Теория автоматического управления. Часть 1

72

Wof (s)= Y((s)) – передаточная функция объекта по возмущающему

F s

воздействию.

б

Рис. 2.11. Структурная схема одноконтурной системы.

Все упомянутые выше передаточные функции представляют собой дроби, в которых числители и знаменатели являются полиномами относительно переменной s, при этом для физически реализуемых устройств степень числителя всегда меньше степени знаменателя. То есть, можно записать:

Принимая во внимание принцип суперпозиции и правила соединения звеньев, схему рис. 2.11, а можно преобразовать в схему рис. 2.11, б. На этом рисунке W (s)= Wр (s) Wou (s).

Случай 1 . Положим f (t)= 0, g(t)≠ 0 и разорвем обратную связь.

Тогда связь выходной (регулируемой) величины и входного (задающего) воздействия выражается дифференциальным уравнением

y(t)= W(p)g(t).

Функция W (s) называется передаточной функцией разомкнутой системы (по задающему воздействию). Передаточная функция W(s) согласно обозначениям (2.3.3), (2.3.4) представляет собой правильную рациональную дробь

где m = k + q, n = r + p, при этом m < n.

Знаменатель передаточной функции (2.3.7), то есть полином A(s) – это характеристический полином разомкнутой системы.

Случай 2 . Пусть по-прежнему f (t)= 0, g(t)≠ 0 , но обратная связь теперь замкнута. Передаточную функцию, связывающую вход и выход системы, можно получить или по формуле соединения звеньев обратной связью, или по формуле Мейсона (с учётом того, что передаточная функция звена в обратной связи равна единице). Дифференциальное уравнение, свя-

76

() 1 A(s)

Φgε s = 1+W(s) = A(s)+ B(s).

2.3.3. Линейные законы регулирования.

Закон регулирования или, в более общем случае, закон управления

–это, по сути, алгоритм преобразования входных воздействий регулятора (устройства управления) в управляющие воздействия на объект управления. Линейные законы определяются линейными дифференциальными уравнениями. В системе, реализующей принцип регулирования по ошибке (см. рис. 2.9, а), уравнение регулятора имеет вид (2.3.6)

(aр0 pr + aр1 pr−1 + ...+ aрr−1 p + aрr )u(t)= (bр0 pk + bр1 pk−1 + ...+ bрk )ε(t)

Если свободный член левой части не равен нулю aрr ≠ 0, то полином в левой части Aр (p)= aр0 pr + aр1 pr−1 + ...+ aрr−1 p + aрr определяет

свободное движение (переходной процесс) в регуляторе.

Если aрr = 0, то полином в левой части можно представить в виде

Aр (p)= aр0 pr + aр1 pr−1 + ...+ aрr−1 p = (aр0 pr−1 + aр1 pr−2 + ...+ aрr−1 )p = Aр1(p)p

и тогда уравнение регулятора будет

Aр1(p)u(t)= Bр (p)ε(t).

p

Свободное движение регулятора будет в этом случае определяться полиномом AР1(p).

В общем случае в полиноме левой части нулю могут равняться несколько (пусть их будет ν) последних коэффициентов

77

В понятие алгоритма управления переходной процесс не входит (он краткосрочный по сравнению с процессом управления), поэтому линейные законы регулирования задаются общей формулой

pν

В зависимости от числа ν и от вида полинома в выражении (2.3.17) получаем различные законы регулирования. Рассмотрим основные виды таких законов.

Позиционный (пропорциональный) закон . В этом случае ν=0, Bр (s)= KП и формула (2.3.17) превратиться в u(t)= KП ε(t). Таким

образом, управление пропорционально величине ошибке (отсюда и название закона). Регулятор, реализующий этот закон, называется пропорциональным регулятором или П-регулятором.

Интегральный закон . Простейший интегральный закон получим, если ν=1, Bр (p)= KИ . Тогда уравнение (2.3.17) будет иметь вид

u(t)= KИ p−1 ε(t)

или, учитывая, что p-1 означает операцию интегрирования в дифференциальных уравнениях,

u(t)= KИ ∫ε(t)dt .

Из последней формулы ясно, что управление пропорционально интегралу от ошибки, поэтому соответствующий регулятор носит название интегрального регулятора или И-регулятора.

Изодромный закон . Положим ν=1 и Bр (p)= KИ + KП p . Под-

ставляя эти значения в формулу (2.3.17), получим

u(t)= KИ + KП p ε(t)= KП ε(t)+ KИ p−1ε(t). p

Изодромный закон содержит две составляющие – пропорциональную и интегральную, поэтому этот закон называют ещё пропорционально-

78

интегральным, а регулятор, реализующий этот закон, называют пропор- ционально-интегральным или ПИ-регулятором.

Пропорционально -дифференциальный закон . Из названия следует, что в этом законе присутствуют пропорциональная и дифференциальная составляющие. При этом ν=0, а Bр (p)= KП + KД p. Тогда

u(t)= KП ε(t)+ KД pε(t).

Соответствующий этому закону регулятор называется пропорци- онально-дифференциальным или ПД-регулятором.

Наконец, если в законе регулирования есть все три составляющие – пропорциональная, интегральная и дифференциальная, то получаем про- порционально-интегрально-дифференциальный закон и соответственно ПИД-регулятор. В данном случае связь управляющего воздействия u(t) и ошибки ε(t) задаётся формулой

u(t)= KП ε(t)+ KИ p−1ε(t)+ KД pε(t).

Рассмотрены только самые простые виды законов. В более сложных случаях в составе закона могут присутствовать производные второго или более высокого порядка, двойные, тройные и т.д. интегралы. Необходимо понимать, что дифференциальный закон в чистом виде, то есть когда в законе имеется только производная от ошибки, не применяется, поскольку в этом случае управляющее воздействие u(t) не зависит от величины ошибки (она может быть как угодно большая, что недопустимо), а от скорости её изменения.

2.4. Описание САУ в пространстве состояний

Метод пространства состояний имеет ряд преимуществ по сравнению с классическим (частотным) методом:

-удобство решения задач на ЦВМ;

-единообразие описания одномерных и многомерных систем;

79

- возможность применения к некоторым типам нелинейных и нестационарных систем.

В общем случае состояние системы можно определить как минимальную информацию о системе, необходимую для определения (при известной входной функции) ее выхода, а также ее состояния в будущем. Таким образом, переменные состояния системы – это такие переменные, знание значений которых в некоторый начальный момент времени t0 позволяет определить поведение системы в текущий момент времени t>t0 (естественно, если известны входные воздействия системы на интервале (t0,t)).

2.4.1. Уравнения состояния

Как известно [1], линейные уравнения состояния, записанные в век- торно-матричной форме, в общем виде имеют вид

В выражении (2.4.1) использованы обозначения:

– n-мерный вектор-столбец переменных

состояния системы;

g(t)= (g1(t), g2 (t),...gp (t))T – p-мерный вектор-столбец входных воз-

действий;

y(t)= (y1(t), y2 (t),...yl (t))T – l-мерный вектор-столбец регулируемых величин;

A(t)= [aik (t)] – (n×n)-мерная матрица системы (основная или собственная параметрическая матрица системы);

B(t)= [bik (t)] – (n×p)-мерная матрица связи (структура этой матрицы определяет характер связи входных воздействий с переменными состояния);

C(t)= [cik (t)] – (l×n)-мерная матрица связи (именно, связи переменных состояния с выходными (регулируемыми) воздействиями);