Теория автоматического управления. Часть 1

103

3.3. Частотные критерии устойчивости

Все частотные критерии связаны с переходом в частотную область путём замены s = jω .

3.3.1. Критерий Михайлова

В1938 г. советский ученый А.В.Михайлов предложил частотный критерий, который впоследствии назвали его именем. Речь по-прежнему идет о характеристическом полиноме (знаменателе передаточной функции) D(s). Подставим в характеристический полином (3.2.6) вместо s мнимую переменную jω:

(3.3.1) где X (ω)= an − an−2ω2 + an−4ω4 − ... – вещественная часть, содержащая чётные степени ω; Y(ω)= an−1ω − an−3ω3 + an−5ω5 − ... – мнимая часть, содержащая нечётные степени ω; А(ω) и φ(ω) – модуль и фаза (аргумент) характеристического комплекса (3.3.1).

При заданных коэффициентах ak каждому значению частоты ω на комплексной плоскости соответствует точка, определяемая выражением (3.3.1). Плавное изменение частоты от 0 до ∞ приводит к движению изображающей точки по комплексной плоскости. Получающаяся при этом кривая называется кривой Михайлова. Начинается кривая Михайлова на вещественной оси, поскольку при ω=0, согласно (3.3.1), D(jω)ω=0 = an и

«уходит» в бесконечность при ω→∞.

Критерий Михайлова можно сформулировать так: для устойчиво-

сти системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от нуля до бесконечности кривая Михайлова (3.3.1), определяемая характеристическим полиномом, начиналась на вещественной положи-

π

тельной полуоси и имела суммарное приращение аргумента ϕ = n 2 ,

105

Картина перемещения концов векторов (3.3.4) по комплексной плоскости приведена на рис. 3.1, б. Из рисунка видно, что один из векторов

(3.3.4) при изменении частоты от 0 до ∞ повернётся на угол π2 + γk , где

Рис. 3.1. Расположение корней на комплексной плоскости

Окончательно, число квадрантов, «пройденных» кривой Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞, равно числу сомножителей в выражении (3.3.2), то есть для устойчивой системы – порядку системы n. Ч.т.д.

Повторив вышеизложенное в обратном порядке, получим доказательство достаточности критерия Михайлова для устойчивости системы.

106

Каждый вещественный положительный корень характеристического уравнения даст изменение фазы − π2 (см. рис. 3.1, в), а каждая пара ком-

плексно сопряжённых корней с положительной вещественной частью – изменение фазы − π (см. рис. 3.1, г).

Таким образом, в неустойчивой системе с l корнями характеристического уравнения в правой полуплоскости (и соответственно с n-l – в ле-

По формуле (3.3.5) можно определить число корней в правой полуплоскости, если известен общий угол поворота кривой Михайлова и порядок системы.

Условие нахождения системы на границе устойчивости – прохождение кривой Михайлова через начало координат: если кривая начинается в начале координат, то это соответствует апериодической границе устойчивости (an = 0); если кривая проходит через начало координат на ненулевой частоте ω0 ≠ 0, то это соответствует колебательной границе устойчивости. В последнем случае это означает, что на частоте ω0 вещественная и мнимая части характеристического комплекса (3.3.1) обращаются в нуль, то есть значение s = jω0 является корнем характеристического уравнения, и в системе имеются незатухающие колебания с частотой ω0.

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, конец её «уходит» в бесконечность параллельно вещественной оси при чётной степени системы и параллельно мнимой оси

– при нечётной. Примеры кривых Михайлова для степеней n=1,2,3,4 приведены на рис. 3.2.

107

Число квадрантов, большее, чем n, кривая Михайлова вообще не может пройти, поэтому неустойчивость системы связана с нарушениями

n=2 n=1

n=3

n=4

Рис. 3.2. Кривые Михайлова для устойчивых систем

прохождения последовательности квадрантов. Правильная (по порядку) последовательность прохождения квадрантов приводит к тому, что корни уравнений X (ω)= 0 иY(ω)= 0 для устойчивой системы должны по мере роста ω чередоваться: сначала Y(0)=0, затем X(ω1)=0, далее Y(ω2)=0, потом опять X(ω3)=0 и т.д., при этом ω1<ω2<ω3<… Поэтому, найдя корни уравнений X (ω)= 0 иY(ω)= 0, по сути дела, дальнейшего построения кривой Михайлова не требуется. Такое следствие из критерия Михайлова, как перемежаемость корней, можно принять за отдельный критерий устойчивости.

Пример 3.7. Опять рассмотрим характеристическое уравнение из примеров 3.5 или 3.6

s4 + s3 + 4s2 + 2s + 4 = 0 .

Подставим в левую часть уравнения s=jω и выделим вещественную и мнимую части. Приравняв их к нулю, получим два уравнения

X (ω)= ω4 − 4ω2 + 4 = 0, Y(ω)= −ω3 + 2ω = 0.

108

Решая первое уравнение, находим его корни ω12 = 2. Из второго уравнения получим ω0 = 0; ω22 = 2. Совпадение корней уравнений

X (ω)= 0 иY(ω)= 0 говорит о прохождении кривой Михайлова через начало координат, то есть о нахождении системы на колебательной границе устойчивости.

Пример 3.8. Задан характеристический полином системы

s4 + 3s3 +10s2 + s + 24 .

Подставив в полином s=jω, и приравняв нулю вещественную и мнимую части, получим два уравнения

X (ω)= ω4 −10ω2 + 24 = 0, Y(ω)= −3ω3 + ω = 0.

Решение первого уравнения X(ω)=0 даёт корни ω12 = 4; ω32 = 6. После решения второго уравнения Y(ω)=0 получаются корни ω0 = 0; ω22 = 3. Поскольку чередование корней нарушено (сначала идут два корня уравнения для мнимой части, а затем два корня для вещественной), система является неустойчивой.

3.3.2. Критерий Найквиста

Американский радиоинженер Г.Найквист, занимаясь исследованием усилителей, обратил внимание на то, что охват усилителя отрицательной обратной связью (а это делается обычно для уменьшения нелинейных искажений) иногда приводил к неустойчивости, то есть усилитель переходил в режим самовозбуждения. Анализ этого явления позволил Найквисту в 1932 г. сформулировать условие устойчивости замкнутых усилителей, а поскольку САУ, как правило, имеют отрицательную обратную связь, то

109

это условие было распространено и на системы автоматического управления и получило название критерия Найквиста.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутых систем по частотным характеристикам разомкнутых систем. Вспомним связь передаточных функций замкнутой и разомкнутой систем, определяемую, например, для задающего воздействия выражением (2.3.10):

Рассмотрим знаменатель 1+W(s), который присутствует во всех передаточных функциях замкнутой системы. Введём в рассмотрение дополнительную передаточную функцию

Заменив в выражении (3.3.6) s на jω, получим АФЧХ W1(jω). Теперь будем менять частоту ω от нуля до бесконечности и проследим за изменением фазы АФЧХ W1(jω).

Частотная передаточная функция W1(jω), согласно выражению (3.3.6), содержит в числителе характеристический комплекс замкнутой системы D(jω), а в знаменателе – характеристический комплекс разомкнутой системы A(jω), причём степени числителя и знаменателя совпадают и равны n.

По критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы нужно, чтобы угол поворота D(jω) был равен n π2 . Характеристический комплекс A(jω) по критерию Михайлова поворачивается на угол n π2 − lπ , где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы