Математические модели управления проектами

относительно переменных x1 , x2 и . Решение этой системы имеет вид

Постановка задачи. Пусть теперь покупателю предлагают увеличить

цену за первый товар с 10 до 15 за единицу товара, но при этом обещают компенсировать увеличение его расходов, возникшее за счёт этого увели-

чения цены. Определим размер компенсации. Величина компенсации по-

лучается из того условия, что после изменения цен и получения компенса-

21

В примере

то есть компенсация должна составить 27 единиц.

Отметим, что при изменении цен на товары происходит изменение структуры потребления. В этом изменении структуры потребления одно-

временно сказываются два эффекта:

-изменение соотношения цен между различными товарами;

-изменение финансовой ситуации для покупателя.

Понятие компенсации позволяет исключить второй эффект и выде-

лить эффект влияния изменения соотношения цен между товарами на их приобретение в чистом виде.

ЗАДАНИЕ

1. Пусть имеется два вида товаров с ценами, c1 и c2 . Функция полез-

ности имеет вид:

u(x1, x2 ) d1x12 d2 x22 d3x1x2 .

Имеющийся в наличии капитал, равен K . Какое количество товаров дол-

жен приобрести потребитель, для максимизации функции полезности.

Значения c1 , c2 , d1, d2 , d3, K приведены в таблице. Расчет выполнить сна-

чала при d3 0 , затем для того значения d3 , которое приведено в таблице

2.1.

2. Пусть цена c1 увеличилась на 2у.е. Рассчитать компенсацию K для капитала при тех же исходных данных, обеспечив при этом прежнее зна-

чение функции полезности. При этом параметр d3 принять равным нулю.

22

Таблица 2.1

23

3. Производственные функции

Рассмотрим основные понятия и теоремы для производственных функций, которые используются в качестве моделей макроэкономики и

моделей микроэкономики (например, в качестве модели фирмы).

Пусть: Y 0 валовой продукт, K 0 основные фонды, L 0 тру-

довые ресурсы. Тогда функция F(K, L) 0 , определяющая зависимость ва-

лового продукта от основных фондов и трудовых ресурсов, т.е.

Y F(K, L) ,

называется производственной функцией (ПФ), а аргументы K

торами производства.

Если для 0 и 0 имеет место свойство

F(K, L) F(K, L) ,

то ПФ F(K, L) называется однородной ПФ со степенью однородности .

Если 1, то однородная ПФ F(K, L) называется линейно-однородной

ПФ.

Теорема 1. (Теорема Эйлера). Если F(K, L) является однородной ПФ

со степенью однородности , то справедливо равенство

24

Пусть A 0, 0 1, 0 1, 1, тогда ПФ вида

F(K, L) AK L

называется ПФ Кобба Дугласа.

Теорема 2. Пусть Fi (K, L), i 1, N, являются однородной ПФ со степе-

нями однородности i , тогда ПФ

т.е. y это количество валового продукта, приходящегося на единицу тру-

т.е. z это количество валового продукта, приходящегося на единицу ос-

т.е. k это количество основных фондов, приходящееся на единицу трудо-

вых ресурсов.

Предельной производительностью труда или нормой прибыли с тру-

довых ресурсов называется величина

25

т.е. это прирост валового продукта, приходящийся на единицу приро-

ста трудовых ресурсов.

Предельной фондоотдачей или нормой прибыли с основных фондов называется величина

(3.11)

т.е. r это прирост валового продукта, приходящийся на единицу основ-

ных фондов.

Пусть при заданном K прирост трудовых ресурсов, равный L , вы-

зывает прирост валового продукта, равный F . Тогда, согласно (3.4),

являются соответственно доходами, полученными с основных фондов и трудовых ресурсов. Тогда для линейно-однородной ПФ, согласно (3.11), (3.12), следует, что

F(K, L) YK YL .

Таким образом, теорема Эйлера для линейно-однородная ПФ дает представление валового продукта в виде суммы YK и YL .

Коэффициентом эластичности по фондам называется величина

т.е. это процентный прирост валового продукта, приходящийся на один процент прироста основных фондов.

26

Коэффициентом эластичности по трудовым ресурсам называется ве-

личина

т.е. это процентный прирост валового продукта, приходящийся на один процент прироста трудовых ресурсов.

Справедливость следующих двух формул очевидна

Теорема 3. Пусть F(K, L) являются линейно-однородная ПФ со степе-

нью однородности , тогда имеет место свойство

.

Пусть F(K, L) однородная ПФ со степенью однородности . Тогда соотношению F(K, L) F(K, L) эквивалентно соотношение

y L 1 f (k) ,

где y Y / L, k K / L соответственно средняя производительность труда и фондовооруженность труда, а f (k) 0 для k 0 имеет вид

f (k) F(k,1) .

Очевидно, что неоклассические условия для f (k) имеют вид (здесь и далее штрихи, как правые верхние индексы, означают производные соответ-

ствующего порядка по k )

10 ) f (k) 0; 20 ) f (k) 0;

30 ) lim f (k) ;

k 0

40 ) lim f (k) 0.

k

Теорема 4. Если F(K, L) однородная ПФ со степенью однородности

, то F(K, L) и f (k) связаны соотношениями

27

F(K, L) L f (k) .

Теорема 5. Экономико математические параметры z, , r, , для однородной ПФ определяются формулами

z(1/ k)L 1 f (k) ,

L 1[ f (k) kf (k)] ,

rL 1 f (k) ,

k[ f (k) / f (k)],

k[ f (k) / f (k)] .

Если F(K, L) линейно-однородная ПФ, то r является убывающей, а

возрастающей функцией фондовооруженности k .

Если хотя бы один из коэффициентов эластичности либо не за-

висит от фондовооруженности k , то линейно-однородная ПФ является ПФ Кобба Дугласа.

Рссмотрим параметры эластичности замены факторов.

Пусть фактор K получил приращение K . Ставится вопрос: на какую величину L должен уменьшиться фактор L , чтобы величина валового продукта не изменилась. Справедлив и обратный вопрос. Таким образом,

основное соотношение для решения поставленного вопроса замены одного фактора производства другим имеет вид

28

и выражаются формулами

Произведение предельных норм замены равно единице, т.е.

SK SL 1 .

Если ПФ является однородной со степенью однородности , то име-

ют место формулы

Для однородной ПФ со степенью однородности имеет место свой-

ство K L , которая определяется формулой

Теорема 6. Для того, чтобы норма замены SK либо SL линейно-

однородной ПФ не зависела от фондовооруженности k , необходимо и до-

статочно, чтобы она была линейной, т.е.

F(K, L) AK BL, f (k) Ak B .

29

Рассмотрим случай произвольного числа факторов производства. Ес-

ли xi 0, i 1; n , являются факторами производства, то функция

F(x1, x2 ,..., xn ) 0 , определяющая валовой продукт Y через факторы произ-

водства, т.е.

Y F(x1, x2 ,..., xn ) ,

называется производственной функцией.

Если для 0 и 0 имеет место свойство

F(x1, x2 ,..., xn ) F(x1, x2 ,...,xn ) ,

то ПФ F(x1, x2 ,..., xn ) называется однородной ПФ со степенью однородно-

сти . Если 1, то однородная ПФ называется линейно однородной ПФ.

Теорема 7. (Теорема Эйлера). Если F(x1, x2 ,..., xn ) является однород-

ной ПФ со степенью однородности , то имеет место свойство

i 1

Тогда ПФ вида

30