эмоциональное состояние и т.п. (субъективные); изменилось направление движения воздуха, температура окружающей среды и т.д. (объективные причины). Поэтому для более полного отражения реальной действительности при моделировании необходимо учесть весь спектр возможных разбросов параметров. Если выполняется серия бросков одним мячом, то неопределенными будут являться только начальные параметры бросания. Данные величины могут быть представлены как интервальные, статистические, стохастические параметры или характеристики, описываемые нечеткими множествами. С наименьшей степенью неопределенности влияние изменения этих параметров можно учесть с позиций стохастической неопределенности. При этом необходимо знать законы распределения соответствующих случайных величин.

Введем некоторые основные определения.

Опыт – это осуществление какого-либо комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз.

Под событием будем понимать результат опыта или наблюдения.

События могут быть элементарными (неразложимыми) и составными (разложимыми).

Элементарное событие – это событие, которое происходит в результате единичного опыта.

Составное событие – это совокупность элементарных собы-

тий.

Пример событий

Игральный кубик подбрасывается два раза. Пусть составное событие определено следующим образом: "сумма выпавших цифр равна 6". Тогда элементарные события будут: "5+1", "4+2", "3+3", "2+4" и "1+5". Любые другие сочетания не относятся к рассматриваемому составному событию.

Генеральной совокупностью называют совокупность собы-

тий, которые могут быть реализованными в результате бесконечного числа однотипных опытов.

131

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных событий из генеральной совокупности.

Объемом совокупности называют число событий этой совокупности.

Случайной величиной будем называть величину, которая в результате опыта (наблюдения, испытания) может принять одно из возможных значений, но какое именно – неизвестно.

Вероятность некоторого события – это мера его "благоприятствия".

События будем называть равновозможными, если мера их "благоприятствия" одинакова. В реальных условиях, когда количество опытов конечно, мера "благоприятствия" определяется не вероятностью, а частостью. Пусть событие A наблюдалось в m опытах из n опытов (испытаний). Тогда частость события A(W(A)) определяется формулой:

Когда n достаточно велико, то "работает" одна из предельных теорем (закон больших чисел – теорема Бернулли), и может быть записано приближенное равенство:

где Р(А) – вероятность события A.

Отметим, что по принятому в теории вероятности соглашению вероятность произвольного события полагается изменяющейся от 0 до 1. При этом нулевая вероятность соответствует не-

возможному событию (которое никогда произойти не может), а единичная – достоверному событию (которое обязательно произойдет).

Изложенный в данном разделе подход к описанию стохастической неопределенности базируется на классической теории вероятностей. В настоящее время общепринятым является аксиоматическое построение теории вероятностей, базирующееся на аксиомах А.Н.Колмогорова.

Сформулируем основные положения этого подхода. Для удобства чтения сформулируем основные положения этого подхода на примере стохастического эксперимента.

132

Пусть Ω – пространство элементарных событий любой природы (по существу, Ω – это достоверное событие, а Ø (пустое множество) – это невозможное событие). Предположим, что в Ω выделена система подмножеств U, удовлетворяющая следующим условиям:

А1. Ω U;

А2. Если A U, то A =Ω \ A U;

А3. Из того, что Ai U, i=1,2,...,k следует, что

Система подмножеств U, удовлетворяющая (А1-А3), называется алгеброй событий. Алгебру U называют также кольцом, так как в U определены только две операции (сложение и умножение), не выводящие из U. Алгебра U является кольцом с единицей, т.к. Ω U и АΩ=ΩА=А для любого А U.

Если к А1-А3 добавить еще одну аксиому: А4. Из того, что Ai U, i=1,2,... следует, что

творяющая (А1-А4), называется s-алгеброй событий.

Таким образом, алгебра есть класс множеств, замкнутый относительно конечного числа операций дополнения, объединения и пересечения; s-алгебра есть класс множеств, замкнутый относительно счетного числа этих операций.

Если задано множество Ω и какая-нибудь алгебра или s- алгебра U его подмножеств, то говорят, что задано измеримое пространство (Ω,U).

Осталось ввести понятие вероятности события. Вероятность на (Ω,U) есть числовая функция, определенная

на множествах из U и обладающая следующими свойствами: Р1. p (A)≥ 0 для любого А U;

Р2. р(Ω)=1;

Р3. Аксиома конечной аддитивности. Если последовательность событий Ai U, i=1,2,...,k такова, что

133

Р4. Аксиома счетной аддитивности. Если последовательность событий Ai U, i=1,2,... такова, что

Тройка (Ω,U,Р) называется вероятностным пространством. Отметим, что аксиоматика Колмогорова является непроти-

воречивой. Она реализуется на объектах, где справедлива классическая теория вероятностей.

Аксиоматика Колмогорова не является полной, т.к. не указывает способ, как приписывать событиям вероятность. Однако это скорее не недостаток, а достоинство. Дискуссии о том, что следует понимать под вероятностью, связаны с желанием увязать определение вероятности с ее "физической" природой. Ввиду сложности последней, такие попытки всегда наталкивались на существенные трудности не только математического, но и философского характера. Появление аксиоматики Колмогорова как бы отделяет математическую сторону вопроса от всего остального. При таком подходе "физическая трактовка" понятия вероятности появляется уже в виде теоремы (усиленный закон больших чисел), в силу которой частота появления некоторого события при неограниченном повторении независимых испытаний сближается (в строго определенном смысле) с вероятностью этого события.

Таким образом, можно сказать, что при аксиоматическом подходе построение вероятностного пространства (Ω,U,Р) является основным этапом в создании математической модели того или иного эксперимента. При этом произвол хотя и существует, но он по существу всегда определяется постановкой конкретных задач.

Рассмотренная выше аксиоматика Колмогорова оказалась исключительно плодотворной для развития новых разделов теории вероятностей, в частности – теории случайных процессов, примеры которых будут приведены в следующем параграфе.

134

Полностью охарактеризовать случайную величину можно законом распределения. Необходимо различать случайные величины (с.в.), принимающие лишь отдельные, изолированные возможные значения (дискретные случайные величины), и случайные величины, возможные значения которых, сплошным образом заполняют некоторый промежуток (непрерывные случайные величины).

Законом распределения случайной величины называют любое правило (таблицу, функцию), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое-то значение или попадет на какой-то интервал). Если с.в. Х имеет данный закон распределения, то про нее говорят, что она "распределена" по этому закону (или "подчинена" этому закону распределения).

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Рассмотрим некоторые простейшие характеристики случайной величины. К таким характеристикам относятся математиче-

ское ожидание, дисперсия, мода и медиана случайной величины. Математическим ожиданием дискретной случайной вели-

чины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Математическое ожидание является средневзвешенным значением случайной величины, в которое каждое значение входит с "весом", равным соответствующей вероятности. Таким образом, математическое ожидание представляет собой "центр тяжести" системы "материальных точек", координаты которых суть всевозможные значения случайной величины, а "массы" равны вероятностям этих значений.

135