Прикладная механика

2 2 1; N2l 2N1l ,

EA2 EA1

Пример 2. Определить напряжение в стальном болте и охватывающей его медной трубке (рис. 26) при повороте гайки

путем проектирования сил на ось болта

Nc 2 N2м 0 ,

21

Уравнение совместности деформаций получается из условия, что удлинение болта, сложенное с укорочением трубки, должно равняться перемещению гайки.

Пример 3: Жесткий брус АВ (рис. 27, а) подвешен на трех тягах и нагружен силой Р. Подобрать площадь поперечного сечения тяг, если тяга 1 стальная, тяга 2 медная, с площадью поперечного сечения в три раза большей, чем площадь тяги 1, а тяга 3 дюралюминевая, с площадью сечения в два раза большей тяги 1. Допускаемые напряжения принять следующими: для стали с = 160 МПа, м = 60 МПа, для дюралюмина = 120

МПа.

Рис. 27

Решение: Предположим, что все тяги будут растянуты, брус АВ после нагружения займет новое положение А′В′, изображенное на рис. 27, б. Направление соответствующих реакций точек подвеса тяг также изображено на этом рисунке.

22

Составим уравнения равновесия – суммы моментов относительно точек С и D

1)mC N2 1,5a N3 2,5a P a 0,

2)mD N1 2,5a N2a P 1,5a 0 .

Удлинения всех тяг можно связать следующей зависимостью:

Заменим в этом уравнении значения удлинений их выражениями:

После выполнения сокращений и упрощений уравнения (1), (2) и (3) и приводятся к следующей системе

23

Но необходимо выполнить заданные условия соотношения

Обе эти площади больше необходимых по условиям прочности, что допустимо. Если бы в качестве исходных мы взяли полученные из условий прочности площади А1 и А3, то, соблюдая заданные соотношения, площади сечений остальных тяг оказались бы меньше допустимых по условиям прочности.

Итак, окончательно принимаем: А1= 867 мм2, А2=2600 мм2,

А3= 1733 мм2.

Недогрузка стержней 2 и 3 является характерной особенностью статически неопределимых систем, у которых на предельном напряжении, как правило, работают лишь самые слабые звенья, в данной конструкции тяга 2.

1.3. Температурные напряжения

Если элементы конструкции лишены возможности свободно деформироваться, то при изменении температуры в них возникают так называемые температурные усилия и соответствующие им температурные напряжения.

Напряжения, возникающие в поперечных сечениях однородного стержня, защемленного на концах, при изменении температуры определяются по формуле

где α – коэффициент линейного температурного расширения; ∆t – изменение температуры против начального значения; Е – модуль упругости.

Напряжения положительны (растягивающие), если температура понижается, и отрицательны (сжимающие) если температура повышается.

При наличии зазора δ между одним из концов стержня и

24

где l длина стержня.

В случае ступенчатого стержня с защемленными концами усилие, возникающее при изменении температуры,

где αi – коэффициент линейного температурного расширения материала ступени;

l i - длина ступени;

Е i – модуль упругости материала ступени; А i - площадь поперечного сечения ступени.

Температурное напряжение в поперечном сечении любой

Пример 1. Железнодорожные рельсы сварены при температуре окружающей среды 20ºС. Определить напряжение в рельсах при повышении температуры окружающей среды до

40ºС, если α = 12·10-6 и Е = 2·105 МПа.

Решение. Изменение температуры равно ∆t = 40º20º =20º. Напряжение определим по формуле (8)

σ = - Еα∆t = - 2·105·12·10-6·20 = - 480 МПа.

Пример 2. Определить напряжения в стальной и медной частях ступенчатого стержня (рис. 28) при повышении температуры на ∆t = 30ºС. Размеры: lст=100 см, lм=140 см, зазор δ=0,03 см, Аст=10 см2, Ам=20 см2. Модули упругости

Ест=2·105 МПа, Ем=1·105

МПа. Коэффициенты температурного

25

расширения αст=12·10-6, αм=16·10-6.

Задачи

1.33. Жесткий брус закреплен с помощью системы стержней одинакового поперечного сечения и одного материала (рис. 29). Значения размера х приведены в таблице: принимая Р = 180 кН и [σ] = 160 МПа, определить площадь поперечного сечения стержней.

26

Ответ:

1.36. Определить усилия в сечениях стержней (рис. 32), показанных на рисунке на участках І, ІІ и ІІІ. Закрепление концов всех стержней абсолютно жесткое.

28