Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория автоматического управления

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

	d (Δω)		∂M 0
J		−
J	dt	−
	dt		∂ω

	∂M 0
Δω=		i − Mc .
	∂i

Здесь i — управляющее воздействие,			Mc — возмуще-
ние. Частные производные	∂M 0	∂M 0	определяются по
ние. Частные производные	,		определяются по
	∂ω	∂i

характеристикам электродвигателя, которые задаются в виде графиков.

2.2 Понятие передаточной функции

Целью рассмотрения САУ может быть решение одной из двух задач: задачи анализа или задачи синтеза. Но в любом случае порядок исследования систем включает в себя следующие этапы: математическое описание, исследование установившихся режимов, исследование переходных режимов.

Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе можно выделить объект управления ОУ и управляющее устройство УУ, как это показано на рис. 2.2.

		f(t)
g(t)	ε (t) УУ x(t)	ОУ	y(t)

Рис. 2.2 — Замкнутая САУ с единичной обратной связью

Общее уравнение САУ получается из системы уравнений объекта и управляющего устройства.

Состояние объекта характеризуется выходной величиной y(t) , регулирующим воздействием x(t) и возмущением f (t) .

Тогда выходная величина может быть представлена функцией: y(t) = ϕ(x, x′, x′′,...; f , f ′, f ′′,...; y′, y′′,...).

Состояние управляющего устройства характеризуется регулирующим воздействием x(t) и входным воздействием ε(t) .

Процессы в УУ будут описываться двумя уравнениями: x(t) = F(ε,ε′,ε′′,...; x′, x′′,...); ε(t) = g(t) − y(t).

Приведенные уравнения полностью описывают процессы в САУ. Если в них исключить переменные x(t), ε(t) , то получим

дифференциальное уравнение САУ:

y(t) = ψ(g, g′, g′′,...; f , f ′, f ′′,...; y′, y′′,...).

(2.4)

Уравнение (2.4) описывает поведение системы во времени, определяет переходные процессы и обычно называется уравне-

нием динамики.

Однако в форме дифференциальных уравнений математическое описание в теории автоматического управления обычно не применяется вследствиесложностирешения таких уравнений.

Исследование САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.

Возьмем некоторый элемент САУ, имеющий один вход и один выход. Если на его вход подать сигнал x(t) , то изменение

выходного сигнала y(t) во времени будет описываться дифференциальным уравнением n -й степени:

d n y(t)

+ a

d n−1 y(t)

+ + a

dy(t)

+ a

y(t) =

n dtn

n−1 dtn−1

1 dt

(2.5)

d m x(t)

d m−1x(t)

dx(t)

= b

+b x(t).

m dtm

m−1 dtm−1

1 dt

Пусть

∞

X ( p) =L{x(t)} = ∫ x(t)e−pt dt, Y ( p) =L{y(t)} = ∫ y(t)e−pt dt

—

изображения по Лапласу величин

x(t)

и y(t) . Тогда при нуле-

вых начальных условиях, т.е. при

′

(m−1)

(0) = 0

x(0) = x (0) = = x

′

(n−1)

(0) = 0

, в соответствии с теоремой о

y(0) = y (0) = = y

дифференцировании оригиналов [1, 2], получим

	m
d		x(t)	= pm X ( p),
L
	dtm

22
	n
d		y(t)	= pnY ( p) .
L				(2.6)
L	dtn			(2.6)
	dtn

С учетом (2.6) дифференциальное уравнение (2.5), содержащее функции x(t) и y(t) , при нулевых начальных условиях

равносильно линейному алгебраическому уравнению, содержащему изображения этих функций X ( p) и Y ( p) :

( an pn + an−1 pn−1 + + a1 p + a0 ) Y ( p) =

(2.7)

= ( bm pm + bm−1 pm−1 + + b1 p + b0 ) X ( p).

Таким образом, формально переход от дифференциального уравнения к алгебраическому относительно изображения при нулевых начальных условиях получается путем замены символов

дифференцирования	оригиналов		функций	d n			d n−1			d
					,			,	...,
				dtn			dtn−1			dt
соответственно на	pn ,	pn−1, ...,	p и функций			x(t), y(t)			— их
изображениями X ( p),		Y ( p) . С комплексной переменной								p ,

как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.

Каждый элемент САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.5). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить систему дифференциальных уравнений.

Преобразование Лапласа позволяет свести задачу решения системы дифференциальных уравнений высших порядков к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение Y ( p) искомой функции

y(t) , находят эту функцию, пользуясь таблицами оригиналов и

изображений или по известным формулам обратного преобразования Лапласа.

Преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает возможность ввести одно из фундаментальных понятий — понятие передаточной функции.

Из уравнения (2.7) определим отношение изображения выходной величины к изображению входной:

Y ( p)	=	b	pm + b	pm−1 + + b p + b		= W ( p) .
		m	m−1	1	0		(2.8)
X ( p)		an pn + an−1 pn−1 + + a1 p + a0					(2.8)
X ( p)		an pn + an−1 pn−1 + + a1 p + a0

Отношение изображения выходной величины элемента (или системы) к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией элемента (или системы).

Согласно (2.8) передаточная функция W ( p) является дроб- но-рациональной функцией комплексной переменной p :

W ( p) = B( p) ,

A( p)

где A( p) = a		n	pn	+ a		n−1	pn−1 + + a p + a — полином степени n ,
		n				n−1		1	0
B( p) = b	pm + b				pm−1 + + b p + b				— полином степени m ,
m			m−1				1	0

причем m ≤ n .

Из определения передаточной функции следует, что:

Y ( p) = X ( p) W ( p) .

Передаточная функция является основной формой математического описания объектов в теории автоматического управления и так как она полностью определяет динамические свойства объекта, то первоначальная задача расчета САУ сводится к определению передаточной функции.

Рассмотрим примеры по определению передаточных функций некоторых простейших схем, характерных для электроники.

Пример 2.2

Вывести передаточную функцию для схемы на рис. 2.3, считая входным воздействием приложенное напряжение u , а

	R	L		выходным — ток в цепи i .
	R	L		Процессы в схеме описы-
				Процессы в схеме описы-
				ваются уравнением
u			i	ваются уравнением
u			i	u(t) = L	di(t)	+ Ri(t).
					di(t)

Рис. 2.3 — Схемакпримеру2.2					dt
Рис. 2.3 — Схемакпримеру2.2

Перейдем к изображению по Лапласу:

U ( p) = LpI ( p) + RI ( p) = I ( p)(Lp + R).

Составим передаточную функцию как отношение изображения выходной величины к изображению входной величины:

I ( p)

W ( p) =

U ( p)

Lp + R

p +1

Tp +1

где k =

— коэффициент передачи, T =

— постоянная вре-

мени.

Передаточные функции принято записывать в такой форме, чтобы свободные члены полиномов от p равнялись бы единице,

что исделанокакврассмотренном примере, таки впоследующих.

Пример 2.3

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.4, считая входной величиной напряжение u1 , а выходной — u2 .

При выводе передаточной функции будем считать, что це-

почка не нагружена (никаких		R
элементов к выходным зажи-		R
мам не подключено, либо эти
мам не подключено, либо эти				С
элементы имеют сопротивле-
элементы имеют сопротивле-
ние, стремящееся к бесконеч-	u1			u2
ние, стремящееся к бесконеч-	u1			u2
ности) и сопротивление источ-			i
ника входного напряжения на-
ника входного напряжения на-	Рис. 2.4 — Схема к примеру 2.3
столько мало, что им можно	Рис. 2.4 — Схема к примеру 2.3

пренебречь.

Система уравнений, описывающих процессы в устройстве, схема которого изображена на рис 2.4, имеет вид:


u (t) = Ri(t) + u					(t),
	1			C
u2 (t) = uC (t),
		duC (t)
i(t) = C		duC (t)	.
i(t) = C			.
		dt

Подставив третье уравнение в первое, получим:

						duC (t)
u (t) = RC							+ u (t),
u (t) = RC							+ u (t),
	1		(t) = u	C		dt	C
		2		C	(t).
u					(t).

Перейдем к изображениям:

U1( p) = (RCp +1) UC ( p),

U2 ( p) = UC ( p).

Передаточная функция

	U2 ( p)			UC ( p)				1	1
W ( p) =			=				=		=		,
W ( p) =	U	( p)	=	(RCp +1) U	C	( p)	=	RCp +1	=	Tp +1	,
	1				C

где T = RC — постоянная времени.

Пример 2.4

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.5, считая входной величиной u1 , выходной u2 , при допущениях, сформулированных в примере 2.3.

iC	C
iR1	R1
iR1
	R2
u1	u2
	iR2

Рис. 2.5 — Схема к примеру 2.4

Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа, одно уравнение по первому закону Кирхгофа и расписываем выходную величину:

u1(t) = uC (t) + R2iR						(t),
				2
			(t) = R1iR (t),
uC			(t) = R1iR (t),
				1
			(t) = iR (t) + C		duC (t)
iR							,
iR							,
	2		1			dt
u	2	(t) = R i		(t).
	2		2 R2

Из второго и третьего уравнений соответственно получим:

i	(t) =	uC (t)	,	i	(t) =	uC (t)	+ C	duC (t)	.
i	(t) =		,	i	(t) =		+ C		.
R				R
1		R1		2		R1		dt
		R1				R1		dt

Подставим полученные выражения iR1 (t) и iR2 (t) в первое

и четвертое уравнения и запишем получившуюся систему в операторной форме:

(t) = u (t) +

(t) + R C

duC (t)

(t) =

(t) + R C

= 1+

+ R Cp

U ( p)

( p),

U2 ( p)

R2Cp UC ( p).

Передаточная функция:

+ R Cp

( p) =

U2 ( p)

U ( p)

+ R2Cp

(R Cp +1)

k(τp +1)

+ R

R R C

Tp +1

p +1

R1 R1 + R2

		R2		R1R2C
где k =			— коэффициент передачи, T =			, τ = R1C	—
где k =		+ R2	— коэффициент передачи, T =			, τ = R1C	—
	R1	+ R2		R1	+ R2

постоянные времени.

Пример 2.5

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.6, считая входной величиной u1 , выходной u2 , при допущениях, сформулированных в примере 2.3.

R1 i1 L	i2
	С	R2
u1	iC	u2

Рис. 2.6 — Схема к примеру 2.5

Система уравнений электрического равновесия схемы для мгновенных значений величин:

u (t) = R i (t) + L

di1(t)

+ u (t),

1 1

uC (t) = R2i2 (t),

duC (t)

i (t)

= i (t) + C

(t).

(t) = u

Последнее соотношение здесь, конечно, не уравнение, а

обозначение выходной величины.

Уравнения в операторной форме:

U ( p) = R I ( p)

+ LpI ( p)

( p),

1 1

UC ( p) = R2 I2 ( p),

I ( p) = I

( p) + CpU

( p),

( p)

= U

( p).

Из второго уравнения

I2 ( p) =

UC ( p)

Подставим полученное значение I2 ( p)

в третье уравнение:

I ( p) =

UC ( p)

+ CpU

( p) =

R2Cp +1

( p).

Последнее соотношение подставим в первое уравнение и

определим передаточную функцию:

U ( p) = (R + Lp)

R2Cp +1

( p) + U

( p) ;

W ( p) =

U2 ( p)

(R1 + Lp)

R2Cp +1

U ( p)

R LCp2 + (R R C + L) p + R + R

R1R2C + L

+ R2

R2 LC

p2 +

p +1 T

2 p2

+ T1 p +1

R1 + R2

где k =

— коэффициент передачи,

T =

R2LC

+ R2

R1 + R2

T1 = R1R2C + L — постоянные времени.

R1 + R2

Пример 2.6

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.7, а, содержащей операционный усилитель.

Операционными усилителями называются усилители постоянного тока малой мощности, имеющие два входа — инвертирующий (–) и неинвертирующий (+). В настоящее время они выполняются по интегральной технологии, т.е. в виде микросхем, и характеризуются большими значениями коэффициента усиления ( kу ≈ ∞ ) и входного сопротивления ( rвх ≈∞ ).

Выведем вначале передаточную функцию для типового включения операционного усилителя, показанного на рис. 2.7, б, в общем виде.

	C		Iос( p) Zос( p)
	R2		Iос( p) Zос( p)
	R2	Zвх( p)
iвх	R1	Iвх( p)	I ( p)
iвх	R1

Uвх	Uвх( p)	Uвых( p)
Uвх	Uвых
	а	б
	а

Рис. 2.7 — К выводу передаточной функции устройства на операционном усилителе

С учетом принятых допущений ( kу ≈ ∞, rвх ≈ ∞ ) напряже-

ние между неинвертирующим и инвертирующим входами операционного усилителя описывается выражением

e+ −e− = Uвых( p) ≈ Uвых( p) = 0 . kу ∞

Следовательно, напряжение на инвертирующем входе приближенно равно нулю, отсюда Uвх( p) ≈ Iвх( p) Zвх( p) . Кроме того, учитывая, что rвх ≈∞ , можно считать I ( p) ≈ 0 , следова-

тельно, Iвх( p) ≈ Ioc ( p) . Тогда выходное напряжение схемы может быть рассчитано по формуле

Uвых( p) ≈ Ioc ( p) Zoc ( p) ≈ Iвх( p) Zвх( p) .

С учетом последней формулы можно легко получить выражение для передаточной функции устройства, схема которого приведена на рис. 2.7, б:

W ( p) =	Uвых( p)	≈ −	Zoc ( p)	.	(2.9)
	Uвх( p)
			Zвх( p)

Знак минус в выражении (2.9) указывает на то, что полярность выходного напряжения схемы противоположна полярности входного напряжения.

Из курса электротехники известно, что операторные сопротивления конденсатора ZC ( p) и индуктивности ZL ( p) рассчитываются по формулам

ZC ( p) =	1	, ZL ( p) = Lp .
ZC ( p) =		, ZL ( p) = Lp .
	Cp
Используя выражение для ZC ( p) ,						для схемы, изображен-
ной на рис. 2.7, а, получим:
			R	1
			R	Cp				R
2				Cp				R
Zвх( p) = R1 , Zoc ( p) =							=	2		.
Zвх( p) = R1 , Zoc ( p) =					1		=			.
			R2 +		1			R2Cp	+1
					Cp			R2Cp

Подставляя полученные соотношения в формулу (2.9), получим выражение передаточной функции схемы, взятое со знаком минус:

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.66 Mб17Теория автоматического управления.-3.pdf
#
05.02.2023961.62 Кб9Теория автоматического управления.-4.pdf
#
05.02.2023661.41 Кб7Теория автоматического управления.-5.pdf
#
05.02.2023528.41 Кб9Теория автоматического управления.-6.pdf
#
05.02.2023760.21 Кб9Теория автоматического управления.-7.pdf
#
05.02.20231.36 Mб11Теория автоматического управления..pdf
#
05.02.2023770.68 Кб22Теория автоматов и формальных языков..pdf
#
05.02.2023314.52 Кб17Теория алгоритмов и математическая логика..pdf
#
05.02.2023725.19 Кб17Теория вероятностей и математическая статистика.-1.pdf
#
05.02.2023469.85 Кб15Теория вероятностей и математическая статистика.-2.pdf
#
05.02.2023722.49 Кб14Теория вероятностей и математическая статистика.-3.pdf