Физические основы вакуумной и плазменной электроники

величина напряженности поля равна разности потенциалов на единице длины силовой линии. Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала.

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид

(x, y, z) = const.

При перемещении по эквипотенциальной поверхности на расстояние dl потенциал не изменяется, d = 0. Следовательно, проек-

ция вектора E на dl равна нулю. Отсюда следует, что вектор напряженности электростатического поля E в каждой точке поля направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности. Другими

словами, вектор E ортогонален эквипотенциальной поверхности в любой точке поля.

Вычисление потенциалов простейших электрических по-

лей. Приведем формулы для расчета потенциала.

1. Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечной заряженной плоскостью (рисунок 1.12):

Рисунок 1.12

2. Разность потенциалов между точками поля, образованного двумя бесконечными заряженными плоскостями:

1 2 0 x2 x1 .

– 21 –

Если расстояние между пластинами d много меньше размеров пластин, то разность потенциалов между ними будет

U d .

0

3. Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечным заряженным длинным цилиндром (рисунок 1.13):

при r R

при r1 = R

2 0 ln Rr .

Рисунок 1.13

Внутри цилиндра напряженность поля равна нулю (E = 0) и

= const.

4.Разность потенциалов между точками поля, образованного заряженной пустотелой сферой (рисунок 1.14):

при r R

при r1 = R и r2 = получим потенциал заряженной поверхности

– 22 –

свойством обладает электростатическое поле – поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля E в точку 2 (рисунок 1.16), взять единичный положительный заряд, то элементарная работа сил поля при перемещении на расстояние dl равна Edl, а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 будет определяться выражением

2

q E dl .

1

Этот интеграл берется по некоторой линии, поэтому его называют линейным. Покажем, что интеграл по замкнутому пути равен нулю.

Рисунок 1.16

Работа по переносу заряда может быть найдена следующими двумя способами:

2

A12 qEdl ; A12 q 1 2 .

1

Отсюда следует

2

1 2 E dl .

1

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2. При обходе по замкнутому контуру 1 = 2, и тогда интеграл будет равен нулю:

E dl 0.

Этот интеграл по замкнутому контуру называется циркуляци-

ей, в данном случае вектора E .

Таким образом, характерным для электростатического поля является то обстоятельство, что циркуляция напряженности этого поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

– 24 –

1.2Примерырешениязадач

1.Найти силу притяжения F между ядром атома водорода и электроном. Радиус атома водорода r = 0,5·10–10 м; заряд ядра равен по модулю и противоположен по знаку заряду электрона.

Решение. По закону Кулона сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием r между ними, определяется

ε0 = 8,85·10–12 Ф/м – электрическая постоянная. Подставив числовые значения, получим

1,6 10 19 2

F 4 3,14 8,85 10 12 1 0,5 10 10 2 9, 23 10 8 Н.

2. Определить, во сколько раз сила гравитационного притяжения между двумя протонами меньше силы их электростатического отталкивания. Заряд протона равен по модулю и противоположен по знаку заряду электрона.

Решение. Сила гравитационного притяжения FG G m2 . r2

3. Найти напряженность электрического поля в точке, лежащей посередине между точечными зарядами q1 = 8 нКл и q2 = – 6 нКл. Расстояние между зарядами r = 10 см. Среда – воздух.

– 25 –

1,9 10 9 Кл 1,9 нКл.

5.В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной

а= 0,5 м расположены два одинаковых положительных заряда

q1 = q2 = 1 мкКл. Найти напряженность и потенциал электрического поля в третьей вершине треугольника.

Решение. По принципу суперпозиции напряженность поля в

точке А

EA EA1 EA2 ,

– 27 –

где ЕА1, ЕА2 – напряженности полей, создаваемых зарядами q1 и q2 в точке А.

36 103 В/м 36 кВ/м.

Сложив по правилу параллелограмма векторы ЕА1 и ЕА2, найдем напряженность суммарного поля в точке А. По теореме косинусов имеем

Потенциал поля, создаваемого зарядами q1 и q2 в точке А:

A A1 A2 ;

A1 A2 4 q 0 a ;

A 2 A1 2 18 103 = 36 кВ.

– 28 –

Тесты

1.Относительно статических электрических полей справедливы утверждения:

а) электростатическое поле действует на заряженную частицу с силой, не зависящей от скорости частицы;

б) силовые линии электростатического поля замкнуты; в) циркуляция вектора напряженности вдоль произвольного

замкнутого контура равна нулю.

Ответы: 1) а, б; 2) а, в; 3) б, в.

2.Дана система точечных зарядов в вакууме и замкнутые по-

верхности S1, S2, и S3. Через какие поверхности поток вектора напряженности электростатического поля равен нулю?

а) S3; б) S1; в) S2.

Ответы: 1) а, б; 2) а, в; 3) б, в.

3. На каком из предложенных рисунков графически изображено электростатическое поле положительных зарядов?

Ответы: 1) а; 2) б); 3) в; 4) а, б; 5) а, в; 6) б, в.

4. По какой из указанных формул можно рассчитать напряженность поля равномерно заряженной сферы?

– 30 –