Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Многочлены от одной переменной (теория и приложения)

..pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
1.4 Mб
Скачать

§5. Кратные корни многочленов

и так далее. В таких случаях число называется кратным корнем многочлена.

Число называется корнем кратности k многочлена f (x), если f (x) делится на (x )k , но не делится на

(x )k 1 .

Если число является корнем кратности k многочлена f (x), то многочлен представим в виде

f (x) (x )k q(x) .

(5.1)

Корни кратности 1 называют простыми корнями. Например, для многочлена x4 5x3 8x2 7x 2(x 1)3 (x 2) число 1 является корнем кратности 3, чис-

ло 2 – простым корнем, число 4 – корнем не является.

Пример 22. Докажите, что число 2 является корнем многочлена f (x) x4 3x3 3x2 16x 12 и найдите кратность этого корня.

Решение. f (2) 24 3 23 3 22 16 2 12 0 . Значит, 2 –

корень многочлена и f (x) делится на x – 2. Найдем частное q(x).

 

 

 

 

коэффициенты делимого

 

 

1

–3

 

–3

 

16

–12

2

1

1 2–3= –1

 

–1 2–3= –5

 

–5 2+16=6

6 2–12=0

 

 

коэффициенты частного

остаток

 

Получили частное q(x) x3

x2 5x 6 .

Следовательно,

f (x) (x 2)(x3 x2

5x 6) .

 

 

 

Выясним, делится ли f (x) на (x 2)2 . Это зависит от того де-

лится ли q(x) на x – 2. Так как q(2) 23

22 5 2 6 0 , то по

теореме Безу q(x) делится на x – 2. Находим частное q1(x):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

коэффициенты делимого

 

 

 

1

–1

 

–5

 

6

 

2

 

1

1 2 – 1 = 1

 

1 2–5 = – 3

 

– 3 2 + 6 = 0

 

 

 

 

коэффициенты частного

 

 

остаток

 

31

§5. Кратные корни многочленов

Итак, q (x) x2 x 3

и f (x) (x 2)2 (x2 x 3) . Значит,

1

 

 

 

f (x) делится на

(x 2)2 .

Многочлен

x2 x 3 не делится на

x 2 , так как

q1(2) 4 2 3 0 . По определению число 2 –

корень кратности 2 многочлена f (x).

При нахождении кратности корня существенно помогает понятие производной многочлена, которое вводится следующим образом.

Пусть f (x) a0xn a1xn 1 ... an 1x an .

Производной многочлена f(x) называется многочлен

f (x) na

xn 1 (n 1)a xn 2

... a

.

(5.2)

0

1

n 1

 

 

По определению полагаем, что производная константы равна нулю, т.е. (a) 0 .

Так как производная данного многочлена f(x) есть многочлен f (x) , то для него можно найти производную. Обо-

значим ее символом f (x) и будем называть второй производной от многочлена f(x). Аналогично, производную от f (x) обозначим символом f (x) и назовем третьей производной от многочлена f(x), и вообще, символом f (k ) (x) обозначают производную порядка k от многочлена

f(x).

Приведем основные свойства производной, вытекающие

из ее определения.

 

1) Если deg f(x) = n, то deg f (x) n 1

(n ) ;

2)Если многочлен f(x) – константа, то его производная равна нулю, и если f (x) 0 , то f(x) – константа;

3)Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(c f (x)) c f (x) , где c K;

4) Производная суммы (разности) двух многочленов равна сумме (разности) производных этих многочленов:

( f (x) g(x)) f (x) g (x) ;

32

§5. Кратные корни многочленов

5) Производная произведения двух многочленов равна сумме произведений производной первого многочлена на второй и производной второго многочлена на первый:

( f (x) g(x)) f (x) g(x) f (x) g (x) ; 6) ( f m (x)) m f m 1(x) f (x) (m ) .

Способ нахождения кратности корня многочлена с помощью производной дает следующая теорема.

Теорема 5.1. Если – корень кратности k многочлена f (x), то корень кратности k 1 многочлена f (x) .

Доказательство. Пусть – корень кратности k многочлена f(x). Это значит, что f (x) (x )k q(x) и частное q(x) не делится на x , то есть по теореме Безу q( ) 0 .

Тогда

f (x) k(x )k 1 q(x) (x )k q (x) (x )k 1

(kq(x) (x )q (x)) .

Из этого равенства следует,

что

q (x)

(x )k 1

и при

x частное q (x) отлично от нуля.

 

 

 

1

 

В самом деле

q1( ) kq( ) ( )q ( ) kq( ) 0 .

По

следствию 3.2 теоремы Безу q1 (x) не делится на x и поэтому f (x) не делится на ( x )k . Следовательно, – корень кратности k 1 многочлена f (x) .

Из этой теоремы вытекает такое следствие.

Следствие 5.2. Если – корень кратности k многочлена f (x), то является корнем всех его производных до (k 1) -го порядка включительно и не является корнем

производной k-го порядка.

 

 

Заметим, что если – кратный

 

 

корень многочлена f (x), то ось ОХ

у

 

является

касательной к графику

 

х

функции

у = f (x). В самом деле,

 

 

 

если – кратный корень много-

k – нечетное

k – четное

 

члена f (x), то – корень произ-

33

§5. Кратные корни многочленов

водной f (x) , следовательно, касательная к графику функции у = f (x) горизонтальна, то есть совпадает с осью ОХ (точка ( ; f ( )) лежит на оси ОХ). Если – корень четной кратности, то функция при переходе через точку сохраняет знак, если – корень нечетной кратности, то функция при переходе через точку меняет знак на противоположный.

Пример 23. Докажите, что число (–1) является корнем мно-

гочлена f (x) x5 2x4 2x3 4x2

5x 2

и найдите его крат-

ность.

 

 

 

Решение. Так как f ( 1) 0 ; то (–1) –

корень многочлена

f (x). Вычислим производную f (x) 5x4 8x3 6x2 8x 5 . Так

как

f ( 1) 0 , то значит, (–1) – корень производной

f (x) . Да-

лее,

f (x) 20x3 24x2 12x 8 ,

f ( 1) 0 и (–1)

– корень

второй

 

 

 

 

 

производной

 

многочлена.

 

Наконец,

 

найдем

f (x) 60x2

 

48x 12 ,

f ( 1) 24 0 . Таким образом, (–1) –

корень многочлена f (x) кратности 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 24. Докажите, что многочлен

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

x2

 

 

x3

 

...

xn

 

не имеет кратных корней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

 

2!

 

 

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Обозначим данный многочлен через f (х):

 

 

f (x) 1

 

x

 

 

x2

 

 

x3

...

xn

 

. Производная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

 

2!

 

 

 

3!

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

2

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

x

n

 

 

1

 

 

2x

 

3x

2

 

nx

n 1

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

2!

 

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

2!

 

3!

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

1

 

 

x

 

 

 

x2

...

 

xn 1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

(n

1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что – кратный корень многочлена f (x). Тогда – корень производной f (x) и, значит, корень многочлена

34

§5. Кратные корни многочленов

g(x) f (x) f (x)

xn

 

 

 

n

следует, что 0 .

 

. Из

g( )

0

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

2

3

 

n

 

 

Но

f ( ) 1

1!

 

2!

 

3! ...

n! 1 0 .

 

Получили противоречие. Следовательно, многочлен f (x) не имеет кратных корней.

Пример 25. Найдите значения а, при которых число (–1) яв-

ляется корнем кратности 2 многочлена f (x) x3 ax2

ax 1.

 

Решение.

f (–1) = –1

+ а а + 1 = 0. Следовательно,

(–1) – ко-

рень f (х) при всех а. Найдем частное от деления f (х) на х+1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

а

 

а

1

 

 

 

–1

1

 

а – 1

 

1

0

 

 

 

q(x) x2 (a 1)x 1 и f (х) = (х + 1)q(х).

 

Выясним, при каких значениях а многочлен f (x) (x 1)2 , это эквивалентно тому, что q(x) (x 1) . Для того, чтобы q(x) (x 1) необходимо и достаточно, чтобы q(–1) = 3 – а = 0 или а = 3. Тогда f (x) x3 3x2 3x 1 (x 1)3 . Но в этом случае f (х) делится

не только на (x 1)2 , но и на (x 1)3 . Значит, ни при каком зна-

чении а число (–1) не является корнем кратности 2 многочлена f (х) (при a 3 (–1) – простой корень, при а = 3 (–1) – корень кратности 3).

Пример 26. При каких значениях параметра а многочлен x99 ax15 ax6 1 делится на (х – 1)2.

Решение. Обозначим данный многочлен через f (х). Тогда f (1) = 1 – а + а – 1 = 0. Поэтому 1 – корень f (х) при любом а. Нам нужно найти такое число а, чтобы 1 была кратным корнем f (х).

Для этого необходимо и достаточно, чтобы 1 была

корнем

f (x) . Имеем

f (x) 99x98 15ax14 6ax5

и f (1) = 99 – 9а = 0.

Отсюда следует, что а = 11 и f (1) = х99 – 11х15 + 11х6 – 1.

 

Пример 27. Определите кратность корня

x0 a многочлена

(x)

f (x) f (a)

(x a) f (x) f (a) .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

35

§5. Кратные корни многочленов

Решение. Имеем

 

 

 

(x) f (x)

f (a)

 

f (x)

(x a) и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

(a) f (a) f (a)

 

 

f (a)

(a a) 0 . Найдем вторую произ-

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

водную (x)

 

f (x)

(x a)

и (a)

f (a)

(a a) 0 . Далее

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеем (x)

 

f (x)

 

f IV (x)

(x a) и

(a)

 

f (a)

. Значит,

 

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а является корнем кратности k + 3 многочлена (х), где k – пока-

затель кратности а, как корня f (x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнения.

 

 

 

 

60.

Дан

многочлен

f (x) x5

2x4 3x3 7x2 8x 3 .

Покажите,

что 1 является его корнем. Найдите крат-

ность этого корня.

 

 

 

 

 

 

 

61.

Найдите кратность

корня

2

для

многочлена

f (x) x5 4x4 7x3 11x2 4 .

 

 

 

 

 

62.

Найдите кратность

корня

2

для

многочлена

f (x) x5 5x4 7x3 2x2 4x 8 .

 

 

 

 

63.

Для

многочлена

f (x) x5 3x4

2x3

2x2

3x 1

найдите кратность корня 1.

 

 

 

 

 

64.

Покажите,

что

многочлен

f (x) xn 1

не

имеет

кратных корней.

 

 

 

 

 

 

 

 

65.

Покажите,

что многочлен

f (x) x3 4x2

9x c не

имеет кратных действительных корней ни при каком c.

66. При каких значениях параметра с многочлен

f(x) x3 4x2 5x 27c имеет кратные корни.

67.Определите a и b так, чтобы число 2 было

кратным корнем многочлена f (x) x5 ax2 bx 4 .

36

§6. Многочлены с целыми коэффициентами

68. Определите a

и b так, чтобы число

2 было

кратным корнем

многочлена

f (x) x4

ax3 bx2

56x 16 .

 

 

 

§6. Многочлены с целыми коэффициентами

В случае многочленов с целыми коэффициентами всегда можно отыскать все его рациональные, в частности, целые корни, если, конечно, они существуют. Способ отыскания рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема 6.1. Если несократимая дробь

p

является

 

q

 

 

корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то его свободный член делится на p, а старший коэффициент делится на q.

Доказательство.

 

 

 

 

Пусть

 

 

f (x) a xn a xn 1 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

an 1x an

– многочлен

с

целыми

коэффициентами и

дробь

 

p

– его корень; числа p и q являются взаимно про-

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

стыми, так как дробь

 

 

 

 

несократима. Имеем

 

f

 

 

0

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

p

 

p n

 

p n 1

 

p

 

 

 

или

 

f

 

 

a0

 

 

 

 

 

a1

 

 

... an 1

 

 

 

an 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

q

 

q

 

 

q

 

 

 

Умножая

 

обе

части

равенства

на

qn ,

 

получим

a pn a pn 1q ... a

pqn 1 a qn 0 .

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Оставляя слагаемое anqn в левой части равенства и пе-

ренося все остальные слагаемые в правую часть с противоположными знаками, получим

anqn p(a0 pn 1 ... an 2 pqn 2 an 1qn 1) .

37

§6. Многочлены с целыми коэффициентами

Из этого равенства следует, что произведение anqn де-

лится на р. Но поскольку p и q не имеют общих множителей, то на р делится an.

Аналогично, из равенства a pn q(a pn 1

a pn 2q

0

1

2

... a qn 1) выводится, что a0 делится на q.

 

n

 

 

Из этой теоремы вытекает важное следствие.

Следствие 6.2. Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни многочлена – целые и являются делителями свободного члена.

Доказательство. Действительно, в этом случае знаме-

натель рационального корня

p

может быть равен только

q

 

 

 

 

 

 

1, поэтому корень

p

p

– целый и an p .

 

q

 

 

 

 

 

 

Отметим, что утверждение, обратное доказанной теореме, неверно: если p – делитель свободного члена, а q – делитель старшего коэффициента многочлена f (x), то отсюда

совсем не следует, что дробь qp – корень f (x). Например,

если f (x) x3 x2 7x 4 , то число 2 является делителем свободного члена, но не является корнем многочлена f (х),

так как f (2) 23 22 7 2 4 14 0 .

Из теоремы 6.1 следует, что для нахождения рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами нужно выписать все делители свободного члена, все положительные делители старшего коэффициента1, составить из этих

1 Для старшего коэффициента выписываем только положительные делители, так как знак дроби считаем присоединенным к числителю.

38

§6. Многочлены с целыми коэффициентами

чисел несократимые дроби и проверить какие из этих дробей являются корнями многочлена.

Для уменьшения количества вычислений и упрощения перебора полезна следующая теорема.

Теорема 6.3. Если несократимая дробь

p

является

 

q

 

 

корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то для

любого натурального числа k

отношение

 

 

f (k )

является

 

 

 

 

 

 

qk

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

целым числом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

f (x) a xn a xn 1

... a

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

n 1

n

многочлен с целыми коэффициентами и

 

 

p

 

– его корень.

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из доказательства теоремы 6.1 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qn f

 

a0 pn a1 pn 1q ... an 1 pqn 1

anqn 0 .

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда для любого целого числа k вытекает

 

 

 

 

qn f (k) qn f (k) qn f

 

p

qna k n qna k n 1 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qna

k qna

(a pn a pn 1q ... a

 

pqn 1

a qn )

 

n 1

 

n

0

 

1

 

n 1

 

 

 

 

 

n

 

 

a0 (qnkn pn ) a1q(qn 1kn 1 pn 1) a2q2 (qn 2kn 2

pn 2 ) ... an 1qn 1(qk p) .

Каждый многочлен qm k m pm делится на двучлен qk p (упражнение 52). Следовательно, и весь многочлен

qn f (k ) делится на двучлен qk p . Так как числа p и q взаимно простые, то получаем, что многочлен f(k) делится

на двучлен qk p . Значит, отношение

f (k )

является це-

 

qk p

 

 

лым числом.

 

 

39

§6. Многочлены с целыми коэффициентами

Заметим, что имеет место и утверждение, обратное теореме 6.3.

Теорема 6.4. Если для многочлена с целыми коэффици-

ентами f (x) и несократимой дроби

p

отношение

f (k )

q

p qk

 

 

является целым числом для любого натурального числа k,

то

p

 

– корень многочлена f(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

f (x) a xn

a xn 1

... a

 

x a

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

n 1

 

n

 

многочлен с целыми коэффициентами и

 

p

– несократимая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

дробь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

доказательстве

теоремы

6.3

 

 

получено,

что

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qn f (k) qn f

 

делится на p qk .

Так как по условию

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теоремы первое слагаемое делится на

p qk ,

то и второе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

слагаемое должно делится на p qk , т.е.

qn f

 

 

делится

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

на p qk . Так как числа p и q – взаимно простые получа-

ем, что

 

p

делится на

p qk для любого натурального

f

 

 

 

 

q

 

 

числа k. А это возможно только тогда, когда

 

p

0 .

 

f

 

 

 

 

q

 

 

Пример 28. Решите уравнение x3 6x2 2x 12 0 .

Решение. Многочлен x3 6x2 2x 12 имеет целые коэффициенты. По следствию 6.2 рациональные корни этого многочлена, если они есть, являются целыми и находятся среди делителей свободного члена. Поэтому искать рациональные корни следует среди чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12. Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем многочлена. По теореме Безу многочлен делится на x 2 . Выполнив деление, получим

40