Теория автоматического управления
..pdf
140
WФ( p) = τФ p +1 . TФ p +1
В ряде случаев постоянная времени τФ может равняться
нулю.
Фильтр служит для компенсации некоторых постоянных времени нескорректированной САУ.
Пропорционально-дифференцирующий (ПД) регулятор.
Образуется в результате параллельного соединения пропорционального Wп( p) = kп и дифференцирующего Wд( p) = kд p звень-
ев, т.е. его передаточная функция определяется выражением
|
|
|
|
kд |
|
|
|
|
|
W |
( p) =W |
( p) +W |
( p) = k +k p =k |
|
p +1 |
= k |
τ p +1 . |
||
|
|||||||||
ПД |
п |
д |
п д |
п |
|
ПД ( |
ПД |
) |
|
|
|
|
|
kп |
|
|
|
|
|
Таким образом, ПД-регулятор является форсирующим звеном и служит для повышения устойчивости САУ или компенсирует одну из ее постоянных времени.
Пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор. Обра-
зуется в результате параллельного соединения пропорциональ-
ного W ( p) = k |
п |
и интегрирующего W ( p) = |
kи |
|
звеньев, его пе- |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
п |
|
и |
|
|
|
p |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
редаточная функция определяется соотношением |
|
|
||||||||||||
|
|
|
k |
и |
|
k |
и |
k |
п |
|
|
|||
WПИ( p) =Wп( p) +Wи( p) = kп + |
|
= |
|
|
|
p +1 |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
p |
p kи |
|
|
||||||||
= kПИ (τПИ p +1) ,
p
где постоянная времени ПИ-регулятора τПИ = kп . kи
ПИ-регулятор является изодромным звеном, позволяет повысить порядок астатизма САУ одновременно с повышением ее устойчивости (см. подраздел 5.1).
141
Пропорционально-интегро-дифференцирующий (ПИД) ре-
гулятор. Образуется в результате параллельного соединения пропорционального Wп( p) = kп , дифференцирующего Wд( p) = kд p и
интегрирующего W ( p) = |
kи |
|
звеньев, его передаточная функция |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
выражается формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
W |
|
( p) =W ( p) +W |
|
( p) +W ( p) = k |
п |
+ k |
д |
p + |
kи |
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ПИД |
|
|
|
|
п |
|
д |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
p |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
+ kп p + kи |
|
|
kи |
|
|
kд |
|
p2 + |
kп |
p +1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
kд p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
kи |
|
kи |
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
kПИД (τ1 p +1)(τ2 p +1) |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где k |
ПИД |
= k |
и |
, |
τ |
|
= |
kп |
± |
|
|
kп2 |
|
− |
kд |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1,2 |
|
2kи |
|
|
|
4kи |
2 |
|
|
|
kи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ПИД-регулятор также способствует увеличению порядка астатизма САУ с одновременным повышением ее устойчивости, при этом может произойти компенсация одной из постоянных времени нескорректированной САУ.
Параллельная коррекция осуществляется следующим образом: либо одно из звеньев нескорректированной САУ охватывается местной обратной связью (рис. 6.2, а), либо корректирующее устройство подключается параллельно главной обратной связи нескорректированной САУ (рис. 6.2, б).
Корректирующие обратные связи могут быть положительными и отрицательными, жесткими и гибкими. Жесткие обратные связи действуют как в статическом, так и в динамическом режимах работы САУ. Они могут осуществляться с помощью пропорционального, инерционного, форсирующего звеньев и их последовательного соединения. Гибкие обратные связи действуют только в динамическом режиме работы и реализуются посредством включения идеальных или реальных дифференцирующих звеньев.
142
Wк( p) |
|
g |
y |
W1( p) |
W2 ( p) |
|
Woc ( p) |
а |
|
g |
y |
W1( p) |
W2 ( p) |
Woc ( p)
Wк( p)
б
Рис. 6.2 — Варианты параллельной коррекции
Благодаря местным обратным связям изменяются параметры звеньев, входящих в структуру САУ, а иногда может измениться и тип звена, охваченного этой связью. Этот факт иллюстрируется приведенными ниже примерами.
Пример 6.1
Инерционное звено с передаточной функцией W ( p) =
= |
k |
|
охвачено жесткой отрицательной обратной связью, |
|
Tp +1 |
||||
|
|
|||
причем Woc ( p) = koc . Определить, как изменятся параметры по-
лучившегося эквивалентного звена.
Определим передаточную функцию эквивалентного звена:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
143 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Wэкв( p) = |
|
|
|
W ( p) |
|
|
= |
|
|
|
Tp +1 |
= |
|
k |
= |
|||||||||||||
|
+W ( p)Woc ( p) |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
Tp +1+ kkoc |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
koc |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1+ Tp +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
= |
|
|
|
|
kэкв |
|
|
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1+ kkoc |
|
|
|
p +1 |
|
Tэкв p +1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
+ kkoc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
k |
|
= |
|
|
k |
|
, |
T |
= |
|
|
|
T |
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
экв |
1 |
+ kkoc |
|
|
экв |
1 |
+ kkoc |
|
|
|
|
||||||||||||||
т.е. звено осталось инерционным, а его коэффициент передачи и постоянная времени уменьшились в 1+ kkoc раз. Следовательно, время переходного процесса и установившееся значение выходной величины также уменьшатся в 1+ kkoc раз.
Пример 6.2
Инерционное звено с передаточной функцией W ( p) =
= |
k |
|
охвачено жесткой положительной обратной связью, |
|
Tp +1 |
||||
|
|
|||
причем Woc ( p) = koc . Определить, как изменятся передаточная
функция и параметры получившегося эквивалентного звена. Передаточная функция эквивалентного звена
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
Wэкв( p) = |
|
W ( p) |
|
= |
|
|
|
Tp +1 |
= |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||
1 |
−W ( p)Woc |
( p) |
|
|
|
|
koc |
|
Tp +1− kkoc |
|||||
|
|
|
1 |
− Tp +1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тип звена и его передаточная функция зависят от величины koc . При kkoc <1 звено будет инерционным, а его коэффициент
передачи |
k |
|
= |
|
k |
|
и |
постоянная |
времени T |
= |
T |
|
||||||
|
|
−kkoc |
1−kkoc |
|||||||||||||||
|
|
экв |
1 |
|
|
|
|
|
|
экв |
||||||||
увеличатся в 1− kkoc раз. |
При kkoc =1 |
звено станет интегри- |
||||||||||||||||
рующим, |
W |
( p) = |
kи |
, |
k |
|
= |
k |
. При kk |
|
>1 звено будет неус- |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
экв |
|
|
|
p |
|
и |
|
T |
oc |
|
|
|
|
|||
144
тойчивым неминимально-фазовым, его передаточная функция
W |
( p) = |
|
kэкв |
|
, при этом k |
|
= |
|
k |
|
|
, T |
= |
|
T |
. |
||||||
T |
|
|
kk |
|
−1 |
kk |
|
|||||||||||||||
экв |
|
|
|
p −1 |
|
|
экв |
|
|
oc |
экв |
|
oc |
−1 |
||||||||
|
|
|
|
экв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пример 6.3 |
|
с передаточной функцией W ( p) = |
||||||||||||||||||
|
|
Инерционное |
звено |
|||||||||||||||||||
= |
|
k |
охвачено жесткой отрицательной инерционной обрат- |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Tp +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ной связью, |
т.е. W ( p) = |
koc |
. |
Определить, |
как изменится |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
oc |
Toc p +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
передаточная функция получившегося эквивалентного звена. Передаточная функция эквивалентного звена
Wэкв( p)
= |
|
k |
|
|
|
||
1 |
+kk |
||
|
|
oc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
W( p) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
Tp +1 |
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1+W( p)W |
|
( p) |
|
|
+ |
|
|
k |
|
|
|
|
koc |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
oc |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tp +1 |
|
T p +1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oc |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
TT p2 |
+(T |
+T |
|
) p |
+1 |
+kk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
oc |
|
|
|
|
|
oc |
|
|
|
|
|
|
|
|
oc |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
kэкв |
|
, |
||||
|
TToc |
|
|
2 |
+ |
T +Toc |
|
|
|
|
|
Tэкв2 |
p2 +2ξTэкв p +1 |
|||||||||||||||||
1 |
+kk |
|
p |
|
1 |
+kk |
oc |
|
p +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
oc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где T |
= |
|
|
TToc |
, |
ξ = |
T +Toc |
|
TToc |
. При ξ <1 звено будет |
|
|
|
|
|
||||||
экв |
1 |
+ kkoc |
2 |
1+ kkoc |
||||||
|
|
|||||||||
колебательным, а при ξ ≥1 — апериодическим второго порядка.
При комбинированной коррекции используется как последовательная, так и параллельная коррекция.
Основной принцип автоматического управления состоит в формировании управляющего сигнала по величине рассогласования ε(t) = g(t) − xос(t) . Если производится коррекция по внешне-
му воздействию, то реализуется комбинированное управление —
по рассогласованию и по внешнему воздействию.
145
Путем введения коррекции по внешнему воздействию при определенных условиях удается сводить величину установившейся ошибки к нулю при любой форме этого внешнего воздействия. Это свойство называется инвариантностью системы по отношению к данному внешнему воздействию.
Коррекция может производиться по отношению как к задающему, так и к возмущающему воздействию. Рассмотрим вариант введения корректирующего устройства по возмущающему воздействию.
Пусть задана система, охваченная единичной отрицательной обратной связью (рис. 6.3, а). Ее передаточная функция по возмущающему воздействию будет иметь вид:
W |
( p) = Wpf нс( p) = W2 ( p) W3 ( p) . |
|||||
зf нс |
|
|
|
|
|
|
1+Wрц( p) 1+W1( p) W2 ( p) |
||||||
|
||||||
Введем корректирующее устройство так, как показано на рис. 6.3, б. Передаточная функция скорректированной САУ по возмущающему воздействию в этом случае будет представлена выражением
W |
( p) = |
W2 ( p) [W3 ( p) −Wк( p) W1( p)] |
. |
(6.1) |
|
||||
зf ск |
|
1+W1( p) W2 ( p) |
|
|
|
|
|
||
Поскольку влияние возмущающего воздействия нужно уничтожить, необходимо принять Wзf ск( p) равным нулю. Это
возможно только, если в формуле (6.1) принять равным нулю выражение, расположенное в квадратных скобках. Тогда условие полной инвариантности системы по отношению к возмущающему воздействию будет иметь вид
W |
( p) = |
W3 |
( p) |
. |
(6.2) |
|
|
||||
к |
|
W1 |
( p) |
|
|
|
|
|
|||
Выполнение условия (6.1) иногда вызывает на практике существенные трудности из-за зачастую сложной технической задачи — измерения возмущающего воздействия и подачи его на вход системы, поэтому можно ограничиться частичной инвариантностью.
146
f
W3( p)
g |
|
|
|
y |
|
|
W1( p) |
W2 ( p) |
|
а |
|
f |
Wк( p) W3( p)
g |
y |
W1( p) |
W2 ( p) |
|
б |
Рис. 6.3 — Нескорректированная (а) и скорректированная (б) системы
Рассмотренный способ коррекции, существенно повышая точность САУ, почти не влияет на качество переходных процессов. Это связано с тем, что знаменатель передаточной функции скорректированной системы остается таким же, как и у нескорректированной. Это выгодно отличает данный подход к повышению точности САУ от других вариантов, в которых почти всегда повышение точности сопровождается ухудшением ее динамических характеристик.
Предметом более подробного рассмотрения будет последовательная коррекция САУ.
6.2Синтез последовательных корректирующих устройств
При введении корректирующего устройства последовательно в контур регулирования (рис. 6.1, а) его передаточная функ-
147
ция Wк( p) умножается на передаточную функцию нескорректированной САУ Wн.с( p) , т.е.
Wж( p) =Wк( p)Wн.с( p) ,
где Wж( p) — передаточная функция разомкнутой цепи скорректированной (желаемой) системы, Wн.с( p) — передаточная
функция разомкнутой цепи нескорректированной САУ. Поскольку логарифмические частотные характеристики по-
следовательно соединенных звеньев складываются
Gж(ω) = Gк(ω) +Gн.с(ω) ,
то синтез последовательного корректирующего устройства наиболее просто провести по асимптотическим ЛАЧХ. В соответствии с этим методом ЛАЧХ корректирующего устройства
Gк(ω) = Gж(ω) −Gн.с(ω) . |
(6.3) |
Зная желаемую ЛАЧХ Gж(ω) , по формуле (6.3) можно построить ЛАЧХ корректирующего устройства Gк(ω) и затем,
ориентируясь на частоты сопряжения и наклоны этой ЛАЧХ, синтезировать ее передаточную функцию на основе минималь- но-фазовых звеньев первого порядка.
Желаемая ЛАЧХ может быть построена на основе номограмм Солодовникова [5]. При этом выделяются три частотные области: низкочастотная, среднечастотная и высокочастотная.
Низкочастотная область желаемой ЛАЧХ расположена в окрестности оси ординат, она определяет точностные показатели САУ и формируется, исходя из заданной статической точности (для статических САУ) или коэффициентов ошибок [4—6] (для астатических САУ). Высокочастотная область расположена выше частоты среза и характеризует подавление системой высокочастотных помех.
Среднечастотная часть ЛАЧХ расположена в области частоты среза и определяет основные показатели качества работы САУ в динамическом режиме. Доказано, [4, 5] что если ЛАЧХ проходит через частоту среза с наклоном минус 20 дБ/дек, то система в замкнутом состоянии будет иметь наименьшую колебательность и наилучшие показатели качества.
|
|
|
|
148 |
|
|
|
|
|
|
Одним из подходов к построению желаемой ЛАЧХ являет- |
||||||||||
ся решение этой задачи с помощью номограмм Солодовникова, |
||||||||||
приведенных на рис. 6.4. Они представляют собой зависимости |
||||||||||
перерегулирования |
σ, запаса устойчивости по фазе |
ϕ, пара- |
||||||||
метров λ и Lg |
от максимума вещественной частотной характе- |
|||||||||
ристики Pmax . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ, % |
|
|
|
λ |
ϕ , град |
|
|
|
Lg, дБ |
|
|
|
|
|
|
|
35 |
||||
80 |
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
5 |
60 |
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
50 |
|
λ |
|
50 |
|
|
|
ϕ |
25 |
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
||
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30 |
|
|
|
2 |
30 |
Lg |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
10 |
|
|
|
1 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 P |
1 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
Pmax |
|
|
|
|
а |
max |
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рис. 6.4 — Номограммы Солодовникова |
|
|
|
||||||
При известных значениях перерегулирования σ и времени переходного процесса tпп величина σ отмечается на графике
σ = f1 (Pmax ) и по нему определяется значение Pmax , а затем из графика λ = f2 (Pmax ) находится величина параметра λ . Этот
путь для σ =30 % показан пунктирной линией со стрелками на рис. 6.4, а, согласно таким построениям получаются значения
149
Pmax ≈1,28, λ ≈ 3,6 . Тогда частота среза, через которую желае-
мая ЛАЧХ должна пройти с наклоном –20 дБ/дек, определится из соотношения
ωcp ≈ λ π . |
(6.4) |
tпп |
|
Далее для полученной величины Pmax |
по кривым |
Lg = f3 (Pmax ) и Δϕ = f4 (Pmax ) , приведенным на рис. 6.4, б, оп-
ределяются значения параметра Lg и запаса устойчивости |
ϕ, |
если информация о нем необходима. Этот путь для σ =30 |
% |
также отражен пунктирной линией со стрелками и, согласно нему, получаются значения Lg ≈12,5 дБ, Δϕ ≈ 42 градуса.
Затем можно приступить к построению желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего устройства. Строится ЛАЧХ нескорректированной САУ Gн.с(ω) , на ось lg ω в логарифмическом масштабе наносится рассчитанная по формуле (6.4) частота среза ωcp и прямая, пересекающая ось ординат на уровне Lg (рис.
6.5). Через частоту среза проводится прямая, проходящая с наклоном –20 дБ/дек. В точке пересечения этой прямой и уровня
Lg определяется частота ω0 и отрезок длиной (ω0 , ωcp ) от-
кладывается симметрично относительно частоты среза справа от нее до точки ω01 . На интервале ωcp < ω< ω01 произвольно вы-
бираются две частоты ω4 и ω5 , на которых желаемая ЛАЧХ
принимает наклоны –40 дБ/дек и –60 дБ/дек соответственно. Если статическая ошибка нескорректированной САУ удов-
летворяет заданной точности, то низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ как удобно стыкуют с ЛАЧХ нескорректированной САУ. В частности, на рис. 6.5 эта стыковка произведена на уровне G0 на частоте ω6 , но может быть произведена в любом
другом месте при ω< ω0 .