Физические основы вакуумной и плазменной электроники

Перемещение заряда на этих участках возможно лишь с помощью сил не электрического происхождения (сторонних сил). Это химические процессы (электрические батареи), диффузия носителей заряда (аккумуляторы), вихревые электрические поля (электрогенераторы).

Сторонние силы можно характеризовать работой, которую они совершают над перемещающимися зарядами.

Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС), действующей в цепи:

E qA .

Она измеряется в джоулях на кулон (Дж/Кл). Единица измерения ЭДС совпадает с единицей измерения потенциала В.

Для замкнутой цепи

E E*dl ,

где E* – напряженность поля сторонних сил.

Циркуляция вектора напряженности сторонних сил равна ЭДС (алгебраической сумме ЭДС), действующей в замкнутой цепи.

Обобщенный закон Ома для неоднородного участка цепи

Рассмотрим неоднородный участок цепи, т.е. участок, содержащий ЭДС (рисунок 6.1).

E

Рисунок 6.1

Напряженность поля E в любой точке цепи равна векторной сумме кулоновского поля Ee и поля сторонних сил E*:

E Ee E* .

– 151 –

Величина, численно равная работе по переносу единичного положительного заряда суммарным полем кулоновских и сторонних сил на участке цепи (1–2), называется напряжением на этом участке

(U12):

U12 2 Ee dl 2 E*dl .

1 1

Так как напряженность связана с потенциалом, то можно запи-

ЭДС может быть как со знаком плюс, так и со знаком минус. Напряжение на концах участка цепи совпадает с разностью потенциалов только в том случае, когда на данном участке цепи нет

ЭДС (U12 = 1 – 2).

Известно, что U12 = I R12, тогда выражение (6.1) перепишется в виде

I R12 1 2 E12 .

Это обобщенный закон Ома. Он выражает закон сохранения и превращения энергии применительно к участку цепи постоянного тока. Закон Ома в равной мере справедлив как для пассивных (не содержащих ЭДС) участков цепи, так и для активных участков.

В замкнутой цепи 1 2 и E I R , тогда получаем

I E , R R r ,

R

где r – сопротивление источника ЭДС.

Величина сопротивления зависит от формы, размеров проводника и свойств материала, из которого он изготовлен.

Для однородного проводника сопротивление можно найти с помощью выражения

R Sl ,

где – удельное сопротивление, Ом м; l и S – длина и площадь поперечного сечения проводника.

– 152 –

Для неоднородного участка цепи выражение имеет вид

R 2 dl.

12 1 S

Найдем связь между вектором плотности тока j и вектором напряженности электрического поля E (рисунок 6.2).

Рисунок 6.2

В изотропном проводнике носители заряда движутся в направлении действия силы, т.е. направление вектора j совпадает с направлением вектора напряженности E:

Тогда плотность тока j dSdI 1 E.

Величина = 1/ – удельная электрическая проводимость, или электропроводность, которая измеряется в сименсах (См). Тогда можно записать

j E .

– 153 –

Мощность тока. Закон Джоуля – Ленца

Рассмотрим произвольный участок цепи, к концам которого приложено напряжение U. За время dt через каждое сечение проводника проходит заряд dq = I dt.

При этом силы электрического поля, действующие на данном участке, совершают работу

dA Udq U I dt .

Разделим работу на время и получим выражение для мощности

N dAdt UI .

Независимо друг от друга Джоуль и Ленц открыли закон, что при протекании тока в проводнике выделяется определенное количество теплоты

Q RI 2t .

Если ток изменяется со временем, то выражение записывается следующим образом:

t

Q RIt2dt .

0

Следовательно, нагрев происходит за счет работы, совершаемой силами поля над зарядом: Q U It A.

Получим закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме: dQ RI 2dt dSdl jdS 2 dt j2dldSdt j2dV dt ,

где dV = dl dS – элементарный объем.

Тогда количество теплоты, выделяющейся в единице объема в единицу времени, будет

Qуд j2 .

Эта формула выражает закон Джоуля – Ленца в локальной форме.

Удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.

– 154 –

Последнее уравнение представляет собой наиболее общую форму закона Джоуля – Ленца, применимую к любым проводникам вне зависимости от их формы, однородности и природы сил, возбуждающих электрический ток.

Так как выделяющаяся теплота равна работе сил электрического поля, то для мощности, выделяющейся в единице объема, можно записать

Nуд j2.

6.2Примерырешениязадач

1.Оценить среднюю скорость упорядоченного движения

электронов в медном проводнике, по которому течет ток плотностью j = 25 А/см2. Плотность меди ρ = 8,93 103 кг/м3.

Молярная масса меди = 64 10–3 кг/моль. Число Авагадро NА = = 6,02 1023 1/моль.

Решение. Скорость может быть найдена из соотношения v J en .

Оценим концентрацию носителей заряда в медном проводнике. Медь – элемент первой группы, поэтому число свободных электронов примерно равно числу атомов. Найдем концентрацию электронов проводимости:

Тогда скорость направленного движения электронов

2. Найти внутреннее сопротивление r и напряжение на зажимах элемента U с ЭДС E = 2,1 В, находящегося ни расстоянии l = 20 м от потребителя электрической энергии, если при сопротивлении потребителя R = 2 Ом ток в цепи I = 0,7 А. Провода медные диаметром d = 1,2 мм; удельное сопротивление меди ρ = 0,017 мкОм м.

– 155 –

Решение. Сопротивление подводящих проводов длиной 2 l будет

R0 2Sl d22l4 8dl2 ,

где – удельное сопротивление проводника; d – диаметр проводника.

Подставим численные значения и получим

или r = 2,1/0,7 – (2+0,6) = 0,4 Ом.

Согласно закону Ома для участка цепи напряжение на зажимах элемента будет

U = I (R + R0) = 0,7 (2 + 0,6) = 1,82 В.

3.Элемент замкнут сначала на внешнее сопротивление R1 =

=2 Ом, а затем на внешнее сопротивление R2 = 0,5 Ом. Найти ЭДС элемента E и его внутреннее сопротивление r, если известно, что в

каждом из этих случаев мощность, развиваемая во внешней цепи, одинакова и составляет N1 = N2 = N = 2,54 Вт.

Решение. Закон Ома для полной цепи в первом и втором случае имеет вид

– 156 –

Подставим полученные значения токов в формулы (1):

Подставим вычисленное значение r в формулу (1), получим

E= I1(R1 + r) = 1,127 (2 + 1) = 3,38 В.

4.Напряжение городской сети U1 = 220 В. Длина проводки к дому l = 50 м. Определить сечение подводящих проводов, если из-

вестно, что при включении полной нагрузки, состоящей из n1 = 100 штук N1 = 75-ваттных и n2 = 50 штук N2 = 25-ваттных лампочек, напряжение на лампочках U2 = 210 В. Проводка изготовлена из медного провода.

Решение. Сопротивление проводов определим по формуле R Sl , откуда площадь поперечного сечения проводов

где – удельное сопротивление проводов; l – длина проводки, состоящая из двух проводов: l = 2l1. Сопротивление R найдем из условия

I U1 U2 , R

где I – cила тока в подводящих проводах; U1 – U2 – падение напряжения на подводящих проводах. Мощность, потребляемая всеми лампами, N = I U2, где I – суммарный ток всех ламп; U2 – напряжение на лампах.

Эта мощность равна сумме мощностей всех ламп N = n1N1 + + n2N2. Приравняв полученные выражения, получим силу тока в подводящих проводах

– 157 –

I n1N1 n2 N2 , U2

где n1N1 + n2N2 – полная мощность, потребляемая всеми лампами; U2 – подводимое к ним напряжение.

Запишем сопротивление:

Подставим выражение (2) в формулу (1), получим

S l n1N1 n2 N2 , U1 U2 U2

так как l = 2l1, то

S 2 l1 n1N1 n2 N2 . U1 U2 U2

Подставим числовые значения:

S 2 1,7 10 8 50(100 75 50 25) 7,1 10 6 м2 7,1 мм2 . (220 210) 210

5. Сила тока в проводнике с сопротивлением R = 120 Ом рав-

номерно возрастает от I0 = 0 до Imax = 5 А за время τ = 15 с. Определить выделившееся за это время количество теплоты в проводнике.

Решение. Количество теплоты dQ I 2rdt . Ток в цепи возраста-

ет линейно: I kt , где k Imax I0 .

В итоге имеем

QdQ Rk2t2dt 13 Rk2 3

R Imax I0 2 120 25 15 15 кДж. 3 3

– 158 –