Теория автоматического управления. Часть 1

131

функция W(s) – формулой (4.2.4) и содержит r интегрирующих звеньев. Тогда, подставляя выражения (4.2.3) и (4.2.4) в формулу (4.2.6), получим

Из полученного выражения следует, что:

1)yуст→0, если (r-l)>m;

2)yуст→∞, если (r-l)<m;

3)yуст = Kof f (m) , если (r-l)=m.

K

Для оценки точности в последнем случае часто применяют понятие

добротности, которая равна K .

Kof

Если значение yуст конечно при изменении воздействия с постоянной скоростью f(t)=vt, то соответствующая добротность называется доб-

имеет размерность 1/с и численно равна скорости изменения воздействия, дающей единичное значение yуст.

Если значение yуст конечно при изменении воздействия с постоян-

ность 1/с2.

Рассматриваемый динамический установившийся режим характерен для следящих систем и систем программного управления. В этом случае интерес представляет величина установившейся ошибки, которая равна

132

Таким образом, для ошибки добротность равна коэффициенту передачи К разомкнутой системы.

Систему, имеющую конечную добротность по скорости, называют астатической первого порядка и у неё одно интегрирующее звено вне участка, описываемого передаточной функцией Wof (s): r-l=1. У системы с

конечной добротностью по ускорению – два таких звена: r-l=2, а система называется астатической второго порядка и т.д. Таким образом, можно определить порядок астатизма по отношению к какому-либо воздействию как количество интегрирующих звеньев, находящихся вне участка от этого воздействия до измеряемой величины.

Если ввести понятие порядка воздействия, под которым подразумевать порядок постоянной производной входного воздействия m, то полученный результат можно сформулировать так: установившееся откло-

нение равно нулю, если порядок астатизма больше порядка воздействия; постоянно в случае равенства этих порядков и возрастает до бесконечности, если порядок астатизма меньше порядка воздействия.

4.2.3. Точность САУ при гармоническом воздействии

Моногармоническое входное воздействие часто применяется в САУ для исследования частотных свойств систем. При этом, конечно, представляет интерес величина ошибки в таких режимах.

Точность САУ при гармонических колебаниях на входе определяется частотными характеристиками системы. Действительно, частотная передаточная функция описывает установившийся процесс при гармоническом входном сигнале. Запишем дифференциальное уравнение, связы-

133

где Φgε (s) – передаточная функция замкнутой системы по ошибке относительно задающего воздействия.

Возьмём входное воздействие в виде гармонического колебания с амплитудой А и частотой ω0: g(t)= Acosω0 t . Тогда установившаяся ошибка будет равна

εуст (t)= Aε cos(ωt + ϕε ),

где амплитуда установившейся ошибки Aε определяется значением ампли- тудно-частотной функции на частоте ω0: Aε = Φgε (jω0 ) A, а фазовый сдвиг φε – значением фазовой частотной функции на той же частоте:

ϕε = argΦgε (jω0 ).

Пример 4.2. Структурная схема системы приведена на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Структурная схема системы к примеру 4.2.

Определить амплитуду установившейся ошибки при поступлении на вход гармонического сигнала g(t)= Asin ω0t = 5sin3t .

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке равна

s

Подставив в полученное выражение s=jω, и далее ω=ω0=3, получим значение АЧХ как модуля частотной передаточной функции на частоте входного воздействия

Осталось умножить полученное число на амплитуду входного сигнала и ответ готов

3

Aε = 5 5 = 3.

4.2.4. Коэффициенты ошибок

Метод коэффициентов ошибок может применяться как для задающего, так и для возмущающего воздействия и позволяет вычислить величину установившейся ошибки для произвольной формы входного воздействия. Не снижая общности, рассмотрим случай, когда имеется только задающее воздействие.

Пусть функция времени g(t), описывающая входной сигнал, имеет произвольную форму, но достаточно плавная вдали от начальной точки процесса в том смысле, что существенное значение имеет только m произ-

по Лапласу ошибки, которое получается из уравнения (4.2.7), если к последнему применить преобразование Лапласа при нулевый начальных условиях

Разложив передаточную функцию замкнутой системы по ошибке Φgε (s) в ряд Тейлора по степеням комплексной переменной s вблизи точки

установившегося режима s=0 (что соответствует достаточно большому времени t, то есть установившемуся режиму) и, ограничиваясь при этом (m+1)-м слагаемым, из уравнения (4.2.8) получим

Переходя в последнем уравнении к оригиналам (то есть из частотной области во временну ю) и учитывая, что символ s в области времени есть оператор дифференцирования p, получим

Величины с0, с1, с2,… называются коэффициентами ошибок. Они могут быть найдены по общему правилу разложения функции в ряд Тейлора как соответствующие производные

дробно-рациональную функцию переменной s, коэффициенты ошибок проще получать не по формулам (4.2.11), а непосредственным делением числителя на знаменатель, имея в виду получить ряд по целым положительным степеням s с последующим сравнением этого ряда с рядом (4.2.9). Следует помнить, что поскольку требуется получить ряд по возрастающим степеням s, в таком же порядке, то есть по возрастающим степеням s следует располагать числитель и знаменатель при делении.

137

мом второго порядка c0 = c1 = 0, а коэффициент с2 связан с добротностью

по ускорению соотношением c2 = 1 . И, вообще, в системе с астатизмом 2! Qa

n-го порядка первые n коэффициентов ошибок равны нулю, а следующий коэффициент связан с соответствующей добротностью соотношением

cn = 1 . n! Q(n)

Предположение о том, что коэффициенты ошибок сk представляют собой константы, обусловливает применение рассматриваемого метода для сравнительно медленно меняющихся воздействий, когда можно пренебречь переходной составляющей процесса и рассматривать только установившееся вынужденное движение системы.

4.3.Качество переходных процессов

4.3.1. Оценка качества по переходной

характеристике

Помимо устойчивости и точности, большое значение при исследовании САУ имеет качество переходных процессов. В частности, оценку запаса устойчивости и быстродействия можно произвести по виду переходного процесса при некоторых типовых воздействиях, которыми могут быть как задающее, так и возмущающее воздействия. Обычно в таких случаях рассматривают типовое воздействие в виде единичной ступенчатой функции. Тогда кривая переходного процесса представляет собой переходную характеристику системы. Она может строиться как для регулируемой величины, так и для ошибки.

Численно охарактеризовать качество переходных процессов можно следующими показателями качества.

Время переходного процесса tп характеризует быстродействие системы. Это время, протекающее от момента поступления на вход еди-

138

ничного ступенчатого сигнала до момента, после которого имеет место неравенство h(t)− h(∞) ≤ , где ∆ – заданная малая величина, обычно пред-

ставляющая собой допустимую ошибку (рис.4.4). В следящих системах в качестве единичного скачка принимается мгновенное изменение задающего воздействия r(t)=1(t). В этом случае под величиной ∆ понимают некото-

h(t)

tп t

Рис. 4.4. Переходной процесс

рую долю от установившегося значения y(∞) (обычно от 1% до 5%). Максимальное отклонение в переходном процессе hmax или

перерегулирование σ%

σ% = hmax (− h)(∞)100% h ∞

характеризует склонность системы к колебаниям, а, следовательно, и запас устойчивости (см. рис. 4.4).

Допустимое значение перерегулирования для той или иной системы определяется на основании опыта эксплуатации подобных систем и обычно составляет 10-30%.

Колебательность переходного процесса обычно определяется числом колебаний за время tп. Иногда колебательность переходного про-

чину так и называют колебательностью и выражают в процентах.

139

Приемлемым числом колебаний считается 1-2, однако бывают системы, в которых колебательность не допускается вообще, а в некоторых случаях возможны три и более колебания.

Задав величину перерегулирования σ и время переходного процесса

t

Рис. 4.5. Область допустимых отклонений

tп, мы тем самым определяем некоторую область, ограничивающую отклонения регулируемой величины при единичном воздействии. Эту область можно назвать областью допустимых отклонений регулируемой величины в переходном процессе (рис. 4.5).

Уточнение ограничений на область допустимых отклонений привело к дальнейшему развитию критериев, основанных на переходной характеристике. Это такие критерии, как время нарастания, время запаздывания, время достижения первого максимума и др.

Хотя переходная функция h(t) и является наиболее наглядной характеристикой качества переходных процессов, для её построения нужно решать дифференциальные уравнения, порой, достаточно высокого порядка, что само по себе является отдельной, часто непростой задачей. Поэтому хотелось бы иметь какие-то косвенные признаки, получить которые было бы проще, чем кривую h(t), и по которым можно было бы судить о качестве переходных процессов. Кроме того, желательно, чтобы эти косвенные