Финансовые вычисления
..pdf
Лекция 3. Особенности постоянных аннуитетов |
|
61 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) n = 4, r = 12%, m = 12, p = 2; |
|
|
|
|
|
||||
F Vpsta |
= |
20 |
F M4(1%, 48) |
|
20 |
|
37,9740 |
|
123,453. |
F M3(1%, 6) = |
|
= |
|||||||
|
|
|
6,1520 |
|
|||||
Приведенная стоимость договора составит |
123,453 млн руб. |
||||||||
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3Отсроченный аннуитет
Рассмотрим обобщение аннуитета, когда первый из потока платежей начинает поступать через h периодов. Такой аннуитет называется отсроченным.
Пусть, например, платежи поступают в течение n периодов и сложные проценты по ставке r начисляются один раз в конце базового периода, совпадающего с периодом аннуитета (рис. 3.1).
Рис. 3.1 – Отсроченный аннуитет постнумерандо
Стоимость этого аннуитета на начало периода, когда поступает первый платеж, находим по формуле (3.1) и затем, осуществляя учет полученной величины за h периодов, определяем приведенную стоимость отсроченного аннуитета на начальный момент времени:
P Vpst = A F M2(r, h) F M4(r, n). |
(3.11) |
В этой формуле h не обязательно должно быть целым числом. |
|
Если h — целое число, то: |
|
P Vpst = A F M4(r, n +h) −A F M4(r, h), |
(3.12) |
т. е. приведенная стоимость отсроченного аннуитета представляет собой разность приведенных стоимостей аннуитетов.
Пример 3.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Банк предлагает ренту постнумерандо на 10 лет с ежеквартальной выплатой 100 долл. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной. По какой цене можно приобрести такую ренту, если выплаты начнут
62 |
РАЗДЕЛ I. Общая часть |
|
|
осуществляться: а) немедленно; б) через 2 года; в) через 3,5 года, а процентная ставка равна 2, 4, 12% годовых?
Решение:
Определим приведенную стоимость ренты во всех случаях. Считаем, что число |
|||||||||||||||||
периодов n |
= |
10 4 = 40. Тогда ставка за период будет соответственно 0,5, 1, 3%. |
|||||||||||||||
В случае а) пользуемся формулой (3.2), определяя F M4(r, n) либо по таблице, |
|||||||||||||||||
либо непосредственно по формуле. В случаях б) и в) полагаем h |
= 2 4 = 8 и |
||||||||||||||||
A = 3,5 4 = 14 и пользуемся (3.7) или (3.8). Например, по (3.7): |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F M |
4( |
1%, 40 |
) |
= |
30,3223. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,01 |
8 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если же воспользоваться формулой (3.8), то: |
) = |
= |
|
||||||||||||||
1,01 |
|
|
) |
= |
( |
|
) |
|
|
( |
|
|
|
||||
1%, 40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
F M4( |
|
|
|
|
F M4 1%, 48 −F M4 1%, 8 |
37,9740 −7,6517 |
|
30,3223. |
||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||
Результаты расчетов для наглядности представим в виде таблицы:
Таблица 3.1
h |
|
r |
|
|
|
|
|
|
0,5% |
1% |
3% |
|
|
|
|
0 |
36,1722 |
32,8347 |
23,1148 |
|
|
|
|
8 |
34,7573 |
30,3223 |
18,2470 |
|
|
|
|
14 |
33,7326 |
28,5650 |
15,2815 |
|
|
|
|
Из таблицы 3.1 видно, что с ростом процентной ставки и срока, после которого начнутся выплаты, приведенная стоимость уменьшается. В частности, если выплаты начнутся через 3,5 года и процентная ставка составит 12% годовых, то ренту можно приобрести за 1528,15 долл. (или, конечно, дешевле).
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4Определение параметров аннуитета
Для нахождения будущей стоимости F Vpst аннуитета самого общего вида необходимо знание значений пяти параметров: A, r, n, m, p. Однако при заключении некоторого контракта его конечная стоимость может быть уже задана, а надо определить, например, величину A разовых денежных поступлений. В этом случае из (3.5) при заданных значениях остальных параметров легко получить:
F M3 Œ r , m‘
A = F Vpsta m p . (3.13)
F M3 Œmr , mn‘
Лекция 3. Особенности постоянных аннуитетов |
63 |
|
|
Если же известна приведенная стоимость контракта, тогда
F M3 Œ r , m‘
A = P Vpst m p . (3.14)
F M3 Œmr , mn‘
Если известны будущая стоимость F Vpst аннуитета, величина A разового годового платежа и процентная ставка r, формула для расчета срока аннуитета:
|
ln Π|
F Vpst |
r +1‘ |
|
|
n = |
A |
|
|||
|
. |
(3.15) |
|||
ln(1 +r) |
|||||
Аналогичным образом можно получить формулы для определения сроков постоянных аннуитетов других видов. Расчет процентной ставки при известных остальных параметрах аннуитета требует применения интерполяционных формул.
Пример 3.4 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Некоторое предприятие хочет создать фонд в размере 200 млн руб. С этой целью в конце каждого года предприятие предполагает вносить по 50 млн руб. в банк под 18% годовых. Найти срок, необходимый для создания фонда.
Решение:
Используем формулу (3.5) при F V = 200; r = 0,18; A = 50
|
ln Π|
200 |
0,18 +1‘ |
|
|
|
n = |
|
|
ln 1,72 |
|||
50 |
|
|||||
|
= |
|
= 3,2766. |
|||
ln(1 +0,18) |
ln(1,18) |
|||||
Для создания фонда потребуется 4 года (ответ округляем до ближайшего целого числа).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 3.5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Работник заключает с фирмой контракт, согласно которому в случае его постоянной работы на фирме до выхода на пенсию (в 60 лет) фирма обязуется в начале каждого года на счет работника в банке перечислять одинаковые суммы, которые обеспечат работнику после выхода на пенсию в конце каждого года дополнительные выплаты в размере 3000 руб. в течение 10 лет. Какую сумму ежегодно должна перечислять фирма, если работнику 40 лет и предполагается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 10%?
64 |
РАЗДЕЛ I. Общая часть |
|
|
Решение:
Выплаты работнику после выхода на пенсию представляют собой аннуитет постнумерандо с A = 3000 руб. и длительностью n = 10 лет. Полагая r = 10%, по формуле (2.13) найдем приведенную стоимость этого аннуитета:
P V = 3000 F M4(10%, 10) = 3000 6,145 = 18435 руб.
Таким образом, имея на счете 18435 руб., можно ежегодно снимать с него 3000 и через 10 лет исчерпать счет полностью.
Теперь необходимо выяснить, какую сумму фирма должна в начале года перечислять на счет работника, чтобы за 20 лет (60 − 40 = 20) накопить 18435 руб. Размер вклада можно найти из формулы (2.12), полагая F V = 18435:
A = 18435~ F M3(10%, 20) (1 +r) = 18435~[57,274 1,1] = 292,61 руб.
Таким образом, фирме достаточно перечислять на счет работника 292 руб. 16 коп.
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5Конверсия и замена аннуитетов
На практике часто сталкиваются со случаями, когда на этапе разработки условий контракта или в ходе его выполнения необходимо изменить условия выплаты ренты. Простейшими случаями конверсии являются: замена ренты разовым платежом (выкуп ренты) или, наоборот, замена разового платежа рентой (рассрочка платежей). К более сложному случаю относится объединение нескольких рент в одну — консолидация рент.
3.5.1 Выкуп ренты
Этот вид конверсии сводится к замене ренты единовременным платежом, поэтому для вычисления размера разового платежа выбирается формула для нахождения приведенной стоимости аннуитета постнумерандо или пренумерандо
n |
1 |
|
|
P Vpst = A kQ=1 |
|
= A F M4(r, n), |
(3.16) |
(1 +r)k |
|||
P Vpre = (1 +r)P Vpst = A F M4(r, n). |
(3.17) |
||
3.5.2 Рассрочка платежей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рассрочка платежей — обратная задача к задаче выкупа ренты.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 3. Особенности постоянных аннуитетов |
65 |
|
|
Обязательство по уплате некоторой суммы заменяется равными платежами в рассрочку. Для решения задачи приравнивают современную стоимость ренты, с помощью которой проводится рассрочка, к сумме долга. Задача может заключаться в определении параметров этой ренты — члена ренты или ее срока, при условии, что остальные параметры заданы. Подобные задачи рассматриваются в лабораторной работе №12.
3.5.3 Замена немедленной ренты на отсроченную
Пусть имеется немедленная рента с параметрами A, n, r. Необходимо отсрочить выплаты на t лет. В этом случае из принципа финансовой эквивалентности равенство приведенных стоимостей запишется следующим образом:
P V1 = (1 +r)−tP V2 = F M2(r, n) P V2, |
(3.18) |
где P V1 — современная стоимость немедленной ренты; P V2 — современная стоимость отложенной ренты.
Пример 3.6 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Банк предлагает ренту постнумерандо на 15 лет с полугодовой выплатой 100 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, сложные проценты начисляются по полугодиям. По какой цене можно приобрести эту ренту, если сложная процентная ставка равна 4% годовых?
Решение:
1) используем формулы (3.11) и (3.18), считая полугодие базовым периодом, при t = 6
P V = 100 F M2(2%, 6) F M4(2%, 30) = 100 0,888 22,3965 = 1988,809.
Ренту можно приобрести за 1988809 руб.;
2) используем формулу (3.18), считая полугодие базовым периодом при t = 0
P V = 100 F M4(2%, 30) = 100 22,3965 = 2239,65.
Ренту можно приобрести за 2239650 руб.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пусть срок отложенной ренты не изменяется, тогда неизвестный платеж отложенной ренты находится из уравнения:
A2 = A1 (1 +r)t, |
(3.19) |
где A1 — платеж исходной ренты; A2 — неизвестный платеж отложенной ренты; t — время отложения ренты.
66 |
РАЗДЕЛ I. Общая часть |
|
|
Пример 3.7 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями A = 2 млн руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока ренты. Сложная процентная ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отложенной ренты.
Решение:
По формуле (3.19) при A1 = 2; t = 2; r = 0,2,
A2 = 2 (1 +0,2)2,
A2 = 2,88.
Отказ от немедленной выплаты ренты приводит к увеличению платежа до 2,88 млн руб.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пусть платеж отсроченной ренты не изменяется, тогда новый срок отложенной ренты находится из уравнения:
n2 |
= |
lnš1 − 1 −(1 +r)−n1 (1 +r)tŸ |
, |
(3.20) |
||
|
||||||
|
( |
+r |
) |
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
||
где n2 — неизвестный срок отложенной ренты; n1 — срок исходной ренты; t — время отложения ренты.
В общем случае, когда n1 ≠ n2, из равенства P V1 = P V2 следует:
|
= |
|
F M4(n2 |
, r)( |
) |
|
|
A2 |
|
A1 |
F M4(n1 |
, r) |
1 +r |
t. |
(3.21) |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Пример 3.8 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Рента с ежегодными платежами в 2 млн руб. и сроком 5 лет откладывается на три года без изменения сумм выплат. Найти новый срок ренты при условии, что на поступающие платежи ежегодно начисляются сложные проценты по ставке 8% годовых.
Решение:
В соответствии с (3.20) при n1 = 5; t = 3; r = 0,08; A = 2
n2 = ln™1 −(1 −1,08−5)1,083ž = 6,689. ln 1,08
Отказ от немедленной выплаты ренты увеличивает ее срок до 6,689 года, т. е. на 1,689 года.
Лекция 3. Особенности постоянных аннуитетов |
67 |
|
|
Пусть продолжительность новой ренты в целых годах равна 6, тогда приведенная стоимость новой ренты составит
P V2 = 2 F M4(8%, 6) F M2(8%, 3) = 2 4,6288 0,7938 = 7,3396.
Современная стоимость исходной ренты составит
P V1 = 2 F M4(8%, 5) = 2 3,9927 = 7,9854.
Разность в сумме 0,6458 млн руб. необходимо уплатить в начале действия контракта.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 3.9 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями A = 2 млн руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года с изменением срока ренты до 11 лет. Сложная процентная ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отложенной ренты.
Решение:
По формуле (3.19) при A1 = 2; t = 2; r = 0,2; n1 = 8; n2 = 11
A2 |
= |
2 |
F M4(20%, 8) |
1,22 |
2 |
3,8372 |
1,22 |
|
2,5539. |
|
|
|
|||||||||
|
|
( |
) |
|
= |
4,3271 |
= |
|
||
|
|
F M4 20%, 11 |
|
|
|
|||||
Платеж отложенной ренты равен 2,5539 млн руб.
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4Объединение (консолидация) рент
Объединение рент заключается в замене нескольких рент с заданными параметрами новой рентой, параметры которой необходимо определить. В этом случае из принципа финансовой эквивалентности следует равенство современных стоимостей заменяющих и заменяемых (консолидированных) рент, что соответствует равенству:
n |
|
P V = Qi=1 P Vi, |
(3.22) |
где P V — современная стоимость заменяющей ренты; P Vi — современная стоимость i-той заменяемой ренты.
68 |
РАЗДЕЛ I. Общая часть |
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Пример 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Три ренты постнумерандо — немедленные, годовые, заменяются одной отложенной на три года рентой постнумерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент: A1 = 100; A2 = 120; A3 = 300 (тыс. руб.); n1 = 6; n2 = 11; n3 = 8 лет.
Необходимо:
1)определить платеж заменяющей ренты при использовании сложной ставки 20% годовых;
2)определить срок заменяющей ренты при условии, что размер платежа равен 1500 тыс. руб.
Решение:
Данные для определения приведенных стоимостей заменяемых рент занесем в таблицу 3.2:
Таблица 3.2
|
№ ренты |
Платеж ренты |
Срок ренты |
|
F M4 r, n |
|
P V |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
100 |
6 |
|
|
|
3,32551 |
|
|
332,551 |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
||||
|
2 |
|
120 |
11 |
|
|
4,32706 |
|
|
519,472 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
300 |
8 |
|
|
|
3,83716 |
|
|
1151,148 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого |
|
|
|
|
|
|
|
|
2002,946 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Платеж заменяющей ренты находим из уравнения: |
|
|
|||||||||
|
A = |
|
P V |
|
= |
|
2002,946 |
|
= 960,189. |
||
|
|
|
|
||||||||
|
F M4(20%, 7) F M2(20%, 3) |
3,60459 0,5787 |
|||||||||
Платеж заменяющей ренты равен 960189 руб.
Если бы заменяющая рента была бы немедленной, ее платеж находим из уравнения:
A = |
P V |
2002,946 |
|
|
|
= |
|
= 555,665. |
|
F M4(20%, 7) |
3,60459 |
|||
2) Определим современную стоимость заменяющей немедленной ренты:
P V = 2002,946 (1 +0,2)3 = 3461,091.
Неизвестный срок ренты находим из формулы (2.10)
|
ln Œ1 − |
|
P Vpst |
r‘ |
||
n = − |
|
A |
|
|||
( |
1 +r |
) |
|
; |
||
ln |
|
|||||
Лекция 3. Особенности постоянных аннуитетов |
69 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при A = 1500; r = 20%; P V = 3461,091 |
|
|
|
|
|
|||
|
ln Œ1 − |
3461,091 |
0,2‘ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
1500 |
|
|
||||||
n = − |
( |
) |
|
|
|
= 3,395. |
||
ln 1,2 |
|
|
|
|
||||
Установим срок заменяющей ренты 4 года. При этом приведенная стоимость ренты равна
P V = 1500 F M4(20%, 4) = 1500 2,5887 = 3883,05.
Излишек в сумме 3883,05 −3461,091 = 421,959 компенсируем в начале финансовой операции.
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6Аннуитеты с начислением и удержанием процентов в начале базового периода
Выведем формулы для оценки аннуитетов, на платежи которого начисляются проценты по сложной учетной ставке d.
При антисипативном начислении процентов по сложной учетной ставке d наращенный денежный поток (при m = 1, p = 1), начиная с последнего денежного поступления, примет вид:
A A A
A, (1 −d), (1 −d)2, . . . , (1 −d)n−1
и, следовательно,
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Π|
‘ −1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 −d |
|
|
|
|
|||
F Vpst = A |
1 −d |
= A |
(1 −d) |
−n |
−1 . |
(3.23) |
|||||
|
1 |
|
−1 |
d |
|
||||||
|
|
|
1 −d |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P Vpst = F Vpst (1 −d)n = A |
1 −d |
1 −(1 −d)n . |
(3.24) |
||||||||
|
|||||||||||
d |
|||||||||||
В случае антисипативного начисления процентов формулы для оценки аннуитета пренумерандо получаются таким же образом, как и приведенные ранее формулы.
1 |
|
|
|
F Vpre = F Vpst |
|
, |
(3.25) |
1 −d |
|||
1 |
|
|
|
P Vpre = P Vpst |
|
. |
(3.26) |
1 −d |
|||
70 |
РАЗДЕЛ I. Общая часть |
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Пример 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Оценить стоимость трехгодичной ренты с ежемесячной выплатой 300 долл., если также ежемесячно начисляются антисипативные проценты по сложной учетной ставке 6% годовых.
Решение: |
|
|
|
|
|
По формуле (3.23) при A = 300, n = 0,12 3 = 0,36, d = |
0,06 |
= 0,005 |
|||
|
|||||
12 |
|||||
|
1 −0,005 |
|
|
||
F Vpst = 300 |
|
(1 −0,005)−36 −1 = 11806,15. |
|||
0,005 |
|||||
Будущая стоимость ренты равна 11806,15 долл. |
|
|
|||
По формуле (3.24) при A = 300, n = 0,12 3 = 0,36, d = |
0,06 |
= 0,005 |
|||
|
|||||
12 |
|||||
|
1 −0,005 |
|
|
||
P Vpst = 300 |
|
[1 −(1 −0,005)−36] = 9856,878. |
|||
0,005 |
|||||
Приведенная стоимость ренты равна 9856,878 долл.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольные вопросы по лекции 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)Как используются финансовые таблицы для оценки постоянных аннуитетов?
2)Чему равен коэффициент наращения аннуитета?
3)Чему равен коэффициент дисконтирования аннуитета?
4)Какая связь существует между будущей и приведенной стоимостями аннуитета?
5)Как изменяется коэффициент наращения аннуитета при изменении срока действия аннуитета и изменении процентной ставки?
6)Как изменяется коэффициент дисконтирования аннуитета при изменении срока действия аннуитета и изменении процентной ставки?
7)Какая связь существует между оценками аннуитета пренумерандо и постнумерандо?
8)Приведите пример отсроченного аннуитета.
9)Что такое выкуп ренты? Каковы методы решения этой задачи?