Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Исследование индуктивного элемента на основе упругих свойств анизотропного кристалла

..pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
1.17 Mб
Скачать

21

точечной симметрии. Для отыскания компонент тензоров Cijkl , ekij необходимо

перевести матричные обозначение Фохта приведенных в приложении тензоров в тензорные обозначения. Сделать это можно, преобразовав индексы воспользовавшись ниже преведённой таблицей

Тензорное обозначение

11

22

33

23,32

31,13

12,21

 

 

 

 

 

 

 

Матричное обозначение

1

2

3

4

5

6

 

 

 

 

 

 

 

Индексы преобразовываются попарно: либо первая и вторая пары (для четырех индексов), либо – последние два (для трех).

 

Е

 

еi еk

 

3.2.3. Нахождение компонент тензора

Пik Гik

 

 

. Составление

U

 

 

 

 

анлитических выражений для компонент модифицированного тензора упругих постоянных Пik производится следующим образом: задаются конкретные значения индексов i и k (от 1 до 3), остальным индексам поочередно присваива-

ются значения от 1 до 3. При этом учитывается, что, так как компонента m1

вектора волновой нормали равна нулю и потому нет смысла присваивать индексам j и i значение 1. Продемонстрируем последовательность действий на примере компоненты П11.

В выражении для комопонент модифицированного тензора Кристоффеля

Е

 

еi

еk

Пik Гik

 

 

 

U

 

 

полагаем i k 1. Тогда получим:

 

 

 

 

 

П

Г Е

 

е1 е1

.

(22)

 

11

11

 

U

 

 

 

 

 

Теперь приступим к отысканию первой компоненты тензора Кристоффеля Г11E .

22

 

 

 

 

Начнем с выражения для этих компонент:

Г Е

СE

m m

, которое для нашего

 

ik

ijkl

j i

 

случая примет следующий вид:

 

 

 

 

Г11Е С1Ej1l m j ml ,

 

 

(23)

где индексы j и I принимают значения только 2 и 3 (для i =1 m1 0 ). Тогда для каждого значения перебираемых индексов получим такие комбинации:

j=2 ; l=2; C1212m2m2 C66m22 ;

j=2 ; l=3; C1213 m2m3 C65m2m3 ;

j=3 ; l=2; C1312 m3m2 C56m3m2 ;

j=3 ; l=3 ; C1313m3m3 C55m32 .

Складывая эти выражения и используя тензорные обозначения Фохта, получим требуемую компоненту тензора Кристоффеля:

Г11E C66m22 C65m2m3 C56m3m2 C55m32

Теперь перейдем к определению второго слагаемого компоненты тензора Кри-

стоффеля, описывающего влияние пьезоэффекта на упругие свойства кристалла:

e2

11 1

u

Выражения для вычисления числителя и знаменателя этиой дроби таковы:

 

e'

e m m

j

k, j 2, 3

;

 

1

k1j

k

 

 

 

 

m m

где k,n 2, 3 .

 

 

kn

k

n

 

 

 

Перебор индексов k и n от 1 до 3, а также переход от тензорных обозначений к фохтовскому по второму и третьему индексу, приводит к следующему выражению

 

 

(e m2

e m m e m m e m2 )2

 

11

 

26

2

36

3

2

25

2

3

35

3

(24)

 

22

m2

32

m m

23

m m

m2

 

 

 

2

 

3

2

 

2

3

 

33

3

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

Cложив

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

Г11 и

11, получим компоненту П11. Остальные компоненты тензора П

находятся аналогично.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.4. Определение фазовых скоростей упругих волн начинается с записи

уравнения Кристоффеля в координатной форме:

 

 

 

 

 

П 2 p П p П p 0

 

 

 

 

11

П

 

1

12

2

13

3

 

 

 

П

p

22

2

p

П

23

p 0 .

(25)

 

 

 

21 1

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

П p П p П

33

2 p 0

 

 

 

 

31 1

32

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.5. Получим характеристическое уравнение для нахождения фазовых скоростей. Для этого приравниваем к нулю определитель системы уравнений (25):

П11 2

П12

П13

 

 

 

 

П21

П22 2

П23

0 .

(26)

П31

П32

П33 2

 

 

В общем случае имеем уравнение третьей степени относительно 2 , или – шестой относительно . Но в данном случае оно распадается на линейную и квад-

ратичную составляющие, поэтому данное уравнение можно решать с помощью теоремы Виета. В итоге получим три решения, каждое из которых определяет величину фзовой скорости упругой волны в кристалле, образовавшейся в результате расщепления вошедшей в кристалл одной плоской упругой волны.

3.2.6. Для определения компонент вектора упругого смещения

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

p2

p3

 

, где 1, 2, 3 , каждой акустической волны (собственного вектора,

p1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствующему данному собственному значению 2 ) в уравнение Кристоф-

феля подставить выбранное значение фазовой скорости значения - одно из

трех собсвенных значений, в систему (25)

24

 

П 2

p П p П p

0

 

 

 

11

 

 

1

12

2

13

3

 

 

П

 

p П

 

2 p П

 

p 0 ,

(27)

 

 

21

1

 

 

22

p П

2

 

23

3

 

 

П

 

 

 

 

 

31

p П

32

33

2 p 0

 

 

 

1

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дополнив его условием нормировки вектора смещения:

p1 2 p2 2 p3 2 1.

При вычислении следует помнить, что в системе (27) необходимо использовать только два уравнения.

4. ТРЕБОВАНИЯ К СОДЕРЖАНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА

4.1. Отчет по лабораторной работе в обязательном порядке должен содержать

следующие разделы:

-цель лабораторной работы;

-изложение теоретической части работы;

-описание расчетной части лабораторной работы;

-конкретные данные на выполнение лабораторной работы (полученные ана-

литические соотношения, предварительные выводы и т.д.);

-полученные расчетные результаты в виде графиков зависимостей фазовых скоростей волн и их векторов поляризаций,

-объяснение полученных результатов на основе теоретических положений,

симметрии кристалла.

4.2. Отчет должен быть набран в редакторе Word и представлен в скрепленном виде. Схемы и графики выполнены в графическом редакторе и вставлены в текст отчета. Рекомендуемые параметры для набора текста: шрифт Arial – 12,

поля со всех сторон по 2 см, одиночный интервал между строк.

4.3. В случае выполнения работы несколькими студентами в конце отчета должно быть указано конкретное участие каждого в выполнении работы.

25 4.4. В соответствии с рейтинговой системой качество выполнения лабораторной

работы и оформления отчета оценивается в баллах, которые суммируются с баллами по контрольным работам.

5.ЛИТЕРАТУРА

1.Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М: Наука, 1979. - - 640 с.

2.Най Дж. Физические свойства кристаллов. - М.: Мир, - 1967. - 388с.

3.Давыдов В.Н. Материалы электронной техники и методы их анализа. Томск,

ТУСУР, 2013. - 132 с.

4.Задорин А.С., Шандаров С.М., Шарангович С.Н. Акустические и акустоопти-

чес-

кие свойства монокристаллов. - Томск: Изд-во ТГУ, 1987.- 152 с.

26

Приложение

Материальные константы кристаллов LiNbO3

1. Упругие постоянные

 

 

 

 

 

 

C11

C12

C13

C14

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C21

C22

C23

C24

0

0

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

C31

C32

C33

0

0

0

1011 Н/м2.

 

4700

кг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mn

 

 

 

 

C41

C42

0

C44

0

0

 

 

 

м3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

C55

C56

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

C56

C66

 

 

 

 

где имеют место равенства:

С21 С12 ;

С31 С13 ;

С55 С44 ;

С24 С14 ;

С66 (С11 С12 ) / 2 ;

С22 С11;

С32 С13 ; С56 С14 ; С42 С14 ; С23 С13 ; С41 С14 ; С65 С14 ,

 

причём:

 

 

 

 

 

С11 2.03 ; С13 0.75 ;

С14 0.09 ; С33

2.45 ; С12 0.53 ;С44 0.6 ;С66 0.75 .

2. Пьезоэлектрические модули

 

 

 

 

0

0

0

0

e15

e16

 

 

e

 

 

e

e

0

e

0

0

, Кл/м2

 

 

 

m

 

 

21

22

 

24

 

 

 

 

 

 

 

e31

e32

e33

0

0

0

 

где имеют место следующие равенства:

e16 e22 ;

e32 e31;

e31 0.2 ; e21 e22 ;

e15 3.669 ; e33

1.301

e24 e15 ;

e22 2.502 .

 

 

3. Диэлектрические постоянные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

11 22;

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mn

 

0

2

0

10

 

, Ф/м.

11

3.894;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

3

 

 

 

 

2.567.

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]