Теория автоматического управления

90

С помощью критериев устойчивости можно строить облас-

ти устойчивости.

При проектировании САУ ряд параметров и звеньев являются заданными, так как они определяются требованиями технологического процесса и конструктивными особенностями объекта регулирования. В то же время имеется несколько параметров, которые можно менять в определенных пределах. Для определения влияния значений каких-либо варьируемых параметров на устойчивость строят области устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров.

Уравнения границ области устойчивости получаются из условий устойчивости, если заменить в них неравенства на равенства (это соответствует нахождению системы на границе устойчивости).

В общем случае границы области устойчивости по критерию Гурвица строятся по следующим уравнениям:

n−1 = 0 , an = 0 , a0 = 0 .

Первое уравнение соответствует наличию у характеристического уравнения пары сопряженных мнимых корней, второе равенство соответствует наличию нулевого корня, а третье — наличию бесконечного корня.

Для САУ, рассмотренной в примере 4.1 (см. рис. 4.3), зададим варьируемыми параметрами общий коэффициент передачи разомкнутой цепи Kp и постоянную времени T1 . Уравнениями

для построения границ области устойчивости будут:

Границы области устойчивости изображены на рис. 4.4. Около границ принято наносить штриховку в сторону области устойчивости. Каждая точка внутри области устойчивости определяет комбинацию варьируемых параметров Kр и T1 , при

которых система устойчива. Причем если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она называется структурно неустойчивой. Для получения устойчивой САУ в этом случае необходимо изменить ее структуру.

Пример 4.2

Определить устойчивость САУ, структурная схема которой приведена на рис. 4.5, воспользовавшись критерием устойчиво-

Рис. 4.5 — Пример расчета граничного коэффициента передачи

Для установления устойчивости определим граничное значение коэффициента передачи и сравним его с имеющимся значением коэффициента.

Передаточная функция разомкнутой цепи

92

Характеристический полином замкнутой системы

A( p) = p(T212 p2 +T22 p +1) + Kp (τ1 p +1) =

Так как система имеет третий порядок, то она будет находиться на границе устойчивости при равенстве нулю выражения

(4.1):

a1a2 − a0a3 = 0,3(1+ 0,01Kгр) −0,03Kгр = 0.

Отсюда находим Kгр =11,1 с−1 .

Коэффициент передачи разомкнутой цепи Kр =8,4 меньше, чем Kгр . Следовательно, система в замкнутом состоянии устойчива.

4.4 Критерий устойчивости Михайлова

Исходным материалом для применения критерия Михайлова является также характеристический полином САУ A( p) .

Если в A( p) заменить оператор p на переменную jω, то получится функция комплексного переменного

A( jω) = X (ω) + jY (ω),

где X (ω) — вещественная часть, полученная из членов A( p) , содержащих четные степени p ; Y (ω) — мнимая часть, полученная из членов A( p) с нечетными степенями p .

При изменении частоты ω от нуля до бесконечности на комплексной плоскости получится кривая, которую описывает радиус-вектор функции A( jω) . Эту кривую называют годогра-

фом Михайлова (рис. 4.6). Каждому значению ω соответствуют определенные значения X (ω) и Y (ω) , т.е. определенная точка

на плоскости. При ω= 0 функция A( jω) = a0 , т.е. годограф начинается на вещественной оси. При ω→∞ функция A( jω) тоже неограниченно возрастает по модулю.

93

Формулировка критерия Михайлова звучит следующим об-

разом: система устойчива, если годограф A( jω) , начинаясь на

действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов комплексной плоскости, где n — порядок системы.

Годограф устойчивой САУ четвертого порядка изображен на рис. 4.6, а. При нарушении порядка прохождения квадрантов комплексной плоскости САУ неустойчива (рис. 4.6, б). Если же система находится на границе устойчивости, то годограф Михайлова проходит через начало координат на частоте ωк (рис.

4.6, в), т.е. на границе устойчивости

Рис. 4.6 — Годограф Михайлова для устойчивой (а), неустойчивой (б) САУ и САУ на границе устойчивости (в)

Следует отметить то обстоятельство, что расчетные выражения для граничных параметров, полученные по критериям Гурвица и Михайлова, совпадают. Продемонстрируем это для САУ третьего порядка, характеристический полином для кото-

рой имеет вид A( p) = a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0 . Тогда, в соответствии с (4.3), на границе устойчивости получим:

95

Проведем в характеристическом полиноме A( p) замену оператора p на переменную jω и произведем разделение действительной и мнимой частей. Тогда получим:

X (ω) = a0 −a2ω2 =8,4 −0,3ω2 ,

Y (ω) = ω(a1 − a3ω2 ) = ω(1,084 −0,03ω2 ).

Приравняем мнимую часть Y (ω) к нулю и определим частоты ω0 , ω2 :

Теперь к нулю приравняем действительную часть X (ω) и определим частоту ω1 :

Поскольку ω0 < ω1 < ω2 , т.е. частоты, соответствующие равенству нулю действительной и мнимой частей A( jω) , череду-

ются (или, как говорят, перемежаются), САУ устойчива. В этом легко убедиться, рассчитав значения действительной и мнимой частей соответственно на таких частотах:

X (ω0 ) =8,4 ; X (ω2 ) =8,4 −0,3 6,012 = −2,44 ;

Y (ω1) = 5,29 (1,084 −0,03 5,292 ) =1,29 .

Так как X (ω0 ) > 0 , Y (ω1) > 0 , X (ω2 ) < 0 , годограф Михайлова последовательно проходит I, II, и III квадранты комплексной плоскости, что подтверждает устойчивость САУ.

Критерий Михайлова широко используется для построения областей устойчивости. Уравнения границы устойчивости в пространстве двух варьируемых параметров x1 и x2 , согласно

этому критерию, имеют вид:

X (x1, x2 ,ω) = 0

. (4.4)

Y (x1, x2 ,ω) = 0

96

Исключив из этих уравнений параметр ω, можно получить уравнение границы устойчивости, связывающее входящие в выражения X (x1, x2 ,ω) и Y (x1, x2 ,ω) варьируемые параметры x1 и x2 . Тогда область устойчивости строиться будет так же, как по

критерию Гурвица (см. пример 4.3).

С другой стороны, можно построить границы устойчивости по приведенной системе уравнений, используя ω как параметр, который изменяют от 0 до ∞ . Каждому значению ω при этом соответствует определенная точка границы устойчивости. Этот метод получения границы устойчивости принято называть ме-

тодом D-разбиений.

Система уравнений (4.4) может быть линейной и нелинейной и способ ее разрешения относительно параметров x1 и x2

может быть различным. Поэтому рассмотрим применение D-разбиений на конкретных примерах.

Пример 4.4

Применяя D-разбиения, построить область устойчивости для САУ, структурная схема которой приведена на рис. 4.7, для ко-

Передаточная функция разомкнутой цепи и характеристический полином САУ будут иметь вид

97

A( p) = p(T1 p +1)(T1 p +1) + Kp (τ1 p +1)(τ3 p +1) = = a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0 ,

где Kp = k1k2k3koc = 40 c−1 , a0 = Kp , a1 =1+ Kp (τ1 + τ3 ) , a2 =T1 +T2 + Kpτ1τ3 , a3 =T1T2 .

Упорядочив систему уравнений (4.5) относительно варьируемых параметров, перенеся свободные члены в правые части и исключив из второго уравнения тривиальное решение ω= 0 , получим:

но воспользоваться методами линейной алгебры, например формулой

системы (4.6);

мы (4.6).

Эту систему можно также решить через определители, определив неизвестные как

ся в нуль, поэтому этих частот нужно избегать при построении области устойчивости САУ.

В табл. 4.1 приведены рассчитанные значения варьируемых параметров x1(ω) и x2 (ω) при изменении частоты от 7 до 21 с–1,

а на рис. 4.8 показана область устойчивости САУ, построенная по табличным данным.

Для определения расположения штриховки оценим устойчивость САУ при различных значениях Kp , рассчитав частоты,

как это делалось в примере 4.3, по формулам

Здесь ω0 < ω2 < ω3 , т.е. чередование частот нарушается, следовательно, САУ неустойчива. При Kp = 5000 с–1 значения частот