четких множеств введены так называемые интегральные индексы ранжирования. Рассмотрим один из них:
H2 (A, B)= H+ (A)− H+ (B), H+ (A)= ∑M (Aα ).∆α,
∆α
где Aα – α-уровневое подмножество нечеткого множества A;
|
inf a +sup a |
|
|
M (Aα )= |
a Aα |
a Aa |
, где inf – точная нижняя граница |
|
2 |
||
|
|
|
|
множества.
При этом если H2(A, B) ≥0 => A ≥B. Отметим, что интегральные индексы ранжирования дают более точный результат решения, чем детерминированные.
Пример вычисления индексов ранжирования.
Пусть А = (0,1/1; 0,2/2; 0,8/3; 0,4/4; 0,2/5); B = (0,4/1; 0,5/2; 0,9/3; 0,5/4; 0,1/5).
H+ (B)= 1+25 0,1+ 2 +2 4 0, 4 + 3 +2 3 0, 4 = 2,7;
H2 (A, B)= H+ (A)− H+ (B)= 2, 48 −2,7 = −0, 22 < 0 A < B.
Введем нечеткие множества скользкая дорога и опасная езда.
Первое нечеткое множество можно определить через коэффициент трения скольжения. Если использовать коэффициенты 0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,05; 0,06, то можно записать:
A = скользкая дорога = (0,8/0,01; 1,0/0,02; 0,6/0,03; 0,4/0,04; 0,2/0,05; 0,1/0,06).
Для определения степени опасности можно ввести коэффициенты опасности I; II; III; IV; V. Например I – это легкие ушибы, ссадины; II – это переломы конечностей и т.д. При этом
B = опасная езда = (0,1/I; 0,3/II; 0,5/III; 0,7/IV; 0,9/V).
124
Теперь можно определить все необходимые для решения задачи нечеткие множества:
не скользкая дорога = A = (0,2/0,01; 0,0/0,02; 0,4/0,03; 0,6/0,04; 0,8/0,05; 0,9/0,06);
не опасная езда = B = (0,9/I; 0,7/II; 0,5/III; 0,3/IV; 0,1/V);
X1 = не очень скользкая дорога = B2 = (0,36/0,01; 0,0/0,02; 0,64/0,03; 0,84/0,04; 0,96/0,05; 0,99/0,06);
X2 = очень не скользкая дорога = B2 = (0,04/0,01; 0,0/0,02; 0,16/0,03; 0,36/0,04; 0,64/0,05; 0,81/0,06);
Определим нечеткое отношение R: R = A×B A×B
|
|
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
0, 2 |
|
0, 2 |
0, 2 0, 2 |
0,1 |
||||||||||||||
|
|
|
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
0,0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
|
0,0 0,0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
0,3 |
0,5 |
0,6 |
0,6 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 4 |
0, 4 |
0,3 |
0,1 |
|
||||||||||
A×B = 0,1 |
|
A×B = |
0, 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,4 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
0,6 |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
|
||||||||||||
|
|
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
0,7 |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
|
|||||||||||
|
|
|
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
|
0,7 |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
|
||||||||||
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
0,3 |
|
0,5 |
|
0,7 |
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
0,3 |
|
0,5 |
|
0,7 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 4 |
|
0,5 |
|
0,6 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
R = A×B A |
×B = 0, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
0,6 |
|
0,5 |
|
0,4 |
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
0,7 |
|
0,5 |
|
0,3 |
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
|
0,7 |
|
0,5 |
|
0,3 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Окончательно получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0,36 |
; |
|
0,0 |
; |
0,64 |
; |
0,84 |
; |
0,96 |
; |
0,99 |
|
0, 4 |
0, 4 |
0,5 |
0,6 |
||||||||||||
Y1 |
= X1 |
R = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
0,5 |
0, 4 |
||||||||
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
0,7 |
0,5 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
0,7 |
0,5 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= (0,9/I; 0,7/II; 0,5/III; 0,6/IV; 0,6/V);
0,8
0,9 0,6 0, 4
0, 2 0,1
125
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0,04 |
; |
0,0 |
; |
0,16 |
; |
0,36 |
; |
0,64 |
; |
0,81 |
|
0, 4 |
0, 4 |
0,5 |
0,6 |
0,6 |
|
||
Y2 |
= X2 |
R = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
0,5 |
0, 4 |
|
|
|||||
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
0, 4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
0,7 |
0,5 |
0,3 |
0, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
0,7 |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= (0,81/I; 0,7/II; 0,5/III; 0,36/IV; 0,36/V).
Сравним полученные результаты для Y1 и Y2 между собой, для чего воспользуемся индексом ранжирования H51 (Y1,Y2 ):
H51 (Y1,Y2 )=sup(min(0,9I; 0,81I), min(0,7II; 0,81I; 0,7II),
min(0,5III; 0,81I;0,7II;0,5III),
min(0,6IV; 0,81I;0,7II;0,5III; 0,36IV), min(0,6V; 0,81I;0,7II; 0,5III; 0,36IV; 0,36V)=
=sup (0,81 0,7; 0,5; 0,36; 0,36) = 0,81.
H51 (Y1,Y2 )=sup(min(0,81I; 0,9I), min(0,7II; 0,9I; 0,7II), min(0,5III;
0,9I;0,7II;0,5III),
min(0,36IV; 0,9I;0,7II;0,5III; 0,6IV), min(0,36V; 0,9I;0,7II; 0,5III; 0,6IV; 0,6V)=
= sup (0,81; 0,7; 0,5; 0,36; 0,36;) = 0,81.
Использование детерминированного индекса ранжирования не позволило сделать вывод о том, какая дорога более опасная. Уточним решения, используя для сравнения интегральный индекс ранжирования. При этом для оценки степеней опасности введем следующие числовые значения: I – 1, II – 2, III – 3, IV – 4, V – 5 (это необходимо сделать, чтобы как-то численно оценивать элементы носителя. Можно было бы пойти по другому пути – "опасность" езды оценивать по степени ущерба для здоровья человека, например, I – 5%, II – 10% и т.д.).
H+ (Y1 )= 1+25 0,6 +1+22 0, 2 +1+21 0, 2 = 2,3;
H+ (Y2 )= 1+25 0,36 +1+23 0,14 +1+22 0, 2 +1+21 0,11 =1,77.
Таким образом, не очень скользкая дорога более опасна, чем очень не скользкая дорога. Отметим, что интегральный индекс ранжирования дает более точный результат по сравнению с де-
126