Теория автоматического управления

100

ω2 = 24,9 с–1, ω1 = 24,254 с–1. Поскольку ω0 < ω1 < ω2 , САУ

снова устойчива.

Таким образом, область устойчивости расположена с внешней стороны границы, как показано штриховкой на рис. 4.8. Асимптоты a0 = 0 и a3 = 0 являются прямыми Kp = 0 , T1 = 0 , т.е. совпадают с осями координат.

Вариант 2 . Проведем D-разбиения в плоскости параметров x1 = τ1 , x2 = Kp . Тогда

a0 (x2 ) = x2 , a1(x1, x2 ) =1+ x2 (x1 + τ3 ) ,

a2 (x1, x2 ) =T1 +T2 + x2 x1τ3 , a3 (x1) =T1T2 = a3 .

Система уравнений (4.4) примет вид:

Система (4.7) является нелинейной, поскольку в обоих ее уравнениях присутствует произведение варьируемых параметров, поэтому ее можно решить только путем подстановки.

Выразим из второго уравнения системы переменную x2 и подставим получившееся значение в первое уравнение:

102

Следует отметить, что построение области устойчивости с помощью D-разбиений является более общим подходом к решению этой задачи. Так, например, если бы в примере 4.3 данная задача решалась посредством критерия Гурвица, то граница устойчивости представлялась бы двумя кривыми x21 = f1(x1) и

x22 = f2 (x1) , точку сопряжения которых определить весьма

сложно. При проведении D-разбиений этот вопрос разрешается автоматически, поскольку граница устойчивости — единая зависимость.

4.5 Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста позволяет оценить устойчивость замкнутой САУ по ее разомкнутой цепи. Для этого в передаточной функции Wрц( p) производят замену оператора p

на переменную jω и на комплексной плоскости при изменении

частоты от нуля (если это возможно) до бесконечности строят АФЧХ W ( jω) (годограф Найквиста).

Если разомкнутая цепь устойчива (а это всегда имеет место, если САУ не содержит неустойчивых неминимально-фазовых звеньев), то формулировка критерия Найквиста звучит следующим образом.

Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста при изменении ω от 0 до

∞ не охватывал точку с координатами (−1, j0) .

На рис. 4.10 изображены основные из возможных ситуаций прохождения годографа Найквиста на комплексной плоскости. Сплошная кривая 1 на рис. 4.10, а соответствует абсолютно устойчивой замкнутой САУ (системе, которая остается устойчивой при уменьшении коэффициента передачи разомкнутой цепи), а пунктирная кривая 2 — условно устойчивой САУ (системе, устойчивой только в некотором диапазоне изменения коэффициента передачи разомкнутой цепи, как это было в примере 4.4). Сплошная кривая 3 на рис. 4.3, б проходит через критиче-

скую точку с координатами (−1, j0) , и это означает, что замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости.

103

Пунктирная кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая САУ неустойчива.

Физический смысл критерия Найквиста заключается в том, что при увеличении частоты входного воздействия сигнал, проходящий по цепи обратной связи, оказывается в противофазе с входным. Это равносильно замене отрицательной обратной связи на положительную. Если же при этой частоте разомкнутый

Для аналитических расчетов с помощью критерия Найквиста условия нахождения системы на границе устойчивости можно записать, используя вещественную и мнимую частотные функции разомкнутой цепи:

где ωπ — частота, соответствующая повороту радиус-вектора

АФЧХ разомкнутой цепи на угол −π, т.е. до совпадения с отрицательной вещественной полуосью; ее называют частотой пе-

реворота фазы.

104

При решении практических задач для оценки устойчивости САУ не обязательно строить годограф Найквиста, достаточно в частотной передаточной функции разомкнутой цепи W ( jω)

приравнять к нулю мнимую часть и определить из получившегося уравнения частоту переворота фазы ωπ (или ее квадрат). Затем подставить получившееся значение в вещественную часть W ( jω) и вычислить ее модуль. Если Re[W ( jωπ)] <1, то систе-

ма устойчива, в противном случае — неустойчива.

Несмотря на наглядность критерия Найквиста и его физическую прозрачность, он имеет один существенный технический недостаток — вычислительные трудности, возникающие при разделении вещественной и мнимой частей W ( jω) . Осо-

бенно это проявляется, если САУ содержит форсирующие звенья. Если же таких звеньев в структуре нет, то задача анализа устойчивости по критерию Найквиста решается просто. Продемонстрируем это на примере.

Пример 4.5

По критерию Найквиста получить выражение для оценки устойчивости и определить граничный коэффициент передачи для САУ, изображенной на рис. 4.3.

В примере 4.1 была получена передаточная функция разомкнутой цепи

Произведем в Wрц( p) замену оператора p на переменную jω и выделим в знаменателе получившегося выражения мнимую и вещественную части:

105

= Kp . u(ω) + jy(ω)

По правилам деления комплексных чисел [1] числитель и знаменатель полученного выражения нужно умножить на комплексную сопряженную функцию u(ω) − jy(ω) . Однако по-

скольку при определении частоты переворота фазы мнимая часть приравнивается к нулю и знак перед ней не играет роли, то операцию умножения на комплексную сопряженную функцию можно не проводить, приняв

Im[W ( jωπ)] =T1 +T2 +Toc (1−ω2πT1T2 ) = 0 ,

Выразив из первого уравнения квадрат частоты ωπ , полу-

106

При Re[W ( jωπ)] <1 система будет устойчивой. На границе устойчивости Re[W ( jωπ)] = −1 , т.е.

Зададимся конкретными значениями коэффициентов передачи и постоянных времени. Пусть k1 = 5, k2 =10, koc = 0,5 ,

Re[W ( jωπ)] =1,263 >1, следовательно, система с такими пара-

метрами будет неустойчивой. Ее граничный коэффициент передачи

Критерий Найквиста позволяет оценить устойчивость САУ, содержащих звенья чистого запаздывания.

Пусть звено чистого запаздывания с передаточной функци-

ей e−pτ (при единичном коэффициенте передачи) включено последовательно с системой без запаздывания с передаточной

функцией W0 ( p) .

Результирующие передаточная и частотная передаточная функции разомкнутой цепи будут иметь вид

W ( p) =W0 ( p)e−pτ , W ( jω) =W0 ( jω)e− jωτ .

Поскольку W0 ( jω) = A0 (ω)e jϕ0 (ω) , то

W ( jω) = A0 (ω)e j[ϕ0 (ω)−ωτ] .

Таким образом, звено чистого запаздывания вносит лишь дополнительный фазовый сдвиг. При этом изменяется АФЧХ,

108

4.6Оценка устойчивостиСАУпо логарифмическим частотным характеристикам. Запасы устойчивости

В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по амплитудной и фазовой частотным характеристикам разомкнутой цепи. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения. Но если ЛАЧХ используется асимптотическая, то расчеты будут достаточно грубыми.

Если АФЧХ не охватывает точку (−1, j0) , то при частоте, на которой А(ω) =1, абсолютное значение фазы больше −π. Но значение A(ω) =1 соответствует G(ω) = 20lg A(ω) = 0 . Поэтому

для устойчивости замкнутой САУ необходимо, чтобы ЛАЧХ разомкнутой цепи пересекла ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение –π.

Однако G(ω) = 0 на частоте среза ωcp , а ϕ(ω) = −π на частоте переворота фазы ωπ . Следовательно, система будет абсолютно устойчива, если ωcp < ωπ .

На рис. 4.12 для ЛАЧХ, показанной сплошной линией, это неравенство соблюдается (ωcp1 < ωπ ) , значит, САУ устойчива, Kp1 < Kгp . При увеличении коэффициента передачи Kp ЛАЧХ

смещается вверх и на границе устойчивости (пунктирная кривая) при Kp2 = Kгp частоты ωcp2 и ωπ равны друг другу. Дальнейшее увеличение величины Kp до Kp3 приводит к неустой-

чивости системы, тогда ωcp3 > ωπ (штрихпунктирная кривая).

Возможен и более сложный случай. Как было показано в примере 4.4, САУ устойчива при Kp1 = 40 с–1. При этом ее

АФЧХ будет дважды пересекать отрицательную вещественную полуось, как показано на рис. 4.10, а, при частотах ωπ1 и ωπ2 . ЛАЧХ такой системы изображена сплошной линией на рис. 4.13, и