Механика

Задача 8.

Тонкий однородный стержень длиной l 50 см и массой m 400 г вращается с угловым ускорением 3 рад/с2 около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определите вращающий момент M .

Задача 9.

Шар массой m 10 кг и радиусом R 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид

A Bt2 Ct3 , где B 4 рад/с2, C 1 рад/с3. Найдите закон изменения момента сил, действующих на шар. Определите момент сил M в момент времени t 2 с.

Задача 10.

К ободу колеса радиусом 0,5 м и массой m 50 кг приложена касательная сила F 98,4 Н. Найдите угловое ускорение колеса. Через какое время t после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения n 100 об/с? Колесо считать однородным диском, трением пренебречь.

Динамика поступательного и вращательного движения. Тест для самоконтроля

пустили. В начальный момент времени угловое ускорение обруча равно:

Ответы: 1) 7 рад/c2 2) 5 рад/c2 3) 20 рад/c2 4) 10 рад/c2.

2. В каком случае материальная точка движется равномерно по окружности?

Ответы:

1)Если направление силы, приложенной к точке, совпадает с направлением скорости.

2)Если сила, приложенная к точке, направлена противоположно направлению скорости.

41

3)Если сила перпендикулярна скорости и непрерывно меняется по мо-

дулю.

4)Если сила, приложенная к точке, перпендикулярна скорости и постоянна по модулю.

3. Под действием силы тело массой 1,5 кг движется так, что зависи-

мость пути от времени описывается уравнением S = a + bt + ct2, где a = 1 м, b = 3 м/с, c = 2 м/с2, t –- время. Определить в СИ силу, действую-

щую на тело.

Ответы: 1) 0,5 Н 2) 1 Н 3) 2 Н 4) 6 Н.

4. Зависимость импульса частицы от времени описывается законом P 2ti 3t2 j , где i и j – единичные вектора координатных осей Х, Y соответственно. Зависимость горизонтальной проекции силы FX , действующей на частицу от времени представлена на

42

Динамика поступательного и вращательного движения. Вопросы для самоконтроля

1.Мерой чего является масса тела?

2.Что характеризует момент инерции твѐрдого тела?

3.В каких системах отсчѐта выполняются законы Ньютона?

4.Мерой чего является вектор силы?

5.Дайте определение закону сохранения импульса.

6.Запишите основное уравнение динамики вращательного движения.

7.Как определить направление вектора момента силы?

43

3.ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

3.1.Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О определяется как физическая величина L :

(3.1)

здесь m – масса материальной точки; v – скорость материальной точки; r – определяет положение точки А относительно точки О.

Направление L определяется поступательным движением правого винта при его вращении от r к p mv (рисунок 3.1).

Согласно (3.1.) определим модуль момента импульса:

Рисунок 3.1 – Направление момента импульса

Моментом импульса относительно неподвижной оси Z является величина Lz , равная проекции на ось Z вектора L , определѐнного относительно точки О, лежащей на данной оси Z.

Если твѐрдое тело вращается вокруг неподвижной оси Z, то каждая i-ая точка тела вращается по окружности радиусом ri , с соответствующей

скоростью vi (см. рисунок 2.1). Вектор скорости vi расположен под пря-

Определим момент импульса твѐрдого тела относительно оси Z:

44

Уравнение (3.7) называется уравнением моментов. В замкнутой системе M 0 , тогда (3.7) преобразуется:

dLdt 0.

Следовательно

L const.

Получили фундаментальный закон природы: момент импульса замкнутой системы величина постоянная, не зависит от времени.

3.2. Закон сохранения полной механической энергии

Закон сохранения энергии утверждает, что замкнутая система не может бесконечно долго выделять механическую энергию за пределы системы. Это строгое ограничение на возможность создания энергии и еѐ преобразование запрещает существование вечных двигателей.

Если материальная точка движется под действием фундаментальной силы, которая не зависит от времени, тогда:

Для этой точки можно определить физическую величину, которая в процессе движения остаѐтся неизменной.

Умножим уравнение (3.9) скалярно на dr :

45

Функция U(x,y,z) определяется силовым действием на материальную точку и называется потенциальной энергией. Силы, для которых выполняется условие (3.14) называются консервативными или потенциальными.

С учѐтом (3.14) уравнение (3.13) преобразуется:

Следовательно, для материальной точки, находящейся в поле консервативных сил, остаѐтся постоянная величина Е:

Первое слагаемое в (3.16) называется кинетической энергией или энергией движущегося тела. Результат, аналогичный (3.16) можно получить и для твѐрдого тела. Е называется полной механической энергией. Очевидно:

46

Выполненная математическая операция называется градиентом. Вектор градиента направлен в сторону возрастания функции U(x,y,z).

Из (3.14) следует:

Неопределѐнность не отражается на физических результатах, так как при решении физических задач фиксируется разность потенциальных энергий.

Изменение потенциальной энергии точки не зависит от пути, по которому точка перемещается, а зависит только от начального и конечного положения:

В поле консервативных сил выполняется (3.16), поэтому увеличение потенциальной энергии соответствует такому же уменьшению кинетической энергии и наоборот.

Из (3.21) также следуют выводы:

1.Работа в поле консервативных сил не зависит от формы пути, а зависит только от начального и конечного состояния системы.

2.Работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю.

47

Законы сохранения. Разобранные задачи

Задача 1.

Нейтрон испытывает центральное, упругое соударение с ядром гелия и затем, отразившись, упруго соударяется с другим ядром гелия. Оба ядра до соударения были неподвижны. Определите, со сколько раз изменится кинетическая энергия нейтрона после двух соударений. Массы нейтрона и протона можно считать одинаковыми.

Решение:

где vn1 и vя1 – скорости нейтрона и ядра гелия после соударения. Теперь воспользуемся законом сохранения механической энергии:

Теперь применим законы сохранения ко второму соударению. mnvn1 mяvя2 mnvn2 ,

По аналогии, повторяя предыдущие расчеты, получим выражение для скорости нейтрона после второго соударения:

vn2 53 vn1 53 53 vn 259 vn .

Кинетическая энергия после второго соударения равна

48

Задача 2.

При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m 20 г поднялась на высоту h 5 м. Определите жесткость пружины пистолета, если она была сжата на S 10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение:

Прежде всего проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел. При зарядке пистолета сжимается пружина. При этом совершается работа A1, в результате чего пружина приобретает потенциальную энергию En1 . При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию E2 пули, а затем при подъеме ее на высоту превращается в потенциальную энергию En2 пули. Если пренебречь потерями в этой «цепочке» энергетических превращений, то на основании закона сохранения энергии можно записать A1 En2 .

Выразим работу A1 . Сила F1, сжимающая пружину, является переменной: в каждый момент она по направлению противоположна силе упругости F и численно равна ей. Сила упругости F , возникающая в пружине при ее деформации, определяется по закону Гука F1 F kx , где x – абсолютная деформация пружины.

Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на dx выразится формулой dA1 F1dx kxdx , интегрируя в пределах от 0 до S получим

En2 mgh , где g – ускорение свободного падения. Подставив полученные

49