Дополнением нечеткого множества A называется нечеткое
множество A с функцией принадлежности:
µA (u)=1−µA (u), u U − (mm, p).
Определение дополнения соответствует отрицанию НЕ, то
есть
X = (не X )=U (1−µX (x))/ x.
Пример дополнения.
Пусть A=(0,2/1; 0,5/2; 1,0/3).
Тогда A =(0,8/1; 0,5/2; 0,0/3).
Декартово произведение A1 × A2 ×...× An нечетких множеств
Ai в Ui ,i =1, n , определяется как нечеткое множество A в декартовом произведении U =U1 ×U2 ×...×Un с функцией принадлеж-
ности вида:
µA (u)= min{µA1 (u1 ),..., µAn (un )}, u = (u1,...,un ) U.
Обычным множеством α-уровня нечеткого множества A называется
Sα ={u : u U, µA (u)≥α}, где α [0,1].
Для определения арифметических операций ={+, −, , /} в
работе был сформулирован так называемый принцип обобщения Л.А.Заде:
Пусть A и B – два нечетких множества. Тогда нечеткое множество D = A B определяется функцией принадлежности
µD (u)= Θ µA (u), µB (u) , где
D ( ) |
A ( ) |
B ( ) |
|
sup min |
(µA (u), µB (u)), |
(mm) |
|
|
|
|
|
||||
µ u |
= Θ µ u , µ |
u = |
a b=u,a SA ,b SB |
(µA (u), µB (u)), |
|
||
|
sup |
(p) |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
a b=u,a SA ,b SB |
|
|
||
120
Теперь арифметические операции ={+, −, , /} можно определить следующим образом: A B =U µD (u)/ (a b), если
операция (a b) определена.
Пример операций над множествами.
Пусть A=(0,2/1; 0,5/2; 1,0/3), B=(0,8/1; 0,4/2; 0,5/3; 0,8/4).
Тогда
A + B = a b = u, a SA ,b SB
A + B = a b = u, a SA ,b SB
sup (0,2/2; 0,2/3; 0,2/4; 0,2/5;
0,5/3; 0,4/4; 0,5/5; 0,5/6; 0,8/4; 0,4/5; 0,5/6; 0,8/7)= = (0,2/2; 0,5/3; 0,8/4; 0,5/5; 0,5/6; 0,8/7) (mm)
sup (0,16/2; 0,08/3; 0,1/4; 0,16/5;
0,4/3; 0,2/4; 0,25/5; 0,4/6; 0,8/4; 0,4/5; 0,5/6; 0,8/7)= = (0,16/2; 0,4/3; 0,8/4; 0,4/5; 0,5/6; 0,8/7) (p)
Степенью нечеткого множества A называется нечеткое множество Aα с функцией принадлежности
µAo (u)= (µA (u))α ,u U , a > 0 .
При α=2 получаем операцию концентрирования (CON): CON(A)=A2.
В результате применения этой операции к множеству А снижается степень нечеткости описания, причем для элементов с высокой степенью принадлежности это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности – относительно велико.
При α=0,5 получаем операцию растяжения (DIL):
DIL(A)=A0,5.
Эта операция увеличивает степень нечеткости исходного нечеткого множества.
Неопределенность удобно определить через некоторые основные операции (особенно операции степень, CON, DIL). Покажем, как это можно сделать для неопределенности очень. Ана-
121
логичным образом можно установить неопределенности больше,
меньше, много, слабо, вроде, вполне и другие.
В обычном использовании неопределенность очень не имеет четко определенного значения. Она действует как усилитель, генерируя подмножества того множества, к которому она применяется. Аналогичным образом действует операция концентрирования, поэтому очень u, где u – некоторый термин, может быть определено как квадрат u, то есть:
очень u = u2 =U µU2 (u)/ u
Например, если u=маленький возраст=(1,0/1; 0,8/2; 0,6/3; 0,4/4; 0,2/5),
тогда очень маленький возраст=(1,0/1; 0,64/2; 0,36/3; 0,16/4; 0,04/5).
Рассматриваемый как оператор, очень может действовать сам на себя.
Так, например, очень очень u=(очень u)2 = u4.
Заметим, что порядок следования элементарных терминов в составном термине существенно влияет на результат. Так, например,
u = очень не точно = (точно)2 и
u= не очень точно = (точно)2 не одно и то же.
Сдругой стороны не очень точно может быть записано поразному, хотя результат будет один и тот же:
u= не очень точно=очень точно = (точно)2
Вернемся к нашему примеру о скользкой дороге. Высказывание "если A, то B, иначе C" (где A,B,C нечеткие
подмножества, при этом А обязательно из U, а В и С могут быть определены как на U, так и на V в зависимости от формулировки задачи; напомним, что U и V – универсальные множества, на которых определены нечеткие множества A,B,C) в терминах декартова произведения можно определить следующим образом:
def
если A, тогда B, иначе C = A×B A×C.
122
По существу мы получили некоторое неопределенное отношение R (R: U => V). Далее (по условию задачи) мы хотим определить значения некоторых подмножеств из V, которые определяются заданными подмножествами из U.
Для решения этой и подобного типа задач в работе сформулировано составное правило вывода. Это правило имеет следующий вид.
Если R – неопределенное отношение U => V и x – неопределенное подмножество U, тогда неопределенное подмножество y V, которое индуцируется подмножеством x, дается компози-
цией x и R, т.е. y = x R , где " " – максиминное произведение.
В рассматриваемом примере необходимо определить x1 – "дорога не очень скользкая",
x2 – "дорога очень не скользкая",
и, решив соответствующие задачи вывода, получим подмно-
жества y1 и y2.
Для сравнения полученных нечетких множеств строится некоторая четкая функция H(y1, y2) от нечетких аргументов, которая называется индексом ранжирования. Значения индекса для конкретной пары нечетких чисел (являющихся, по существу, нечеткими множествами) дает основание решить вопрос о том, какое из двух нечетких чисел больше (или – с какой степенью больше). Простейший индекс ранжирования имеет вид:
H51 (A, B)= sup min (µA (a), µB (b)),
a≥b
где sup – обозначение точной верхней границы множества. При этом если H51 (A, B)> H51 (B, A), то A>B. Отметим, что
приведенный индекс ранжирования в качестве наибольшего выбирает то нечеткое число, пик функции, принадлежности которого соответствует большему значению носителя. Данный индекс ранжирования является детерминированным, так как для сравнения нечетких чисел используются однозначно определенные представители этих нечетких чисел. Недостатком детерминированных индексов ранжирования является то, что они не учитывают вид и форму функции принадлежности сравниваемых нечетких чисел. Чтобы избежать такого ограничения, в теории не-
123