определения этой функции.

6.В круг радиуса R вписан прямоугольник, основание которого равно x. Выразите площадь этого прямоугольника как функцию от х.

7.Выразите объем V кругового цилиндра, полная поверхность которого равна S, как функцию от его высоты Н.

8.Окно имеет форму прямоугольника с основанием a и высотой h с расположенным над ним равно-

бедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой a. Обозначим через S(x)

– площадь части окна, лежащей ниже х прямой параллельной основанию окна на

расстоянии x от его основания. Найдите выражение для

S(x).

9.Два пункта A и B находятся в стороне от железной доро-

ги. Строится шоссе от пункта А до

станции C на железной дороге и от

станции С до пункта В. Выразите

длину шоссе как функцию расстоя-

M х

ния от M до С.

10. Будут ли равными функции, заданные уравнениями:

7x 6

a) y

и y x 6

; б)

y 3 x3

и y x ;

x 1

в) y x10 и y x5 ;

г) y x10 и y | x5 | .

11. Докажите, что функции y

3x 2

и y

2 3x

являют-

2x 3

ся взаимно обратными.

12. Найдите функцию, обратную функции:

а) y	4x 1	;	б) y	x 7	;	в) y x3 1.
	x 4			x 2

13.Какие из данных функций будут четными, какие нечетными:

а) y x4 3x2 7 ;		б) y 2x5 7x3 8x ;

в)	y x sin x 2cosx ;	г)	y	x2 9 2 \| x \|;
д)	y (x2 x) cosx ;	е)	y lg	x 1	.

				x 1

14.Найдите значение функции h(x) в точке a , если известно, что функция f (x) – четная, а функция g(x) – нечетная и

а) h(x)

б) h(x)

3 f (x) 5 f ( x)	, если	f (a) 3, g(a) 1 ;
2g(x) 4g( x)

2 f (x) 3g( x) 3 f ( x) , если f (x) g( x)

f(a) 1, g(a) 3 .

15.Пусть функция f (x) – нечетная и при всех неотрица-


тельных		значениях	х	совпадает	с	функцией
g(x) x(x 3)(3x 2) . Найдите значение						функции
h( x)	2 f ( x) 3g( x)		в точке a 2 .
	f ( x) g( x)

16. Пусть функция f (x)			– нечетная и при всех неотрица-
тельных		значениях	х	совпадает	с	функцией
g(x) x(x 1)(2x 7)(3x 1) .				Найдите	число корней
уравнения		f (x) 0 .

17.

Пусть функция f (x)

– четная и при всех неотрицатель-

ных

значениях

совпадает

функцией

g(x) x(x 5)2 (3x 2)(4x 9) .

Найдите

число корней

уравнения

f (x) 0 .

18.

Пусть функция f (x)

– четная и при всех неотрицатель-

ных

значениях

совпадает

функцией

g(x) (x 4)(x 3)(2x 1) .

Найдите значение функции

h( x)

f (x) 2g(x)

в точке a 1.

f ( x) g( x) 16

19.

На рисунке показана часть графика функции

y f (x) .

–2

Постройте график функции

y f (x) , если известно, что

а) она четная; б) она нечетная.

20.

Докажите,

что функция

2x 7

является монотонной

7x 2

на промежутке x [0; ) .

21.

Докажите,

что функция y

2x 3

является моно-

x2 x 1

тонной на промежутке x [1; ) .

x2 3

22.

Докажите,

что функция

является ограни-

x2 2x 4

ченной на всей числовой прямой.

23.

Докажите,

что функция

3x 2

является огра-

2x2

5x 18

ниченной на всей числовой прямой.

24. Докажите, что функция y log	2	(x2	6x 17) является
	2

ограниченной снизу на всей числовой прямой.

25.Определите, какие функции будут периодическими и найдите их периоды:

а)

4sin

;

б)

y 5cos

;

в)

2 tg 3x

;

г)

y ctg 4x

26. Пусть

функция

f (x)

– периодическая с

периодом

T 4. Известно, что

f (3) 5. Найдите

f (11) и

3 f (15) f ( 5) .

27.	Пусть функция			f (x)	– периодическая с периодом T 5
	и	на	промежутке		[ 1; 4)		совпадает	с	функцией
	g(x) x2 2x 1. Найдите значение функции f (x) в
	точке a 27 .
28.	Пусть функция			f (x)	– периодическая с периодом T 6
	и	на	промежутке		( 1; 5]		совпадает	с	функцией
	g(x) x2 x 7 .
	Найдите 3 f (15) 2 f (6) .						1	4
29.	На	рисунке		показана			3
29.	На	рисунке		показана		–1			2
	часть		графика	периоди-					2
	часть		графика	периоди-
	ческой функции y f (x)					на отрезке, равном её периоду.

Постройте график этой функции.

30.Представьте сложную функцию в виде цепочки элементарных функций:

			б) y 3 2x2 x 5 17 ;
а) y x5 7x4 x 1 ;

в) y sin(x4 4x 9) ; г) y cos 5x5 4x 2 ;

			y sin6 (log		(x2 4)) .
д) y lg(1 2 2x 1 ) ;		е)		3

31. Составьте суперпозиции			f (g(x)) и g( f (x)) , если:
а) f (x) x3 1, g(x) x2 1; б) f (x) cos 2x, g(x) x2 ;

в) f ( x)	x , g(x) x2 3x 15 ;
г) f (x) x 2 , g(x) 2x2 x 31 .

32.Найдите линейную функцию, которая при х = 4 принимает значение у = 7, а при х = 1 значение у = –5.

33.Найдите значения коэффициентов k и b линейной функ-

ции y = kx + b, если известно, что ее график параллелен графику функции y = –2x + 3 и проходит через точку

(1, –4).

34.Найдите значения коэффициентов k и b линейной функции y = kx + b, если известно, что ее график перпендикулярен графику функции y = 4x – 3 и проходит через точ-

ку (–1, 5).

35.а) Прямая y 185 x 13 проходит через две точки с це-

лыми координатами: А(6; 2) и В(–12; –3). Есть ли на этой прямой еще точки с целыми координатами?

б) Известно, что прямая y = kx + b проходит через две точки с целыми координатами. Есть ли на этой прямой еще точки с целыми координатами?

в) Приведите пример линейной функции, график которой не проходит ни через одну точку с целыми координатами.

г) Приведите пример линейной функции, график которой не проходит только через одну точку с целыми координатами.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.82 Mб15Электропитание ЭВМ..pdf
#
05.02.2023601 Кб5Электропунктурные исследования организма человека..pdf
#
05.02.2023821.3 Кб6Электротехника и электроника..pdf
#
05.02.20231.48 Mб44Элементарная математика для студентов (адаптационный курс)..pdf
#
05.02.2023871.5 Кб39Элементарные функции и их графики.-1.pdf
#
05.02.20231.62 Mб9Элементарные функции и их графики..pdf
#
05.02.20235.04 Mб48Элементная база электронных компонентов РЭС..pdf
#
05.02.2023474.96 Кб7Элементы электронной техники..pdf
#
05.02.20231.39 Mб17Элементы аналоговой схемотехники..pdf
#
05.02.2023547.16 Кб19Элементы атомной физики и квантовой механики..pdf
#
05.02.2023502.16 Кб10Элементы кремниевых биполярных ИС..pdf