Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

УДК

ББК

Рецензенты:

кафедра высшей математики Сибирского гос. мед. ун-та, зав. каф. д-р физ.-мат. наук, проф. В.В. Свищенко; канд. физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики Томского политехн. ун-та Е.Т. Ивлиев.

Магазинников Л.И.

Магазинникова А.Л.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 2010. 176 с.

ISBN

Изложен материал по линейной алгебре и аналитической геометрии в объёме, предусмотренном ныне действующей программой втузов. Отличительной особенностью является широкое использование матричного аппарата. Теоретический курс дополнен многочисленными иллюстративными примерами и контрольными заданиями, которые можно выполнять в режиме автоматизированного самоконтроля. В пособие включены методические указания, в которых приведены решения типичных задач, подобных вошедшим в контрольные работы.

Для студентов заочных факультетов и студентов, обучающихся по дистанционной форме.

Учебное издание

Магазинников Леонид Иосифович, Магазинникова Анна Леонидовна Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Редактор Технический редактор Корректор

4.3.Решение системы в случае m = n, D = det A 6= 0 . . . . 41

4.4.Исследование и решение системы

8.7.Алгебра геометрических векторов (задачи 9 и 10) . . . 116

8.8.Линейные операторы. Собственные числа

ВВЕДЕНИЕ

Кафедрой высшей математики Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники для студентов дистанционной и заочной форм обучения по курсу высшей математики подготовлены учебные пособия в пяти частях, каждая из которых охватывает материал соответствующего семестра.

Впредлагаемом пособии изложены сведения по линейной алгебре

ианалитической геометрии, изучаемые в первом семестре. Отличительной чертой пособия является широкое использование матричного аппарата, поэтому изложение начинается введением понятия матрицы и действий над матрицами. После чего изучаются определители порядка n, обратные матрицы и решение матричных уравнений. Один из подразделов посвящён изучению конечномерных линейных пространств (глава 3).

Матричный аппарат позволяет довольно компактно изложить теорию систем линейных уравнений, что и проделано в главе 4. В качестве примера линейных пространств приведены некоторые сведения из алгебры геометрических векторов как направленных отрезков. Разделом, переходным от курса алгебры к математическому анализу, является раздел, посвященный изучению функций в линейных пространствах (линейных операторов, линейных, билинейных

иквадратичных форм). При этом используется аппарат тензорных обозначений.

Вседьмой главе кратко изучаются некоторые геометрические объекты: прямая на плоскости и в пространстве, плоскости, кривые

иповерхности второго порядка.

Ввосьмой и девятой главах рассмотрены методы решения задач по линейной алгебре и аналитической геометрии с целью оказать помощь студентам успешно выполнить контрольные работы.

Взаключительной главе приведены задания для двух контрольных работ, в десяти вариантах каждое. Предусмотрена возможность их выполнения в режиме автоматизированного самоконтроля при наличии устройства “Символ” или его компьютерного аналога.

1. Матрицы и действия над ними

Линейная алгебра один из разделов математики, в котором изучается важнейшая математическая структура конечномерные линейные пространства, а также их линейные и полилинейные отображения. Основным инструментом при этом является теория матриц и систем линейных уравнений, широко применяемая как в математике, так и в других науках.

1.1. Понятие матрицы. Некоторые виды матриц

Некоторые виды информации удобно представлять в виде таблиц чисел. Предположим, например, что четыре завода 1, 2, 3, 4 производят пять видов продукции, которые также можно пронумеровать

числами 1, 2, 3, 4, 5. Через aik (k = 1, 2, 3, 4, 5, i = 1, 2, 3, 4) обозначим количество продукции с номером k, которое произвёл завод с

Например, число a43 означает количество продукции с номером 3, которое произвёл завод с номером 4. Объясните, что обозначено чис-

лами a35, a24, a13. Какую информацию даёт сумма a11 + a21 + a31 + a41? Таблицы, подобные (1.1), широко встречаются в математике и полу-

чили название матриц.

Матрицей называется любая прямоугольная таблица чисел. Произвольную матрицу можно записать в виде

Кратко матрицу A записывают так: A = [aik ] (i = 1, m; k = 1, n).

Числа aik называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами. Верхний индекс (i) означает номер строки, а нижний (k) номер столбца, в которых расположен этот элемент. Например, элемент a43 расположен в четвёртой строке и третьем столбце.

В матрице A имеются m строк и n столбцов. Будем говорить, что матрица A имеет размер (m × n). В матрице (1.1) имеются 4 строки и 5 столбцов, поэтому её размер (4 × 5).

8 1. Матрицы и действия над ними

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной, а число её строк (или столбцов) называется

Говорят, что элементы a11, a22, . . . , ann образуют главную диагональ, а

элементы an1 , an2 −1, . . . , a1n побочную. Квадратную матрицу, у которой элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называют треугольной. Матрица, не обязательно квадратная, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Квадратная матрица вида

называется единичной.

Мы познакомились с новым понятием матрица. Рассмотрим некоторые операции над матрицами.

1.2. Равенство матриц

Две матрицы A = [aik ] и B = [bik ] одного размера называются равными, если равны их элементы, расположенные на одинаковых местах.

Таким образом, если матрицы A и B равны (пишут A = B), то

a11 = b11, a21 = b21, . . ., aik = bik . Если же хотя бы одно из этих равенств нарушается, то A 6= B.

1.3. Сложение матриц

Пусть даны две матрицы A = [aik ] и B = [bik ] одного размера. Суммой матриц A и B называется матрица C = [cik ] (обозначают C = A + B) такая, что cik = aik + bik .

Чтобы сложить две матрицы, нужно сложить элементы, стоящие

Запомним, что складывать можно только матрицы одинакового размера. Для матриц разных размеров операция сложения не определена.

1.4. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A = [aik ] на число λ называется матрица B = [bik ] (обозначают B = λA) такая, что для любых значений i и k

1.5. Умножение матриц

Пусть даны две матрицы A и B, размеры которых согласованы следующим образом: число столбцов (число элементов в строках) первой матрицы равно числу строк (числу элементов в столбцах) второй матрицы. Если матрица A имеет размер (m × n), то матрица

Bдолжна иметь размер (n × k). При этом числа m и k могут быть произвольными. Заметим, что из согласованности размеров матриц A и B не следует согласованность размеров B и A. Если же размеры матриц A и B, а также B и A согласованы и матрица A имеет размер (m × n), то матрица B имеет размер (n × m).

Пусть даны две матрицы A и B с согласованными размерами (m × n) и (n × l) соответственно. Произведением матриц A = [aki ] и

B= [bsj ] называется матрица C = [cqp] (записывают C = A · B) разме-

ром (m×l), элемент cqp которой равен сумме произведений элементов строки с номером q матрицы A на соответствующие элементы столбца с номером p матрицы B, т.е.

Xn

cqp = aqi bip = aq1b1p + aq2b2p + · · · + aqnbnp , q = 1, m, p = 1, k. (1.2)

i=1

Предположим, что завод с номером q поставил потребителю с номером p продукцию с номером i (i = 1, 2, . . . , n) в количестве aqi тонн. Стоимость доставки одной тонны этой продукции указанному потребителю обозначим bpi . Тогда сумма (1.2) означает стоимость доставки

всей продукции, поставленной заводом с номером q потребителю с номером p. Матрица C в этом случае даёт полную информацию о затратах всех заводов на доставку произведённой продукции потребителям.

В рассмотренном примере произведение матриц B · A не определено, так как размеры матриц B и A не согласованы.

Из определения произведения матриц следует, что если размеры матриц A, B и B, A согласованы, то в общем случае A · B 6= B · A. Если же A квадратная, а E единичная того же порядка, что и A, то, очевидно, A · E = E · A = A.

Можно доказать, что рассмотренные операции над матрицами

Свойства (1.3) справедливы для любых действительных чисел λ1 и λ2 и любых матриц A, B и C, для которых определены соответствующие операции.