Многочлены от одной переменной (теория и приложения)

x 1

получим 1

f ( 0 , 1) .

Далее

имеем

f ( 0 , x) f ( 0 , 1)

( x

2

)

x 1

2

3

... n 1(x 2 )...(x n ).

Обозначим левую часть через

f ( 0 , 1, x) . Тогда при

x 2

получим

2 f ( 0 , 1, 2 ) .

(11.4)

Эти

вычисления

можно продолжить.

Обозначим

f (

0

,...,

k 1

, x)

f ( 0 ,..., k 2 , x) f ( 0,..., k 2 , k 1)

.

x k 1

Тогда при x k

из

f ( 0 ,..., k 1, x) k k 1( x k )

... n 1( x k )...( x n ) . получим

k

f ( 0 ,..., k ) .

(11.5)

Константу f ( 0 ,..., k ) называют

k-тым разностным

отношением функции f (x) в точках

0 , 1,..., k .

f (

, )

f ( 1) f ( 0 )

,

0

1

1

0

f (

, ,

2

)

f ( 0 , 2 )

f ( 0 , 1)

,

0

1

2

1

(11.

... ... ...

f (x) f ( 0 ) f ( 0, 1)( x 0 )

f ( 0

, 1, 2 )( x 0 )( x 1)( x 2 ) ...

(11.7)

f ( 0

,..., n )(x 0 )(x 1 )...(x n ) .

2. 2x7 8x6 4x5

3x4

9x3

5x2 6x 7 ;

4б. 3;

9a. –2;

0;

10б. 37;

11б. a 3, b 2, c 4, d 5 ;

12а. a 5, b 3,

c 1, d 19 ;

12в. a 1, b 3,

c 4, d 24,

e 24 ; 14a.

x3 3x2 10 ;

17. x=1 18. x=1, x=–2

19.

1

2, 2, 1

18a. x3 3x2

x 2 ;

18д. x2 x 4 ;

19a. Q 3x2 6x 12 ,

R 23x2

7x 3;

19г. Q 3x 1,

R 14x2 2x 2 ;

19д. Q x 1,

R 6x 4;

19е. Q 0 ,

R x2 3x 1;

21a. 74;

22. 147;

26. –3х – 5; 0;

29. 5,75;

32.

a 2, b 1 ;

37а. Q x3 7x2

4x 9, R 38 ;

37в. Q x3 2x2 11x 12, R 26 ;

37д. Q x4

2x3

4x2 11x 15 ,

R 28 ;

38а. Q x2 x 2, R 16x 3 ;

39. 3;

41. 4;

44. c 50, c 54 ;

45. a 31, b 44 ;

46б. ( x 3)2 ( x 5) ;

46д. (x 1)(x 2)(x 2)(x 4) ;

47б. ( x 2)2 ( x2 x 3) ;

47в. ( x 2)( x 2)( x2

3x 2) ;

47д. ( x 2)( x 4)( x2 x 1) ;

48б. ( x 2)(3x 1)( x2 3) ;

48в. (2x 1)2 (3x 1) ;

50а.

x2

x2

274

, x3

x3

3032

;

1

2

9

1

2

27

53г. 238;

53е. 1471;

54г.

406

;

54д.

55

; 54е.

55

;

27

27

3

58. k 5,

x 10, x

2

3

;

k 1,8 ;

60. 19; 62.

x2 3x 14 ;

1

63. x2 23x 174 ;

64а. 23;

64б. 3;

64в. 43;

64г. – 93;

65а.

67

;

65б.

20

;

65в. 1;

65г.

548

; 69. k = 24, x1 = 2;

9

9

27

x2 = 4;

x3 = – 3;

71. b = 12,

x1 = 0,5;

x2 = 1,5;

x3 = – 4;

72. x3 5x2 12x 7 ;

73. x3 4x2

7x 1;

75. m = –24,

x1 = 2;

x2 = 3;

x3 = 4;

76. m = 216, x1 = 4;

x2 = – 6;

x3 = 9;

77в. ( x 1)( x 2)( x2 2x 3) ; 77д. ( x2

x 1)( x2 x 1) ;

78б.

x2 x 2

;

78г.

x 3

;

78д.

( x 1)2 ( x 3)

;

x2 3x 1

x 4

x2 1

78е. x 3;

79а.

5

3

;

79г.

2

1

1

;

x 3

x

2

x 1 x

2 x

3

79е.

2

4

3

;

80а.

1

1

1

;

x

3

x 4

x 1

x

x2

x

3

80г.

2

1

2

;

80д.

1

2

1

;

x

3

( x 3)2

x

x 1

( x 1)2

( x

2)2

80е.

1

1

1

1

;

81а.

1

x 3

;

x

3 x

x2

x3

x

x2 4x 5

2

2x 3

3

2x 1

81в.

;

81д.

;

x 2

x2 3x 8

x 1

x2 4x 9

81е.

2

x 4

;

82а.

x

3

4

1

;

x 2

x2 2x 2

x 3

x 2

82б. x 2

2

1

1

.

x 1

x 2

x 4

Оглавление

Оглавление

Предисловие......................................................................

3

§1. Основные понятия теории многочленов ..................

5

§2. Делимость многочленов ..........................................

14

§3. Теорема Безу .............................................................

19

§4. Схема Горнера ..........................................................

26

§5. Кратные корни многочленов...................................

30

§6. Многочлены с целыми коэффициентами...............

37

§7. Основная теорема алгебры многочленов и ее

следствия..............................................................................

47

§8. Уравнения третьей и четвертой степеней ..............

63

§9. Разложение многочлена по степеням двучлена ....

73

§10. Представление рациональной дроби в виде

суммы простых дробей.......................................................

76

§11. Интерполяционные формулы................................

90

Ответы. ............................................................................

93

Литература ......................................................................

95