Теория автоматического управления

контур будет являться апериодическим звеном второго порядка. Следует обратить внимание на то, что лишь с позиций математического описания схему можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Расчленить же принципиальную схему на два участка, каждый из которых был бы соответствующим апериодическим

звеном первого порядка, невозможно.

Пример 3.3

Вывести передаточную функцию и определить ее параметры для устройства, схема которого приведена на рис. 3.12, а.

Устройство выполнено на операционных усилителях, реализующих инерционное, интегрирующее и пропорциональное звенья (см. разделы 3.2.1.1, 3.2.1.2, 3.2.1.4). На выходе усилителя DA1 происходит преобразование и суммирование напряжений по каждому из его входов. Его передаточные функции относительно входного напряжения Uвх и напряжения обратной связи

Uoc представляются выражениями

Полученный сигнал проходит через последовательно включенное интегрирующее звено на усилителе DA2 с передаточной

Выход усилителя DA2 образует выход устройства и сигнал с него через усилитель DA3 с передаточной функцией

W4 ( p) = − R6 поступает на второй вход усилителя DA1.

R5

Uoc ( p)

W2 ( p) W4 ( p)

б

Рис. 3.12 — Устройство на операционных усилителях (а) и его структурная схема (б)

На рис. 3.12, б приведена структурная схема, соответствующая устройству, изображенному на рис. 3.12, а. Эквивалентная передаточная функция участка схемы, охваченного обратной связью, рассчитывается по выражению:

72

Таким образом, передаточная функция устройства, изображенного на рис. 3.12, а, будет равна

Если, например, принять R2 = R5 = R6 = R, C1 = C2 = C , то при известных значениях k, T и ξ можно определить номиналы

остальных элементов:

3.2.2.3 Консервативное звено

Это звено получается при мнимых полюсах передаточной функции (3.1), и его можно рассматривать как частный случай колебательного звена при ξ = 0 . Выражения для передаточной и

некоторых частотных функций звена будут иметь вид:

W ( p) = k , T 2 p2 +1

74

Переходная функция консервативного звена может быть

На рис 3.13, б показана переходная характеристика консервативного звена, она представляет собой незатухающие автоко-

лебания частотой 1 и амплитудой k .

T

Консервативное звено на пассивных четырехполюсниках не реализуется. Если обратиться к приведенному выше примеру (см. рис. 2.6), то должны отсутствовать потери в контуре, т.е. выполняться условие R1 = 0 , что физически невозможно. В уст-

ройстве, схема которого приведена на рис. 3.12, а, в соответствии с формулами (3.5) получение консервативного звена возможно при R3 = ∞ . Для этого резистор R3 просто нужно уда-

лить из устройства.

3.3 Особые звенья линейных САУ

3.3.1 Неминимально-фазовые звенья

В ряде устройств, например при мостовых соединениях, процессы описываются дифференциальным уравнением, имеющим отрицательные коэффициенты в правой части:

Передаточная функция такого звена будет иметь вид

W ( p) = k(1− τp) ,

Tp +1

т.е. имеет положительный нуль p0 = 1τ .

75

Такие звенья относятся к устойчивым неминимальнофазовым звеньям первого порядка, их характеристики похожи на характеристики инерционного форсирующего звена.

Пример 3.5

На рис. 3.14 приведена мостовая схема, в которой выполняется соотношение R2 >> R1 . Для нее будет иметь место соотношение:

С

Рис. 3.14 — Пример неминимальнофазового устойчивого звена

На рис. 3.15, а показаны логарифмические частотные характеристики этого звена при k >1. Его ЛАЧХ не отличается от ЛАЧХ инерционного форсирующего звена при τ <T , а ЛФЧХ изменяется в диапазоне 0 > ϕ > −π. Переходная характеристика

(рис. 3.15, б) имеет при t = 0 скачок в отрицательном направлении.

Рис. 3.15 — Характеристики устойчивого неминимально-фазового звена

Неустойчивые неминимально-фазовые звенья содержат в передаточных функциях положительные полюсы. Примером такого звена может служить асинхронный двигатель, работающий в режиме максимального скольжения. Другой пример — охват минимально-фазового звена положительной обратной связью.

Tp +1

эффициентом передачи koc (рис. 3.16, а). Передаточная функция получившегося эквивалентного звена будет иметь вид:

ЛАЧХ неустойчивого неминимально-фазового звена такая же, как и у инерционного звена, а ЛФЧХ, рассчитываемая по выра-

жению ϕ(ω) = −π+ arctg ωT , возрастает со значения −π до − π

2

(см. рис. 3.16, в).

79

Годограф АФЧХ (рис. 3.17, а) представляет собой окружность радиуса k с центром в начале координат. АЧХ (а следовательно, и ЛАЧХ) звена чистого запаздывания такая же, как у пропорционального звена. ФЧХ ϕ(ω) линейно убывает с ростом

частоты, а ЛФЧХ (рис. 3.17, б) криволинейна за счет логарифмического масштаба по оси ω.

Звено чистого запаздывания без искажения воспроизводит на выходе входную величину, как идеальное пропорциональное звено, но с той разницей, что выходная величина запаздывает относительно входной на постоянное время τ (см. рис. 3.17, в, г). Переходная функция такого звена имеет вид:

h(t) = k 1(t − τ) .