- •ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1 Понятие модели
- •Что значит знать? Вот, друг мой, в чем вопрос. На этот счет у нас не все в порядке.
- •Модели вокруг нас
- •Определение модели
- •Свойства моделей
- •Цели моделирования
- •1.2 Классификация моделей
- •Рисунок 1.1 – Типы моделирования
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •Рисунок 1.2 – Взаимоотношения моделей между собой
- •1.3 Классификация математических моделей
- •1.3.1 Классификация в зависимости от сложности объекта моделирования
- •Рисунок 1.3 – Объекты моделирования
- •Рисунок 1.5 – Классификация по оператору модели
- •1.3.3 Классификация в зависимости от параметров модели
- •Рисунок 1.7 – Классификация по параметрам модели
- •1.3.4 Классификация в зависимости от целей моделирования
- •Рисунок 1.8 – Классификация по цели моделирования
- •1.3.5 Классификация в зависимости от методов исследования
- •Рисунок 1.9 – Классификация по методам исследования
- •ГЛАВА 2. ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •Введение
- •Рисунок 2.1 – Этапы построения математической модели
- •2.1 Обследование объекта моделирования
- •Первоначальная формулировка проблемы является самой трудной частью, так как здесь необходимо все время использовать свои мысли, позднее взамен их может использоваться математика.
- •Пример
- •Модель должна позволять:
- •Исходные данные:
- •2.2 Концептуальная постановка задачи моделирования
- •Пример
- •Примем следующие гипотезы:
- •2.3 Математическая постановка задачи моделирования
- •Задача любого вида сводится к математической задаче.
- •Пример
- •А) Векторная форма
- •Б) Координатная форма
- •2.4 Выбор и обоснование выбора метода решения задачи
- •Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и далее подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели.
- •Пример
- •Аналитическое решение задачи о баскетболисте
- •Пример
- •Алгоритм 2.1
- •2.5 Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ
- •Компьютеры бесподобны: за несколько минут они могут совершить такую ошибку, которую не в состоянии сделать множество людей за многие месяцы.
- •1) Название задачи
- •2) Описание
- •3) Управление режимами работы программы
- •4) Входные данные
- •5) Выходные данные
- •6) Ошибки
- •7) Тестовые задачи
- •Пример:
- •Спецификация задачи о баскетболисте
- •1) Название задачи
- •Компьютер IBM PC Pentium
- •2) Описание
- •3) Управление режимами работы программы
- •4) Входные данные
- •5) Выходные данные
- •6) Ошибки
- •7) Тестовые примеры
- •2.6 Проверка адекватности модели
- •Хороший теоретик может объяснить почти любые полученные результаты, верные или неверные, и по крайней мере может потерять массу времени на выяснение того, верны они или нет.
- •2.7 Практическое использование построенной модели и анализ результатов моделирования
- •Пример
- •ГЛАВА 3. СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •3.1 Что такое структурная модель?
- •Системой является все, что мы хотим различать как систему.
- •Рисунок 3.1 – Структурная схема системы
- •Рисунок 3.5 – Структурная модель вращающегося тела
- •Рисунок 3.6 – Структурная модель упругого тела
- •Рисунок 3.7 – Двухступенчатая веерная структурная схема
- •3.2 Способы построения структурных моделей
- •Рисунок 3.8 – Полная формальная модель деятельности человека
- •Рисунок 3.9 – Формальная модель педагогического процесса в вузе
- •Рисунок 3.11 – Пример вычислительного агрегата
- •ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •Нет ничего более противного разуму и природе, чем случайность.
- •4.1 Причины появления неопределенностей и их виды
- •Рисунок 4.2 – Причины возникновения неоднозначности
- •Рисунок 4.3 – Формы описания неопределенности
- •4.2 Моделирование в условиях неопределенности, описываемой с позиций теории нечетких множеств
- •Пример
- •Пример вычисления максминного произведения
- •Пусть
- •Пример объединения.
- •Пример пересечения.
- •Пример дополнения.
- •Пример операций над множествами.
- •Пример вычисления индексов ранжирования.
- •Пример
- •4.3 Моделирование в условиях стохастической неопределенности
- •Пример событий
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Задача о баскетболисте
- •4.4 Моделирование марковских случайных процессов
- •Пример 1
- •Список использованной литературы
граммного обеспечения для соответствующего класса ЭВМ, обеспечивающего поддержку данного метода. Следует отметить, что вычислительная математика в определенном смысле более являет собой искусство, нежели "науку" (в понимании последней как области культуры, базирующейся на формальной логике). Очень часто эффективность применяемых методов, разработанных программ определяется нарабатываемыми годы и десятки лет интуитивными приемами, не обоснованными с математических позиций. В связи с этим эффективность одного и того же метода может весьма существенно отличаться при его применении различными исследователями.
Пример
Аналитическое решение задачи о баскетболисте
Для получения решения рассмотренной выше задачи о баскетболисте в постановке (2.5)-(2.8) можно использовать как аналитические, так и численные методы. Проинтегрировав соотношения (2.5) по времени, получим
x(t)= C2 +C1t, |
y (t)= C4 |
+C3t − gt2 |
, |
(2.9) |
vx (t)= C1, |
|
2 |
|
|
vy (t)= C3 − gt. |
|
|
||
Константы интегрирования найдем из начальных условий (2.6). Тогда решение задачи можно записать следующим образом
x(t)= x0 +v0t cosα0 , |
y (t)= y0 +v0t sinα0 |
− gt2 |
, |
(2.10) |
|
|
2 |
|
|
vx (t)= v0 cosα0 , |
vy (t)= v0 sinα0 − gt. |
|
|
|
Примем для простоты, что в момент броска мяч находится в начале координат и на одном уровне с корзиной (т.е.
x0 = y0 = yk = 0 ). Под дальностью L броска будем понимать рас-
стояние, которое пролетит мяч от точки броска до пересечения с горизонтальной плоскостью, проходящей через кольцо корзины. Из соотношений (2.10) для координат дальность броска выразится следующим образом
L = |
v2 |
sin 2α0 |
(2.11) |
0 |
|||
|
g |
|
|
Тогда точность броска с учетом (2.7) будет равна
68