Теория автоматического управления. Часть 2
.pdf− |
∂R |
= min{r(x(t),u(t),t)+ < grad R ,f >}. |
(4.4.9) |
|
|
∂t |
u(t) |
x |
|
|
|
|
|
|
Введя обозначение p = gradx R для обобщённого вектора количества движения и H(x,u,p,t)=<p,f > +r для функции Гамильтона, выражение (4.4.9) превратим в уравнение
−∂R = min H(x,u,p,t).
∂t u(t )
Подставив в полученное уравнение оптимальное управление u (t)и оптимальную траекторию x (t), получим классическое уравнение Гамильтона−Якоби
−∂R = H(x ,u ,p,t),
∂t
дополненное условием
min{r(x(t),u(t),t)+ < grad R ,f >}. |
(4.4.10) |
u(t) |
x |
|
Условие (4.4.10) обеспечивается, если приравнять нулю производную по u от выражения в фигурных скобках
grad |
u |
r+ < grad |
x |
R ,f >= 0 . |
(4.4.11) |
|
|
|
|
Итак, в случае непрерывных систем с уравнениями объекта
261
xɺ = f(x,u)
и интегральным критерием
t f
R = ∫r(x,u,t)dt
t0
принцип динамического программирования приводит к уравнению Беллмана
r(x ,u ,t)+ ∂∂R + < gradx R ,f >= 0 , t
где R = min R , а u и x - оптимальное управление и оптимальная траектория движения объекта соответственно, дополненное уравнением (4.4.11) относительно R .
В простейшем случае, когда имеется система первого порядка и ска-
лярное управление, уравнение объекта имеет вид |
x = f (x,u). Уравнение |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ɺ |
Беллмана в этом случае будет |
|
|
|
|
|
||
r(x ,u ,t)+ |
∂R |
+ ∂R |
f = 0 , |
(4.4.12) |
|||
|
|
|
∂t |
∂ x |
|
|
|
а необходимое условие минимума критерия |
|
|
|||||
|
∂ r |
+ |
∂ f |
∂ R |
= 0 . |
|
|
|
|
∂ x |
|
||||
|
∂u |
∂u |
|
|
|
||
262 |
|
|
|
|
|
|
|
Оптимальное управление, таким образом, будет релейным u = ±M в
соответствии со знаком функции ∂R , удовлетворяющей нелинейному
∂ x
дифференциальному уравнению в частных производных
− |
∂R |
= x2 − ax |
∂R |
− γ M |
∂R |
|
∂t |
|
∂ x |
|
∂ x |
с граничными условиями x(t0 )= x0 ;R (x,t f )= 0 .
Как видно, сравнительно легко устанавливается общий характер оптимального управления, однако определение линии переключения – отнюдь не простая задача. Аналитическое решение подобного рода задач возможно только в исключительных случаях и приходится прибегать к численным методам.
Сформулируем некоторые выводы.
1.Метод динамического программирования приводит к необходимости решения уравнения Беллмана или Гамильтона−Якоби.
2.Для решения уравнений Гамильтона−Якоби можно воспользоваться методами, описанными в стандартных учебниках классической механики и курсах прикладной математики для некоторых частных случаев.
3. В общем случае нет метода, позволяющего определить R и u в
аналитическом виде. Для решения же задач численными методами требуется объем вычислений, затруднительный даже для современных ЦВМ.
265
4.В процессе решения задач оптимизации управление определяется как функция координат состояния объекта, что облегчает синтез замкнутых САУ.
5.Метод динамического программирования применим как для равномерно оптимальных, так и для статистически оптимальных САУ.
6.Решение задач оптимального управления методом динамического программирования приводит к получению оптимизирующих функций R , являющихся одновременно функциями Ляпунова для замкнутых систем. Таким образом, соответствующее этим функциям
оптимальное управление u и реализующие это управление регу-
ляторы обеспечивают не только минимальное значение критериев качества, но и устойчивость замкнутой системы.
7.Метод динамического программирования даёт физически прозрачные результаты и напрямую направлен на решение задач оптимизации с помощью ЦВМ.
266
ЛИТЕРАТУРА
1.Карпов А.Г. Математические основы теории систем. Часть 2: Учебное пособие. − Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2002. − 138 с.
2.Карпов А.Г. Цифровые системы автоматического управления (Основы теории): Учебное пособие. − Томск: Изд-во НТЛ, 2007. − 288 с.
3.Решетникова Г .Н . Моделирование систем: Учебное пособие. – Томск: Томск. гос. ун-т сист. упр. и радиоэлектроники, 2005. – 261 с.
4.Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: «Наука», 1971. – 744 с.
5.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат,
1965, 207 с.
6.Юревич Е.И. Теория автоматического управления. Л.: «Энергия», 1975. – 416 с.
7.Карпов А.Г. Теория автоматического управления. Часть
1:Учебное пособие. − Томск: Изд-во ТМЛ-Пресс, 2011. – 212 с.
8.Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Под ред. Бесекерского В.А. – М.: Наука, 1978. – 512 с.
267
Учебное издание
Александр Георгиевич Карпов
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Часть 2
Учебное пособие
Издание подготовлено в авторской редакции Верстка макета и обложки В.К. Савицкого
Подписано к печати 29.01.2012. Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Ризография. Гарнитура «Times».
Усл. п. л. 15,35. Уч.-изд. л. 14,6. Тираж 100 экз.
ООО «Издательство ТМЛ-Пресс» 634050, г. Томск, ул. Совесткая, 33, Тел. (382-2)-52-87-15
Отпечатано на оборудовании Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники,
634050, г. Томск, пр. Ленина, 40
268