Моделирование и оптимизация объектов и процессов

44

F (x) 1. Поэтому

где k — число точек xi, лежащих не правее xk.

Построение функции распределения осуществляется в следующей последовательности.

1.В системе координат F (x) и x наносится точка с координатами x1 и F (x1) = P1.

2.Из нанесенной точки опускается перпендикуляр до пересече-

•функция распределения изменяется скачкообразно, причём величина скачка в точке xi равна вероятности появления этого значения Pi;

•функция распределения является неубывающей, т. е. такой функцией, которая может либо возрастать, либо не изменять своего значения.

Пусть дана функция распределения F (x) и требуется найти вероятность того, что x будет находиться в интервале a < x < b, т. е. нужно найти P (a < x < b). По определению P (x < a) = F (a).

Из графика функции распределения видно, что

P (a < x < b) = P (x < b) − P (x < a).

Это можно записать в виде

P (a < x < b) = F (b) − F (a).

Отсюда следует вывод: вероятность появления случайной величины в заданном интервале равна разности значений функции распределения на границах заданного интервала.

Закон распределения случайной величины Xk легко выражается через F (x) — закон распределения ГС X. Например, закон рас-

пределения левого крайнего члена X1 F (X1) = 1 − [1 − F (X)]n. Это позволяет решать обратную задачу: по наблюдениям «слабейших» образцов, т. е. по реализациям случайной величины X1 находить закон распределения ГС F (X). На основе порядковых членов выборки основаны многие критерии проверки различных свойств ГС.

Приближенное представление о неизвестной функции распре-

деления ГС F (X), определяющей в точке X вероятность события (X < x), дает так называемая эмпирическая, или выборочная функция распределения

где v(x) — число выборочных значений, лежащих левее точки x на числовой оси.

Из определения (4.2) видно, что ν(x)/n есть частота события (X < x), которая при больших значениях n близка к вероятности

этого события F (X), т. е. F (X) F (X). Доказано, что при n → ∞

n =

Fn(X) → F (X) для любых x.

График функции Fn(X) представляет собой ступенчатую функцию со скачками 1/n в каждой точке xi, i = 1, 2, . . . , n, (см. рис. 4.2).

Зная вид функции Fn(X), можно решать задачу обоснованного выбора закона распределения ГС F (X), используя так называемые критерии согласия, а также вероятностную меру.

4.4.2. Связь между функцией распределения и гистограммой

Из определения функции распределения следует, что

F (x1) − F (x0) = P1; F (x2) − F (x1) = P2; . . . ; F (xi) − F (xi−1) = Pi.

Обозначим

F (x1) − F (x0) = F1(x); F (x2) − F (x1) = F2(x); . . . ;

F (xi) − F (xi−1) = Fi(x),

где Fi(x) — приращение функции распределения.

С другой стороны, как было установлено ранее, ордината гистограммы

46

т. е. ордината гистограммы равна отношению приращения функции распределения к приращению случайной величины.

По предыдущему разделу число разрядов равно отношению раз-

а уменьшение x равнозначно увеличению числа разрядов k.

Из формул (4.3) и (4.4) следует, что увеличение числа разрядов или, что то же самое, уменьшение величины x ведёт к сглаживанию гистограммы и функции распределения F (x) при сохранении площади гистграммы, равной единице. Для непрерывной случайной величины при x → 0 гистограмма и функция распределения переходят в плавные кривые. При этом площадь плавной гистограммы по-прежнему будет равна 1, а ордината y = F (x)/ x при

т. е. превратится в производную от F (x). Производная от функции распределения по переменной x называется плотностью распреде-

Равенство (4.5) является основным условием, которому должна удовлетворять кривая распределения.

f(x). Если число наблюдений n велико, то выборочные данные распределяют по разрядам, разбивая занятую ими область на интервалы (J1, J2, ., Jm) одинаковой длины и подсчитывая частоты nk/n попадания в эти интервалы.

ют относительные плотности выборочных значений fk = nk/n , k = 1, 2, . . . , m, которые и определяют эмпирическую, или выборочную, плотность распределения fk(x) = fk при x Jk, k = 1, 2, . . . , m.

Ясно, что f (x) f — плотности распределения ГС X. Графичес-

k = k

кое изображение функции fk(x) носит название гистограммы (см. рис. 4.1). При вычислении гистограммы рекомендуется интервалы Jk выбирать так, чтобы в каждом из них было не менее 10 точек.

4.3. Метод моментов

Основные свойства распределения случайной величины значительно проще можно описать несколькими числовыми характеристиками, которые определяют наиболее существенные особенности

распределения. Такой системой характеристик являются моменты случайной величины. Моменты систематизируются по трём призна-

кам: по порядку момента βi; по началу отсчёта случайной величины; по виду случайной величины.

Порядок момента может быть любой целой величиной, практически же рассматривают моменты 0-го, 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков.

По началу отсчёта случайной величины моменты могут быть начальными и центральными, а по виду — для дискретных и непре-

рывных величин.

Начальным моментом β-го порядка называется выражение

nn

При уменьшении расстояния между соседними величинами дискретная величина x будет стремиться перейти в непрерывную. При этом

nB

где αs = B xβ f(x) dx — начальный момент β-го порядка для непре-

A

рывной величины.

48

Рассмотрим как определяются разные моменты непрерывных величин.

Начальный момент нулевого (0-го) порядка, или нулевой начальный момент

B B

α0 = x0f(x) dx = f(x) dx.

AA

B

Но A f(x) dx = 1, следовательно, нулевой момент α0 = 1 и характеризует площадь, находящуюся под кривой распределения.

Начальный момент первого порядка

B

α1 = xf(x) dx

A

характеризует значение случайной величины, вокруг которого груп-

пируются все возможные её значения, т. е. определяет положение центра группирования, и называется средним значением или математическим ожиданием случайной величины. Для случайной вели-

чины x принято обозначени α1 = mx. Величина mx имеет ту же размерность, что и x.

Графики распределений, имеющих математические ожидания mx2 > mx1, приведены на рис. 4.3.

Из рис. 4.3 видно, что математическое ожидание, или среднее значение, является той числовой характеристикой, которая определяет центр группирования случайной величины.

Центр группирования часто принимают за начало отсчета, что равносильно переносу координат в точ-

ку mx. Случайные величины, отсчитываемые от центра группировки, т. е. от математического ожидания, называются центрированными. Моменты центрированой величины называются центральными.

Переход от начальных моментов к центральным осуществляется заменой для дискретных величин значения xi на (xi − mx), а для непрерывных x на (x − mx).

Так, для непрерывных величин будем иметь нулевой центральный момент

B B

μ0 = (x − mx)0f(x) dx = f(x) dx.

A A

B

Но A f(x) dx = 1, следовательно, μ0 = 1 и выражает площадь под кривой распределения.

Первый центральный момент

B

μ1 = (x − mx)f(x) dx,

A

или

B B

μ1 = xf(x) dx − mx f(x) dx

A A

B B

и, учитывая, что A x f(x) dx = mx и A f(x) dx = 1, получаем

B

μ1 = (x − mx)f(x) dx = mx − mx = 0.

A

Отсюда следует, что математическое ожидание центрированной величины равно 0.

Второй центральный момент

B

μ2 = (x − mx)2f(x) dx

A

характеризует рассеяние случайной величины x относительно среднего иназывается дисперсией, обозначаемой Sx2 = μ2 = σ2, т. е. имеет размерность квадрата случайной величины.

Среднее квадратичное отклонение случайной величины x

Sx2 = Sx = σ.

Для наглядности на рис. 4.4 приведено распределение плотности вероятности для различных

> Sx1 )

дисперсий.

Таким образом, положение кривой распределения характеризуется математическим ожиданием, а степень разбросанности параметров — дисперсией Sx2. Для более полного описания распределения параметров привлекают моменты высших порядков.

Третий центральный момент

B

μ3 = (x − mx)3f(x) dx

A

характеризует скошенность, или ассимметрию распределения. Безразмерный коэффициент ассимметрии вычисляется как

μ3 Ax = Sx3 .

На рис. 4.5 представлены два ассимметричных распределения.

50

Одно из них (кривая 1) имеет положительную ассимметрию, другое (кривая 2) отрицательную.

Четвёртый центральный момент

B

μ4 = (x − mx)4f(x) dx

A

характеризует «крупность» распределения, т. е. островершинность или плосковершинность распределения. Эти свойства распределе-

ния описываются с помощью безразмерной величины, так называемого эксцесса

μ4

Ex = Sx4 − 3.

Число 3 вычитается из μ4/Sx4 потому, что для весьма важного и широко распространённого в природе нормального распределения эксцесс Ex = 0. Кривые островершинные, по сравнению с нормальной, обладают положительным эксцессом, а кривые более плосковершин-

ные — отрицательным эксцессом (рис. 4.6).

Эмпирические (выборочные) числовые характеристики — это приближенные значения соответствующих числовых характеристик ГС, определяемые по выборочным значениям x1, x2, . . . , xn.

Представление о математическом ожидании или среднем значении ГС дает выборочное среднее значение

n i=1

для дисперсии ГС приближенным значением служит выборочная

дисперсия

n

D(x) = S2 = 1 (Xk − Х)2. (4.8)

n i=1

√

Величина S2 = S определяет выборочное среднее квадрати-

√

ческое (или стандартное) отклонение ГС σ = S2. Приближенным значением ковариации (или корреляционного