Цифровые системы автоматического регулирования

и кратные величине q — шагу квантования. Шаг квантования зависит от максимального значения числа (МЗЧ) и длины

представляемого цифровым кодом слова: q 2 N МЗЧ , где N — число двоичных разрядов (битов).

y

2q

q

q2

Рис. 8.1. Квантование по уровню

Ясно, что ошибка квантования (то есть разница x(t) – y(t)) будет лежать в интервале от q2 до q2 .

Строго говоря, нелинейных устройств, изображенных на рис. 8.1, даже в простейшей одноструктурной схеме с микропроцессором, как минимум, три [7] (рис. 8.2): это нелинейности АЦП, микропроцессора и ЦАП.

– 201–

Исследование такой системы чрезвычайно сложно, поэтому обычно задачу упрощают, пренебрегая нелинейностями АЦП и ЦАП. Структурная схема при этом принимает вид, представленный на рис. 8.3. Здесь в качестве фильтра дискретного сигнала использован, как обычно, ЭНП с передаточной функцией

W0 (s) 1 es Ts .

Ограничения в представлении чисел в МП приводят к неточности в реализации закона управления. Причиной этого является неполная компенсация нулей и полюсов передаточной функции управляемого процесса (при синтезе системы с конечным временем переходного процесса) или неточное задание матрицы обратной связи (при синтезе системы с обратной связью по состоянию). Неточно могут задаваться и отдельные коэффициенты передаточной функции регулятора. Все это вызывает дополнительные ошибки, которые требуют анализа и учета.

Рис. 8.3. Упрощенная структурная схема цифровой системы

Кроме того, нелинейность квантователя Q приводит к дополнительному возрастанию общей ошибки (за счет ошибок квантования), а также к возникновению в системе незатухающих колебаний (предельного цикла).

– 203–

8.2. Статистический учет ошибок квантования по уровню

Наибольшее значение ошибки квантования, как мы уже

выяснили, равно q/2. Поэтому «наихудшая» ошибка в цифровой системе, представленной на рис. 8.3, вследствие квантования по уровню может быть определена при замене кван-

тователя Q на внешний источник шума амплитудой q/2. Эквивалентная схема при такой замене представлена на рис. 8.4.

q/2

Рис. 8.4. Статистический учет ошибки квантования

На основании этой схемы z-изображение максимальной ошибки вследствие квантования по уровню будет иметь вид

Само значение ошибки может быть определено из обратного z-преобразования правой части выражения (8.1).

Иногда оценки ошибки «сверху» бывает недостаточно и приходится прибегать к статистическим оценкам. Ошибка

– 204–

квантования при произвольном сигнале на входе является случайной величиной с нулевым математическим ожиданием.

Можно показать, что если выполняются два условия: 1) q МЗЧ/8 ;

2) плотность распределения сигнала u1* t — гладкая функция (например, гауссова),

то все значения ошибки квантования u1* u1*кв , располо-

женные в интервале от – q/2 до q/2, равновероятны, то есть плотность распределения ошибки p( ) постоянна в диапазоне

от – q/2 до q/2 [7] :

Первое условие выполняется всегда, так как оно означает, что количество разрядов для представления числа в МП не меньше 3. Второе условие также справедливо, поскольку, как правило, нет никаких оснований предполагать противное.

Дисперсия ошибки при распределении (8.2), как известно из теории вероятности, определяется выражением

D 2 p( )d q2 12. (8.3)

Если при этом еще предположить некоррелированность ошибок квантования на каждом шаге, то эффекту от квантования по уровню эквивалентно дополнительное воздействие на систему идеального белого шума с интенсивностью

N2 q2 (12 s ) . Такая замена основана на том, что удобный

саналитической точки зрения идеальный белый шум с бесконечным частотным спектром Su ( ) N воспринимается циф-

ровой системой так же (вследствие квантования по времени с частотой s ), как и реальный белый шум с шириной спектра

s 2 и интенсивностью N.

– 205–

Спектральная плотность такого реального белого шума

а его дисперсия Dp равна дисперсии ошибки квантования

D :

Таким образом, схему, изображенную на рис. 8.3, можно заменить эквивалентной (в статистическом смысле) схемой, приведенной на рис. 8.5.

Белый шум итенсивностью N

Рис. 8.5. Учет ошибки квантования в виде белого шума

Система, представленная на рис. 8.5, является линейной и может быть исследована в рамках линейной теории. Например, дисперсию ошибки, вызванной квантованием по уровню, можно найти по формуле

– 206–

W0W(z).

Для вычисления интеграла в правой части формулы (8.4) удобнее перейти к псевдочастоте w согласно соотношениям

Продифференцировав правую и левую части выражения

(8.5), найдем

Подставив выражение (8.6) в формулу (8.4) и перейдя к пе-

Интеграл в последнем выражении легко находить, пользуясь существующими таблицами для интегрирования спектральных плотностей, так как подынтегральное выражение в (8.7) приводится к требуемому для этого виду.

8.3. Анализ предельного цикла

Рассмотренные выше методы учета ошибок квантования не учитывают ошибку, вызванную возможным существованием в цифровой системе предельного цикла. Чаще всего предельный цикл исследуется методом гармонического баланса,

– 207–

основанного на гармонической линеаризации нелинейности (обычно одной). Суть метода гармонической линеаризации состоит в замене нелинейного звена эквивалентным с точки зрения прохождения чисто гармонического сигнала линейным звеном с комплексным (в общем случае) коэффициентом передачи K(А) (этот коэффициент называется коэффициентом гармонической линеаризации), зависящим от амплитуды сигнала.

Применение метода гармонического баланса основано на предположении, что линейная часть системы пропускает только основную частоту (первую гармонику) возможных автоколебаний (гипотеза фильтра).

Одно из необходимых условий наличия в нелинейной системе автоколебаний состоит в том, что период колебаний в произвольной точке замкнутого контура не должен измениться при возвращении сигнала в эту точку после прохождения по контуру (отсюда название — метод баланса). Ясно, что выполнение этого условия в системе с периодическим квантованием по времени возможно только в случае, если период автоколебаний в предельном цикле содержит целое число периодов квантования Т, причем не менее двух. Поэтому период автоколебаний Tг при решении данной задачи измеряется в

относительных единицах — в периодах квантования Т:

Tг Tг T ,

где Tг – относительный период.

Относительная частота автоколебаний г будет выражаться формулой

N = 1, 2, …

Наличие квантования по времени в цифровых системах вносит особенности в поведение коэффициента гармонической линеаризации: он оказывается зависимым не только от

– 208–

амплитуды автоколебаний Аг , но и от относительной частоты

г (или от N). Коэффициент гармонической линеаризации оказывается зависимым также от фазы г , характеризующей

сдвиг начальной фазы автоколебаний относительно момента квантования сигнала по времени (момента замыкания ключа).

Исследование предельного цикла сопряжено с большим объемом вычислительных и графических операций, причем положительный результат (то есть наличие в системе автоколебаний) разработчика, как правило, не устраивает.

При исследовании предельного цикла в цифровой системе нужно помнить, что даже если предельный цикл наблюдается, он может иметь незначительную амплитуду и слабо влиять на качество управления в такой системе.

– 209–

Литература

1.Карпов А.Г. Цифровые системы автоматического управления (Основы теории) : учеб. пособие / А.Г. Карпов. Томск:

НТЛ, 2007. 288 с.

2.Карпов А.Г. Теория автоматического управления. Ч. 1 :

учеб. пособие / А.Г. Карпов. Томск: ТМЛ-Пресс, 2011.

212с.

3.Карпов А.Г. Теория автоматического управления. Ч. 2 :

учеб. пособие / А.Г. Карпов. Томск: ТМЛ-Пресс, 2012.

264с.

4.Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления / Б. Куо. – М.: Машиностроение, 1984. – 447 с.

5.Деруссо П. Пространство состояний в теории управления / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз. – М.: Наука, 1970. – 620 с.

6.Карпов А.Г. Математические основы теории систем :

учеб. пособие / А.Г. Карпов. Томск: ТМЛ-Пресс, 2013.

312с.

7.Микропроцессорные автоматические системы регулирования. Основы теории и элементы : учеб. пособие / В.В. Солодовников, В.Г. Коньков, В.А. Суканов, О.В. Шевяков. – М.: Высшая школа, 1991. – 255 с.

– 210–