•приведенная интерпретация, которую будем называть вероятностной, не исключает других (в том числе невероятностных);

•элемент x, как следует из определения, уже предъявлен ЛПР, а ЛПР и решает задачу отнесения элемента к нечеткому множеству A.

Вкачестве конкретного примера применения аппарата теории нечетких множеств для математического моделирования не-

которого явления рассматривается следующая задача.

Пример

Пусть справедливым считается следующее высказывание:

"Если дорога скользкая – езда опасная, в противном случае – не опасная". Необходимо определить, в каком случае езда будет более опасной: если дорога не очень скользкая или дорога очень не скользкая?

Отметим, что в качестве примера выбрано простейшее утверждение, которое легко формализуется, ответ на него почти очевиден. В реальных задачах операций может быть десятки и сотни и ответы на поставленные вопросы не так тривиальны.

Для математической постановки представленной задачи необходимо ввести ряд определений и некоторые простейшие операции с нечеткими множествами, что и делается ниже.

Носителем нечеткого множества A (SuppA или S(A)) называется множество (в обычном смысле), определяемое как SuppA =

{u/u U, μA(u)>0}.

Нечеткое отношение R: X→Y представляет бинарное отношение нечетких множеств X и Y; R следующим образом описывается с помощью функции принадлежности двух переменных:

R= (x, yU) X Y µR (x, y)/ (x, y),

×

где функция принадлежности двух переменных в зависимости от постановки задачи показывает предпочтение или сходство элементов первого и второго нечетких множеств.

Сравнивая определение нечеткого множества с определением нечеткого отношения, можно видеть, что нечеткое отношение

– это нечеткое множество с векторной базовой переменной.

116

В зависимости от того, для чего используются бинарные нечеткие отношения, вводятся нечеткие отношения сходства и нечеткие отношения предпочтения.

Для примера рассмотрим бинарное отношение сходства. Предположим, что

X={яблоко, груша}, Y={айва, апельсин}.

Сходство будем оценивать по степени сладости зрелых фруктов (функция принадлежности в данном примере выбирается субъективно; в данном случае полагается, что по "степени сладости" груша и апельсин наиболее близки, а груша и айва – наименее близки друг другу).

Бинарное нечеткое отношение сходства между элементами множеств X и Y можно записать в виде:

сходство={0,8/(яблоко, айва); 0,6/(яблоко, апельсин); 0,2/(груша, айва); 0,9/(груша, апельсин)}.

Для удобства записи в теории нечетких множеств нечеткие отношения обычно представляются в виде так называемой матрицы отношений; в данном случае имеем:

где элемент Rij равен значению функции μR(x,y) для i-го элемента X и j-го элемента Y.

В реальных задачах часто приходится иметь дело со следующей ситуацией. Имеются бинарные нечеткие отношения между множествами X→Y и Y→Z. Необходимо установить бинарное нечеткое отношение между множествами X→Z. Данная ситуация требует введения операции произведения отношений. Пусть R – отношение X→Y, а S – отношение Y→Z, тогда отношение X→Z

определится произведение R S , которое в теории нечетких множеств определяется как максиминное произведение следующего вида:

R S = x,z U(X ,Z )max (min (µR (x, y), µS (yz )))/ (x, z).

При выполнении обычного произведения матриц элемент матрицы-произведения, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки пер-

117

вой матрицы и k-го столбца второй матриvы. По существу, максиминное произведение определяется как обычное произведение матриц [33], где вместо операции умножения вводится min, а вместо операции сложения – max.

Пример вычисления максминного произведения

Пусть

Нечеткой (лингвистической) переменной называется сово-

купность (кортеж) вида (X ,U , X ),

где X – наименование нечеткой переменной; U={u} – область

ее определения (обычное множество); X = U µR (u)/ u – нечет-

u U

кое множество на U, описывающее числовые значения нечеткой переменной X.

Если обратить внимание на структуру наименования лингвистической переменной, то можно отметить, что в общем случае это составной термин, представляющий сочетание некоторых элементарных терминов. Эти элементарные термины можно разбить на четыре основных категории:

•первичные термины, которые являются символами специальных нечетких подмножеств, например, молодой, старый и так далее;

•отрицание НЕ и союзы И, ИЛИ;

•неопределенности типа: очень, слабо, более или менее и т.д.;

•маркеры (чаще всего это вводные слова).

Пример выделения основных категорий.

Пусть нечеткое множество описывается составным терми-

ном: "по мнению окружающих, это был не очень сильный и совсем не высокий человек.

•первичные термины – сильный, высокий (человек);

118

•отрицание НЕ и союзы И;

•неопределенности – очень, совсем;

•маркеры – по мнению окружающих.

Отрицание НЕ, союзы И, ИЛИ, неопределенности типа очень, весьма, больше, меньше и другие термины, которые входят в определение значений лингвистических переменных, могут рассматриваться как символы различных операций, определенных на нечетких подмножествах U. Рассмотрим наиболее существенные из этих операций.

Пусть А и В – нечеткие множества; S(A), S(B) – их носители. Обычно вводятся два набора определений основных операций над нечеткими множествами: максиминный (mm) и вероятностный (р). Объединением нечетких множеств А и В в U называется

нечеткое множество A B с функцией принадлежности вида:

Объединение соответствует союзу ИЛИ. Таким образом, если X и Y – символы нечетких множеств, то X Y = (X или Y).

Пример объединения.

Пусть A=(0,2/1; 0,5/2; 1,0/3), B=(0,8/1; 0,4/2; 0,5/3; 0,8/4). Тогда A B=(0,8/1; 0,5/2; 1,0/3; 0,8/4) (mm)

A B=(0,84/1; 0,7/2; 1,0/3; 0,8/4) (p).

Пересечением нечетких множеств A и B в U называется нечеткое множество A B с функцией принадлежности вида:

Пересечение соответствует союзу И. Таким образом, X Y =

(X и Y).

Пример пересечения.

Пусть A=(0,2/1; 0,5/2; 1,0/3), B=(0,8/1; 0,4/2; 0,5/3; 0,8/4). Тогда A B=(0,2/1; 0,4/2; 0,0/3; 0,0/4) (mm)

A B=(0,16/1; 0,2/2; 0,5/3; 0,0/4) (p).

119