Теория автоматического управления. Часть 1

151

На комплексной плоскости среднегеометрический корень ›0 задаёт точку на вещественной оси, являющуюся геометрическим центром всех корней уравнения (4.2.19) или (4.2.20). Таким образом, среднегеометрический корень ›0 характеризует среднюю длительность всех составляющих переходного процесса, а, следовательно, является оценкой быстродействия системы.

Попутно вспомним, что в величину ›0 входит коэффициент an, зависящий от общего коэффициента усиления K разомкнутой системы: у статических САУ an = K +1, у астатических – K. Отсюда следует, что с ростом коэффициента усиления растёт также и быстродействие. Таким образом, через величину ›0 связывается быстродействие системы с зависящей от коэффициента усиления точностью в установившихся режимах.

4.3.1. Интегральные критерии

Интегральные критерии качества дают общую оценку времени переходного процесса и величины ошибки в совокупности, без определения того или другого в отдельности.

Все интегральные критерии используются для определения оптимальных значений варьируемых параметров. Целесообразность применения интегральных критериев – в существовании готовых формул, выражающих их через коэффициенты передаточной функции системы. Используя эти готовые формулы, получают в итоге выражения для интегральных критериев через варьируемые параметры системы. Далее обычным образом находят оптимальные значения варьируемых параметров, соответствующие минимуму интегральных оценок.

Самое простая интегральная оценка переходного процесса получится, если усреднить величину отклонения от установившегося значения

y(t)= y(t)− y(∞) за всё время 0<t<∞, то есть сформировать интеграл

Оценка (4.3.1) очень просто вычисляется. Запишем преобразование Лапласа от ∆y

Y(s)= ∞∫ y(t)e−st dt .

0

Сравнивая последнее выражение с формулой (4.3.1), понимаем, что

I1 = Y(s)s=0 .

Понятно, что наименьшее значение, равное нулю, интеграл I1 принимает, если ∆y(t)=0, то есть, если переходной процесс вообще отсутствует, и в системе с поступлением единичной ступеньки на вход мгновенно возникает установившееся значение регулируемой величины.

Правда, пользоваться оценкой (4.3.1) можно только для монотонных процессов, когда точно известно, что переходной процесс неколебательный. Для колебательных переходных процессов ошибки разных знаков компенсируются, и критерий I1 будет стремиться к нулю, например, для системы, находящейся на колебательной границе устойчивости.

В случае колебательного переходного процесса или когда характер переходного процесса неизвестен, можно пользоваться квадратичным критерием

Идеально малое (равное нулю) значение интеграла I2, так же, как и интеграла I1, соответствует мгновенному изменению регулируемой величины. Квадратичный критерий (4.3.2) применяется значительно чаще, чем критерий (4.3.1), но и он не свободен от недостатков. Оказывается, что выбор параметров системы по минимуму I2 часто даёт сильно колебательный процесс с недопустимо большой скоростью изменения регулируемой ве-

Находят применение и более сложные критерии, включающие вторую и более высокого порядка производные. Оптимизация систем по этим критериям приближает переходной процесс соответственно к кривым второго и более высокого порядков.

В заключение темы, посвященной критериям качества переходных процессов, перечислим рекомендации по применению того или иного вида критериев.

1.Частотные и интегральные критерии качества применяются при исследовании переходных процессов, вызванных основными (главными) воздействиями. Данные критерии позволяют учесть конкретную форму входного воздействия и начальные условия.

2.Интегральные критерии применяются в тех же случаях для определения оптимальных значений варьируемых параметров системы. Численных оценок показателей качества они не дают.

3.Корневые критерии применяют для оценки в среднем качества переходного процесса при всевозможных воздействиях и начальных условиях.

4.Для систем выше пятого порядка целесообразно использовать частотные критерии, поскольку они являются графическими.

155

5. ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

5.1. Постановка задачи

Под синтезом САУ понимают такое её исследование, в результате которого для данных условий работы* находят необходимую структуру системы, параметры её элементов и способы реализации полученной структурной схемы. Задача синтеза – всегда задача на оптимум, но подобрать сложный критерий, как правило, невозможно. Поэтому решать общую задачу синтеза, как строгую математическую задачу по поиску экстремума некоторого критерия (то есть как вариационную задачу), практически невозможно. Существуют, конечно, и более простые постановки задачи синтеза.

Можно рассматривать синтез как инженерную задачу, сводящуюся к такому построению системы, при котором обеспечивается выполнение некоторых технических требований к ней.

Ещё более простая постановка задачи – это рассматривать синтез, как определение вида и параметров корректирующих средств, которые необходимо добавить к некоторой неизменяемой части системы**, чтобы обеспечить требуемые динамические качества.

При инженерном синтезе САУ необходимо обеспечить, во-первых, требуемую точность и, во-вторых, приемлемый характер переходных процессов. Начнём с первого, а именно, с повышения точности.

5.2.Повышение точности САУ

5.2.1. Общие методы

Кчислу общих методов повышения точности САУ относятся:

* Сюда входят заданный объект управления, возможный класс задающих и возмущающих воздействий, ограничения на время работы, требуемая точность, необходимое качество переходных процессов и так далее, включая стоимость эксплуатации и проектирования.

**К неизменяемой части системы относят, прежде всего, сам объект управления, а также связанные с объектом и поэтому определяемые им исполнительные устройства, датчики, возможно, некоторые промежуточные элементы – усилители, преобразователи и т.п.

156

1)увеличение общего коэффициента усиления разомкнутой цепи,

2)повышение степени астатизма,

3)применение регулирования по производным от ошибки.

Первый метод – увеличение общего коэффициента передачи разомкнутой системы – наиболее универсальный и эффективный. Увеличить общий коэффициент усиления можно путём введения усилителей, а в некоторых случаях и за счёт повышения коэффициентов передачи отдельных звеньев.

Увеличение коэффициента усиления благоприятно сказывается в смысле уменьшения ошибки во всех типовых режимах. Это следует, в частности, из выражений для коэффициентов ошибок, в которых общий коэффициент усиления находится в знаменателе.

До нуля, конечно, этим методом ошибку не уменьшить, во-первых, потому, что для этого пришлось бы увеличивать коэффициент усиления до бесконечности, а это физически невозможно, а во-вторых, и это основное, потому, что при увеличении коэффициента усиления система приближается, как правило, к колебательной границе устойчивости.

Повышение порядка астатизма применяется для ликвидации установившейся ошибки в различных типовых режимах: в статическом режиме, при движении с постоянной скоростью, с постоянным ускорением и т.д. Формально повышение порядка астатизма сводится к тому, чтобы сделать равными нулю первые коэффициенты ошибок: для системы с астатизмом первого порядка с0=0, с астатизмом второго порядка с0=с1=0 и т.д. С точки зрения описания системы в виде передаточных функций порядок астатизма (относительно задающего воздействия) – это кратность нулевого полюса в передаточной функции разомкнутой системы.

Самый простой способ физически повысить порядок астатизма – ввести в канал регулирования интегрирующие звенья, как уже было выяс-

157

нено в разделе 4.2.2. Но добавление интегрирующих звеньев неблагоприятно сказывается на устойчивости системы.

Пример 5.1. Рассмотрим систему, передаточная функция которой в

порядок астатизма, скажем, до двух, требуется ввести последовательно два интегрирующих звена. Тогда передаточная функция разомкнутой системы

системы в этом случае будет равен

D(s)= Ts3 + s2 + K .

Из полученного выражения видно, что в характеристическом полиноме коэффициент при первой производной равен нулю (s в первой степени отсутствует), и, согласно необходимому критерию устойчивости – положительности всех коэффициентов, – замкнутая система неустойчива. Причём сделать её устойчивой нельзя никаким изменением величин K и T.

Таким образом, система с двумя (или больше) интеграторами является структурно неустойчивой. Поэтому одновременно с введением интегрирующих звеньев приходится использовать корректирующие звенья, повышающие запас устойчивости.

В то же время существует путь повысить порядок астатизма без заметного или недопустимого ухудшения запаса устойчивости. Этот путь состоит в применении изодромных звеньев. Передаточная функция изо-

схема изодромного звена и его логарифмические характеристики приведена на рис. 5.1, а, и 5.1, б соответственно.

158

Рис. 5.1. Изодромное звено

Пример 5.2. Рассмотрим ту же систему, что и в примере 5.1. Повысим порядок астатизма на два, добавив в канал регулирования два изодромных звена. Тогда передаточная функция разомкнутой системы станет равной

Характеристический полином замкнутой системы, как сумма числителя и знаменателя выражения (5.2.1), будет иметь вид

D(s)= Ts3 + (1+ K)s2 + (Kи1 + Kи2 )s + Kи1Kи2 K .

Ясно, что при соответствующем выборе коэффициентов Kи1 и Kи2 систему можно сделать не только устойчивой, но и добиться заданного запаса устойчивости.

При малой величине коэффициента Kи изодромное звено влияет только на начальный участок результирующей частотной характеристики. Следует иметь в виду, что применение изодромных звеньев с малым Kи образует систему, динамические свойства которой могут быть сравнительно низкими. В итоге коэффициенты ошибок, следующие за тем коэффици-

159

ентом, который обратился в нуль, могут не только не уменьшиться, но даже увеличиться.

Регулирование по производным от ошибки имеет целью в большинстве случаев повысить запас устойчивости системы, что позволит увеличить общий коэффициент усиления, и тем самым повысить точность. Но регулирование по производным от ошибки может и самостоятельно повысить точность системы, даже при неизменном коэффициенте усиления. Физика этого явления заключается в том, что при регулировании по производным система «чувствует» не только саму ошибку, но и тенденцию к её изменению.

Типичный вид структурной схемы системы при регулировании с применением производных от ошибки приведён на рис. 5.2.

Tд s

W(s)

-

Рис. 5.2. Регулирование по производным от ошибки

Введение дифференцирующего звена не влияет на первый коэффициент ошибок, но уменьшает остальные. В связи с этим наиболее эффективное уменьшение ошибки будет при одновременном применении изодромного и дифференцирующего звена.

Так как дифференцирование эквивалентно дополнительному усилению высоких частот, использование более чем двух дифференцирующих звеньев нежелательно из-за возрастающего влияния высокочастотных помех.

160

5.2.2. Теория инвариантности и комбинированное управление

Одним из способов, позволяющих получить высокую точность, является использование методов теории инвариантности.

САР назовём инвариантной по отношению к возмущающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, регулируемая величина и ошибка не зависят от этого воздействия.

САР назовём инвариантной по отношению к задающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, ошибка не зависит от этого воздействия.

Поскольку в обоих определениях инвариантности фигурирует ошибка, запишем дифференциальное уравнение для этой ошибки ε(t)

(5.2.2)

где ψ(t) – возмущающее или задающее воздействие.

Лапласово изображение ошибки из уравнения (5.2.2) будет иметь

вид

Решение уравнения (5.2.2), как известно, состоит из двух составляющих – переходной εп(t) (решение соответствующего однородного уравнения) и вынужденной εв(t) (частное решение неоднородного уравнения). Тогда при отсутствии кратных корней знаменателя в выражении (5.2.3) и в соответствии с теоремой разложения можно записать