Теория автоматического управления

50

риант реализации дифференцирующего звена на операционном усилителе с конденсатором C во входной цепи и резистором R в цепи обратной связи. Тогда

Zвх( p) = 1 , Zос( p) = R , Cp

W ( p) = − Zoc ( p) = −RCp = −Tp = −kp . Zвх( p)

Неидеальность реализации звена определена напряжением питания усилителя, его выходное напряжение будет конечной величиной.

3.2.1.4Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка)

Описывается дифференциальным уравнением

T dy(t) + y(t) = kx(t). dt

Перейдя к изображениям, получим:

(Tp +1)Y ( p) = kX ( p) .

Передаточные и частотные функции:

G(ω) = 20lg A(ω) = 20lg k −20lg 1+ ω2T 2 .

На рис. 3.3 приведены основные частотные характеристики инерционного звена. Годограф АФЧХ (рис. 3.3, а) имеет вид

54

В рассмотренных выше примерах по определению передаточных функций схемы на рис. 2.3, 2.4, 2.7, а являются инерционными (апериодическими) звеньями. Реализация этого звена на операционном усилителе приведена на рис. 3.4, в. Действительно, если

где k = R2 , T = R2C . R1

Пример 3.1

Асимптотическая ЛАЧХ апериодического звена имеет частоту среза ωcp =100 c−1 . Частотой среза ωср называется частота, при которой ЛАЧХ пересекает ось частот, т.е. G(ωср) = 0 . Это означает, что частотный коэффициент передачи устройства или системы равен единице и при ω< ωср происходит усиление выходного сигнала, а при ω > ωср – его ослабление. Коэффици-

ент передачи звена k =10 . Требуется определить постоянную времени T .

Нужно на графике или мысленно провести из точки на оси частот lg ω= lg ωcp = lg100 = 2 прямую с наклоном минус

20 дБ/дек до пересечения с горизонталью, проведенной на уровне G(ω) = 20lg k = 20lg10 = 20 . Координата точки пересечения

по оси частот даст логарифм сопрягающей частоты lg ωc =1 ,

55

3.2.1.5 Форсирующее звено

Часто в литературе это звено именуется как пропорцио- нально-дифференцирующее. Выходная величина этого звена пропорциональна входной и производной от входной величины. Передаточная функция и основные частотные функции:

W ( p) = k (τp +1);

W ( jω) = k ( jτω+1); P(ω) = Re[W ( jω)] = k;

Q(ω) = Im[W ( jω)] = kωτ;

G(ω) = 20lg A(ω) = 20lg k + 20lg ω2τ2 +1.

Звено характеризуется двумя параметрами — коэффициентом передачи k и постоянной дифференцирования τ .

На рис. 3.5, а—в приведены частотные характеристики форсирующего звена, они являются обратными характеристикам инерционного звена. АФЧХ (рис. 3.5, а) имеет вид вертикальной прямой, расположенной в первом квадранте комплексной плоскости на расстоянии k от начала координат. АЧХ (рис. 3.5, б) монотонно возрастает с ростом частоты, начиная со значения k . Низкочастотные асимптоты ЛАЧХ форсирующего (рис. 3.5, в) и инерционного звеньев совпадают, но высокочастотная асимптота ЛАЧХ форсирующего звена имеет наклон плюс 20 дБ/дек.

Частота сопряжения равна ωc = 1τ . ЛФЧХ форсирующего звена

точно такая же, как и у инерционного, только фаза имеет положительные значения.

На рис. 3.5, г приведена схемная реализация форсирующего звена на операционном усилителе (на пассивных четырехполюсниках это звено не реализуется). Поскольку в схеме

57

Переходная характеристика форсирующего звена h(t) = = k [τδ(t) +1], т.е. равна сумме переходных характеристик диф-

ференцирующего и пропорционального звеньев. В начальный момент времени она имеет скачок бесконечной амплитуды, как и у идеального дифференцирующего звена, а далее проходит горизонтально, как и у пропорционального звена.

Остальные звенья первого порядка образованы путем последовательного соединения рассмотренных звеньев, и их относят к типовым ввиду широкого применения в САУ.

3.2.1.6 Инерционное форсирующее звено

Это звено представляет последовательное соединение инерционного Wин( p) и форсирующего Wфорс( p) звеньев, по-

этому их передаточные функции и АЧХ перемножаются, т.е.

а ЛАЧХ и ЛФЧХ — складываются:

G(ω) = Gин(ω) +Gфорс(ω) =

= 20lg k + 20lg ω2τ2 +1 −20lg ω2T 2 +1, ϕ(ω) = ϕин(ω) + ϕфорс(ω) = arctg (ω τ) −arctg (ω T ) .

На рис. 3.6, а, б изображены логарифмические частотные характеристики инерционного форсирующего звена, их вид существенно зависит от соотношения постоянных времени τ и T .

тирными линиями) имеет колоколообразную форму.

Расчетное выражение для переходной функции инерционного форсирующего звена может быть получено по формуле

ристики (рис. 3.6, в) будет меньше установившегося значения, а при τ >T скачок на переходной характеристике (рис. 3.6, г) превышает установившееся значение.

Схемная реализация инерционного форсирующего звена