Теория автоматического управления. Часть 2

может остаться на сфере С1, не дойдя до начала координат (пунктирная линия на рис. 2.23).

Собственно, второй метод Ляпунова и заключается в отыскании такой функции, которая бы удовлетворяла сформулированному выше условию устойчивости. Такие функции и назвали функциями Ляпунова.

Как уже было отмечено выше, для определения знака производной вовсе не требуется решать дифференциальные уравнения системы. Это, конечно, плюс. Минусом же является то, что не существует общего правила для нахождения функции Ляпунова для любых нелинейных систем. Часто отыскание функции Ляпунова требует определённого искусства и математической интуиции.

Много для развития прямого метода Ляпунова сделал А.И. Лурье, указавший общий метод выбора функций Ляпунова для целого класса нелинейных систем.

Сам Ляпунов предложил для линейных (линеаризованных) систем

производную dV задавать в виде суммы квадратов переменных состоя- dt

ния с обратным знаком

а функцию V – в виде квадратичной формы

где xT = (x1, x2,..., xn ) – вектор состояния, B – симметрическая матрица

квадратичной формы. 102

Элементы матрицы B можно найти, взяв производную по времени от выражения (2.3.29) с учетом линеаризованных уравнений состояния и приравняв полученное выражение к правой части формулы (2.3.28).

Пример 2.3.2 [5]. Динамика системы задана уравнениями состояния

где α, β, a и b – положительные коэффициенты. Выберем функцию V в виде

Возьмем производную по времени

Подставив в последнее выражение правые части уравнений (2.3.30), получим

dV = −2(1− ax12 − bx22 )(αx12 + βx22 ). dt

Понятно, что dVdt < 0 при выполнении неравенства

103

Таким образом, при выполнении неравенства (2.3.32) функция (2.3.31) является функцией Ляпунова, а этого достаточно для того, чтобы движение системы (2.3.30) была асимптотически устойчивым внутри эллипса

Сам же эллипс (2.3.33) является границей устойчивости, а в плоскости состояний представляет собой неустойчивый предельный цикл.

Следует ещё раз подчеркнуть, что второй метод Ляпунова даёт только достаточные условия устойчивости. Следовательно, определив какуюлибо функцию Ляпунова, мы найдём только ту область фазового пространства, где система точно устойчива, но вне этой области сказать об устойчивости уже ничего нельзя. То есть мы определяем только часть общей области устойчивости. Величина этой части зависит от того, насколько удачно выбрана функция Ляпунова.

2 . 3 . 7 . Часто тный кр итер ий абсо лютно й усто йчиво сти В . М . По по ва

Во многих случаях нелинейную систему можно представить соединением линейной части и нелинейного звена в обратной связи (рис. 2.24, а).

Рассматриваемый критерий касается статических нелинейностей, характеристики которых располагаются в первом и третьем квадрантах между осью абсцисс и прямой kx (рис. 2,.24, б), то есть нелинейность задана 104

Сами нелинейные характеристики могут иметь любой вид, поэтому, по сути, рассматривается не конкретная нелинейная характеристика, а целый класс нелинейностей, удовлетворяющих условию (2.3.24). Асимптотическая устойчивость в целом для некоторого класса нелинейностей называется абсолютной устойчивостью.

В 1949 г. М.А. Айзерман предположил, что если будут асимптотически устойчивы все линейные системы, в которых нелинейность заменена на линейную зависимость ϕ(x)= ax и 0 < a < k (то есть линейная зависимость лежит в секторе (0,k)), то будет устойчива и любая нелинейная система, в которой нелинейность удовлетворяет условию (2.3.24). Это предположение известно под названием гипотезы или проблемы Айзермана. Позднее гипотеза Айзермана была доказана для систем второго порядка (исключая асимптотическое приближение нелинейности к краям луча), но для систем более высокого порядка были придуманы примеры, противоречащие этой гипотезе.

1 В таком случае говорят, что нелинейность задана в секторе (0, k).

105

Поиски наиболее широкого луча для абсолютной устойчивости системы привели к разработке в 1959 г. румынским ученым В.М. По́повым частотного критерия, в известном смысле обобщающего критерий устойчивости Найквиста и дающего достаточные условия абсолютной устойчивости. Приведём критерий без доказательства. Начнём со случая, когда линейная часть системы является устойчивой.

Теорема 2.3.4. Для абсолютной устойчивости нелинейной системы (рис. 2.24) с нелинейной однозначной характеристикой (2.3.24) и устойчивой линейной частью достаточно, чтобы существовало такое вещественное число q, при котором для 0 ≤ ω < ∞ выполняется неравенство

Графическая иллюстрация неравенства (2.3.25) весьма наглядна. Введем в рассмотрение видоизмененную частотную передаточную функцию

Передаточная функция (2.3.26) получается из передаточной функции непрерывного звена W(jω) умножением на ω ординат последней. Тогда геометрическая формулировка критерия По́пова следующая.

Для абсолютной устойчивости нелинейной системы (рис. 2.24) с нелинейной однозначной характеристикой (2.3.24) и устойчивой линейной частью достаточно, чтобы в комплексной плоскости через точку вещественной оси с абс-

циссой − 1 можно было провести прямую так, чтобы видо- k

106

измененная частотная характеристика W (jω) целиком рас-

полагалась справа от этой прямой.

Прямая, упомянутая в приведённой выше формулировке, называется прямой По́пова. На рис. 2.25, а приведен пример, когда прямая По́пова может быть проведена (причем не одна), на рис. 2.25, б – когда такую прямую провести нельзя. В последнем случае, поскольку критерий По́пова является достаточным, сказать об устойчивости ничего нельзя.

Рис. 2.25. Критерий По́пова

Так как у характеристик W(jω) и W (jω) одинаковые вещественные части, они пересекают вещественную ось в одних и тех же точках. Если годограф W (jω) имеет выпуклую форму, то критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова совпадает с критерием Найквиста для линейной системы при замене нелинейности ϕ(x) прямой kx. Действительно, в этом случае условие неохвата годографом kW(jω) критической точки (−1, j0) совпадает с условием абсолютной устойчивости В.М. Попова. Такие нелинейные системы называют системами, устойчивыми в гурвицевом угле, понимая под гурвицевым углом угол, образованный прямой

107

y= kпр x , где kпр – предельный коэффициент усиления линейной системы,

игоризонтальной осью.

Теперь разберем случай неустойчивой линейной части. Если линейная часть системы с передаточной функцией W(s) неустойчива, можно сделать её устойчивой с помощью жесткой отрицательной обратной связи с некоторым коэффициентом передачи kф. Попутно обратим внимание на то, что если сделать линейную часть устойчивой таким методом невозможно, то это уже означает отрицательный ответ на вопрос об абсолютной устойчивости нелинейной системы, поскольку даже замена нелинейной характеристики φ(x) на линейную с любым наклоном не делает систему устойчивой.

Преобразуем структурную схему системы (см. рис. 2.24, а), введя два фиктивных звена с коэффициентами передачи kф в обратных связях линейной и нелинейной части (рис. 2.26).

Рис. 2.26. К критерию По́пова для системы с неустойчивой линейной частью

Разумеется, в системе ничего не изменится, так как выходные сигналы этих фиктивных звеньев взаимно компенсируются на входе линейной части. Но теперь линейная часть с передаточной функцией

108

Wф(s)= 1+ kфW(s)

является устойчивой и возможно применение критерия По́пова при нелинейности

Поскольку теперь новая нелинейная характеристика (2.3.27) расположена в секторе (0,k − kф ), для абсолютной устойчивости системы доста-

ственной оси. При этом первоначальная характеристика φ(x) должна располагаться в секторе (kф, k) (рис. 2.26, б).

Можно распространить критерий По́пова и на более общий случай нелинейности, когда последняя лежит в секторе (k1, k2 ), где k1 может принимать не только положительные, но и отрицательные значения. Действительно, этот случай сводится к случаю нелинейности в секторе (0,k), если преобразовать структурную схему системы наподобие схемы рис. 2.26, а, положив kф = k1 . Тогда получим систему с нелинейностью

ϕф(x)= ϕ(x)− k1x ,

109

расположенной в секторе (0,k), где k = k2 − k1 , и линейную часть с передаточной функцией

Wф (s)= 1+W (s)( ) .

k1W s

Если линейная часть находится на границе устойчивости, то есть передаточная функция W(s) имеет полюс в начале координат или на мнимой оси, то формулировка критерия По́пова остается такой же, как для устойчивой линейной части, но требует двух дополнений.

1.Устойчивой должна быть линейная система с передаточной функцией kW(s) приk →0 .

2.Нелинейная характеристика не должна касаться оси абсцисс, то есть нелинейность располагается в секторе (ε,k), где ε − бесконечно ма-

лая величина.

2 . 3 . 8 . Мето ды м ало го парам етра

Эти методы являются приближенными и позволяют исследовать устойчивость различных режимов в нелинейных системах, определять параметры автоколебаний (предельных циклов), а также их устойчивость. Разработано много различных вариантов методов малого параметра. Самыми ранними работами по подобным методам являются, видимо, работы Пуанкарэ, Ляпунова, Рэйли и Ван-дер-Поля. Впоследствии методами малого параметра занимались Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, А.А. Андронов, Б.В. Булгаков и другие исследователи. Все подобные методы предполагают, что нелинейности достаточно малы (отсюда и название

110