Теория автоматического управления. Часть 1

191

- порядок системы n равен сумме порядков подсистем Sa и Sb, то есть n = na + nb;

Рис. 5.19. К теореме Гильберта

-необходимым и достаточным условием управляемости (наблюдаемости) системы с обратной связью является управляемость (наблюдаемость) Sab (Sba), где Sab (Sba) подсистема, образованная последовательным соединением Sa (Sb) и Sb (Sa);

-необходимым (но не достаточным) условием управляемости (наблюдаемости) системы с обратной связью является управляемость

(наблюдаемость) и Sa, и Sb;

- если Sa и Sb управляемы (наблюдаемы), то любые из неуправляемых (ненаблюдаемых) координат системы с обратной связью являются неуправляемыми (ненаблюдаемыми) координатами Sab (Sba) и порождаются подсистемой обратной связи Sb.

Непосредственным следствием теоремы Гильберта являются следующие две теоремы об управляемости и наблюдаемости замкнутых систем с обратной связью по состоянию.

Теорема 5.10. Если линейная система

•

x(t) = Ax(t)+ Bg(t), (5.6.3)

y(t) = Cx(t)

192

является полностью управляемой по состоянию, то замкнутая система, получаемая с помощью обратной связи по состоянию (рис. 5.20) и описываемая уравнениями состояния

•

x(t)= (A − B G)x(t)+ B g(t),

также полностью управляема по состоянию.

Если же разомкнутая система неуправляема, то сделать ее управляемой не сможет никакая обратная связь G.

x(t)

G

Рис. 5.20. Система с обратной связью

Теорема 5.11. Если линейная система (5.6.1) полностью управляема по состоянию и наблюдаема, то обратная связь по состоянию (рис. 5.20)

u(t) = g(t) – G x(t) может сделать систему ненаблюдаемой.

Большое значение при исследовании систем методом пространства состояния имеют различные преобразования координат (например, переход к нормальным координатам или к канонической форме фазовых переменных). Практически значимой поэтому является теорема об инвариантности управляемости и наблюдаемости.

193

Теорема 5.12. Если система является полностью управляемой (наблюдаемой), то невырожденное преобразование не меняет управляемости (наблюдаемости) системы.

Как известно, передаточная функция (матричная передаточная функция – в случае многомерных систем) является конечным итогом математического описания систем классическим частотным методом (на уровне «вход – выход»), и получается она путем описания звеньев системы и дальнейшего структурного анализа. При этом могут происходить сокращения одинаковых нулей и полюсов передаточной функции в результате преобразований передаточных функций звеньев. О том, как это связано с управляемостью и наблюдаемостью системы, говорит следующая теорема.

Теорема 5.13. Если в передаточной функции, связывающей входной и выходной сигналы стационарной системы, имеется компенсация нулей и полюсов, то в зависимости от выбора системы координат (переменных состояния) система может быть либо неуправляемой по состоянию, либо ненаблюдаемой, либо и то и другое одновременно.

Если в передаточной функции отсутствует компенсация нулей и полюсов, то всегда можно выбрать систему координат, в которой система будет описываться как полностью управляемая и наблюдаемая.

Пример 5.3. Пусть линейная система управления описывается уравнением:

где, как и в других случаях, через y(t) обозначен выход, а через g(t) – вход системы.

194

Введем переменные состояния таким образом, чтобы получить уравнения состояния в канонической форме фазовой переменной. Тогда уравнения состояния и уравнение выхода можно записать в следующем виде:

•

x(t)= Ax(t)+ Bg(t), y(t)= Cx(t),

Составляя матрицу управляемости по состоянию Q, убеждаемся, что ранг этой матрицы равен 2 (матрица Q является невырожденной) и согласно теореме 5.1 исследуемая система полностью управляема по состоянию:

Полученная матрица является вырожденной, т.е. ее ранг равен единице, и, согласно теореме 5.5, система является ненаблюдаемой.

Далее составим матрицу управляемости по выходу:

Эта матрица имеет ранг, равный 1, и, следовательно, система является управляемой по выходу.

Переопределим теперь переменные состояния системы таким образом, чтобы матрицы коэффициентов приняли бы другой, например, следующий вид:

Составляя соответствующие матрицы, убеждаемся, что

Различия в управляемости и наблюдаемости системы в зависимости от выбора переменных состояния обусловлены тем, что в передаточной

имеется компенсация полюса и нуля, что в соответствии с теоремой 5.13 и объясняет поведение системы.

5.6.4. Модальное управление

Из всех многочисленных методов синтеза, использующих понятие переменных состояния, рассмотрим синтез по заданному расположению полюсов с помощью обратной связи по состоянию (случай единственного входного воздействия). Этот метод называют также модальным управлением.

Синтез данным методом предполагает предварительное определение требуемых (заданных) значений собственных чисел (корней характеристического уравнения) системы. Они могут быть определены из связи переходных процессов и расположения собственных чисел на комплексной плоскости.

Следующая теорема дает основания для проведения такого синтеза.

Теорема 5.14. Пусть уравнения состояния системы представлены в канонической форме фазовой переменной:

где матрица А имеет форму матрицы Фробениуса:

а B есть матрица-столбец:

B = [0 0 ... 0 1]T .

Тогда собственные значения системы могут быть произвольно заданы с помощью обратной связи по состоянию:

где G = [g1, g2,...gn ] .

На рис. 5.21 приведена структурная схема системы с такой обратной связью.

G

Рис. 5.21. Структурная схема системы в пространстве состояний

Предполагается, что все компоненты вектора состояния доступны измерению.

Доказательство. Уравнения состояния замкнутой системы с учетом (5.6.5) можно записать так:

Характеристические числа однозначно связаны с коэффициентами характеристического уравнения (5.6.7) (например, формулами Виетта). Выяснив, какими должны быть значения этих коэффициентов, и зная ai, всегда можно однозначно вычислить значения коэффициентов передачи обратной связи gi, поскольку каждый элемент gi матрицы-строки G входит только в один коэффициент характеристического уравнения (5.6.7). Что и требовалось доказать.

Простота и удобство вычисления матрицы обратной связи G для системы, заданной уравнениями состояния в канонической форме фазовой переменной, наводят на мысль о приведении произвольных уравнений состояния к такой форме. О такой возможности говорит следующая теорема.

Теорема 5.15. Пусть система описывается уравнениями состояния

•

x(t)= Ax(t)+ Bu(t), (5.6.8) где А – произвольная матрица (n × n); u(t) – скалярное внешнее воздействие; В – произвольная матрица-столбец (n × 1).

199

Из теории матриц известно, что преобразование подобия не меняет собственных чисел матрицы, следовательно, системы (5.6.8) и (5.6.10) имеют одинаковые собственные числа. Но для системы (5.6.10) в канонической форме фазовой переменной собственные числа всегда можно произвольным образом изменить с помощью обратной связи по состоянию G1 (согласно теореме 5.14). Коэффициенты усиления обратной связи исходной системы (5.6.8) определяются из соотношения

G = G1P .

Проведенные рассуждения, по сути, являются доказательством (правда, для случая скалярного управления u(t)) следующей теоремы.

Теорема 5.16. Пусть линейная система представлена уравнениями состояния

•

x(t)= Ax(t)+ Bu(t),

где А – произвольная (n×n) матрица; u(t) – вектор управлений размерностью (p×1); В – матрица (n×p) связи входных воздействий с переменными состояния. Если система является полностью управляемой по состоянию, то ее собственные числа могут быть произвольным образом заданы с помощью обратной связи по состоянию:

u(t)= −G x(t),

где G – матрица коэффициентов обратной связи размерностью (p × n).

200

ЛИТЕРАТУРА

1.Карпов А.Г. Математические основы теории систем. Часть 2: Учебное пособие. − Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2002. − 138 с.

2.Кориков А.М. Основы теории управления: Учебное пособие. 2-

еизд. – Томск: Изд-во НТЛ, 2002. – 392 с.

3.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – М.: Наука, 1975. – 768 с.

4.Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Под ред. Бесекерского В.А. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

5.Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. – М.: Наука, 1971. – 744 с.

6.Юревич Е.И. Теория автоматического управления: Учебник для втузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. – Л.: Энергия, 1975. – 414 с.