Пусть случайная величина Х принимает только значения x1,x2,...,xn, вероятности которых соответственно равны p1,p2,...,pn. Тогда математическое ожидание M(X) определится формулой

i=1

Пример 1

Найти математическое ожидание случайной величины, заданной таблицей значений:

M (X )= 3×0,1+5×0,6 +2×0,3 = 3,9.

Математическое ожидание – важная, но не единственная характеристика "усредненного" значения случайной величины. "Усредненное" значение может характеризоваться также модой и медианой.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (то, для которого вероятность достигает максимума).

Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого P (X < x)>> P (X > x).

Пример 2

Найти математическое ожидание, моду и медиану случайной величины, заданной таблицей значений:

Решение

Математическое ожидание:

M (X )= 0×0, 2 +1×0,3 +2×0, 4 +3×0,05 +4×0,05 =1, 45.

Мода: Mx(X)=2.

Медиана: Xm=1.

136

Математическое ожидание, мода и медиана случайной величины по разному характеризуют усредненное значение случайной величины. Эти различия становятся понятными из следующего примера. Если некоторая фирма хочет оценить необходимое количество денег для выдачи зарплаты, ее интересует средняя зарплата сотрудника, то есть математическое ожидание зарплаты сотрудника, рассматриваемой как случайная величина. При устройстве на работу будущего сотрудника должна интересовать не средняя зарплата, а ее мода – заработная плата, получаемая большинством сотрудников. Сопоставление собственной заработной платы с медианой заработной платы говорит сотруднику о том, принадлежит ли он к хорошо или плохо оплачиваемой части сослуживцев.

На практике часто требуется оценить среднее отклонение возможных значений случайной величины от ее среднего значения. Характеристикой такого отклонения служит дисперсия слу-

чайной величины.

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пример 3

Найти дисперсию случайной величины, заданной в примере

1.

Решение

M(X) = 3,9;

D(X )= (3 −3,9)2 ×0,1+(5 −3,9)2 ×0,6 +(2 −3,9)2 ×0,3 =

= 0,081+0,726 +1,083 =1,89

Использование дисперсии не всегда бывает удобно, так как ее размерность равна квадрату размерности случайной величины. Поэтому для оценки отклонения возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения часто используют среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

137

Для примера 5.3.3: σ (X )= 1,89 ≈1,375 .

Для случайных величин в большинстве случаев невозможно составить перечень всех возможных значений. Поэтому необходимо ввести новые числовые характеристики случайных величин. В качестве таких характеристик чаще всего используют функцию распределения и плотность распределения вероятностей (непрерывной случайной величины).

Функцией распределения случайной величины Х называют функцию FX(x), представляющую собой вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

Геометрически это равенство означает, что FX(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое на числовой оси изображается любой точкой, лежащей левее точки х.

Пусть известно статистическое распределение частостей количественного признака Х. В этом случае удобно пользоваться

эмпирической функцией распределения.

Эмпирической функцией распределения (функцией распреде-

ления выборки) называют функцию F*X(x), определяющую частость события, заключающегося в том, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Непрерывные случайные величины можно исследовать с по-

мощью еще одной функции – плотности распределения вероятностей.

Плотность распределения fX(x) вероятностей непрерывной случайной величины Х представляет собой первую производную

138

от функции распределения FX(x) и характеризует скорость изменения функции распределения этой случайной величины.

Для наглядности представления выборки строят различные графики статистического распределения, в частности – полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой

соединяют точки (х1; n1), (x2; n2), ..., (xk; nk), где ni, i=1,...,k – число наблюдений (частоты), при которых наблюдалось значение при-

знака, равное хi. Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат соответствующие им

частоты ni. Отметим, что сумма всех частот равна объему вы-

борки. Точки (xi;ni) соединяют отрезками прямых и получают по-

лигон частот.

Пример 4

Построить полигон частот для следующего распределения:

Если вместо ni выбирать частости wi, то получим полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариантов, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую функцию, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты). Для построения гистограммы частот на оси

139