4.4 Моделирование марковских случайных процессов

Человек, имеющий одни часы, твердо знает, который час. Человек, имеющий несколько часов, ни в чем не уверен.

Закон Сегала

Любые данные, полученные в результате временных наблюдений реального физического явления, можно классифицировать как процесс. При этом если процесс можно описать явными математическими формулами в терминах детерминированных переменных, то это будет детерминированный процесс. В противном случае, если любое наблюдение дает только один вариант из множества возможных, получим случайный процесс. Таким образом, случайный процесс – это случайная величина, зависящая от времени.

Введем некоторые основные определения.

Выборочной функцией (реализацией, траекторией) случай-

ного процесса будем называть конкретную реализацию описываемого случайного явления. Тогда случайный процесс – это совокупность выборочных функций, которые может дать исследуемое случайное явление.

Сечением случайного процесса будем называть случайную величину, характеризующую исследуемое случайное явление в некоторый момент времени, то есть это временной срез случайно-

го процесса.

Обычно простую математическую модель, позволяющую получить решение в явном (аналитическом) виде, найти не удается. Однако в некоторых особых случаях такую математическую модель удается построить. Подобная ситуация, например, имеет место в случае, когда исследуемая операция представляет собой (точно или приближенно) так называемый марковский случайный процесс.

Одним из основных признаков, по которым классифицируют случайные процессы, является отношение зависимости между сечениями случайного процесса.

154

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Приведем пример простейшего марковского процесса. Пусть система – это счетчик Гейгера, на который время от времени попадают космические частицы; состояние системы в момент времени t характеризуется показанием счетчика – числом частиц, пришедших до данного момента. Пусть в момент t0 индикатор счетчика показывает S0. Вероятность того, что в момент t > t0 индикатор покажет то или другое число частиц S1 (или не менее S1), разумеется, зависит от S0 , но не зависит от того, в какие именно моменты приходили частицы до момента t0.

Для марковского процесса будущее зависит от прошлого только через настоящее.

В реальных условиях, в сущности, любой процесс можно рассматривать как марковский, если все параметры из "прошлого", от которых зависит "будущее", включить в "настоящее".

Хотя на практике марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются, нередко приходится иметь дело с процессами, для которых влиянием "предыстории" можно пренебречь. При изучении таких процессов можно применять марковские модели.

Наиболее простыми марковскими процессами являются марковские случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным или непрерывным временем.

Марковский процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1, S2, S3, ... можно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из состояния в состояние переходит "скачком", практически мгновенно. Например, пылесос может находиться в трех состояниях: включенном, выключенном и в состоянии поломки. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны, если переход может осуществиться, в принципе, в любой момент. Если процесс марковский и моменты возможных переходов из состояния в состояние фик-

155