
Исследование индуктивного элемента на основе упругих свойств анизотропного кристалла
..pdf21
точечной симметрии. Для отыскания компонент тензоров Cijkl , ekij необходимо
перевести матричные обозначение Фохта приведенных в приложении тензоров в тензорные обозначения. Сделать это можно, преобразовав индексы воспользовавшись ниже преведённой таблицей
Тензорное обозначение |
11 |
22 |
33 |
23,32 |
31,13 |
12,21 |
|
|
|
|
|
|
|
Матричное обозначение |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
Индексы преобразовываются попарно: либо первая и вторая пары (для четырех индексов), либо – последние два (для трех).
|
Е |
|
еi еk |
|
|
3.2.3. Нахождение компонент тензора |
Пik Гik |
|
|
. Составление |
|
U |
|||||
|
|
|
|
анлитических выражений для компонент модифицированного тензора упругих постоянных Пik производится следующим образом: задаются конкретные значения индексов i и k (от 1 до 3), остальным индексам поочередно присваива-
ются значения от 1 до 3. При этом учитывается, что, так как компонента m1
вектора волновой нормали равна нулю и потому нет смысла присваивать индексам j и i значение 1. Продемонстрируем последовательность действий на примере компоненты П11.
В выражении для комопонент модифицированного тензора Кристоффеля
Е |
|
еi |
еk |
|
Пik Гik |
|
|
|
|
U |
||||
|
|
полагаем i k 1. Тогда получим: |
|
|
|
|
|
П |
Г Е |
|
е1 е1 |
. |
(22) |
|
|||||
11 |
11 |
|
U |
|
|
|
|
|
|
Теперь приступим к отысканию первой компоненты тензора Кристоффеля Г11E .

22 |
|
|
|
|
Начнем с выражения для этих компонент: |
Г Е |
СE |
m m |
, которое для нашего |
|
ik |
ijkl |
j i |
|
случая примет следующий вид: |
|
|
|
|
Г11Е С1Ej1l m j ml , |
|
|
(23) |
где индексы j и I принимают значения только 2 и 3 (для i =1 m1 0 ). Тогда для каждого значения перебираемых индексов получим такие комбинации:
j=2 ; l=2; C1212m2m2 C66m22 ;
j=2 ; l=3; C1213 m2m3 C65m2m3 ;
j=3 ; l=2; C1312 m3m2 C56m3m2 ;
j=3 ; l=3 ; C1313m3m3 C55m32 .
Складывая эти выражения и используя тензорные обозначения Фохта, получим требуемую компоненту тензора Кристоффеля:
Г11E C66m22 C65m2m3 C56m3m2 C55m32
Теперь перейдем к определению второго слагаемого компоненты тензора Кри-
стоффеля, описывающего влияние пьезоэффекта на упругие свойства кристалла:
e2
11 1
u
Выражения для вычисления числителя и знаменателя этиой дроби таковы:
|
e' |
e m m |
j |
k, j 2, 3 |
; |
||
|
1 |
k1j |
k |
|
|
||
|
|
m m |
где k,n 2, 3 . |
||||
|
|
kn |
k |
n |
|
|
|
Перебор индексов k и n от 1 до 3, а также переход от тензорных обозначений к фохтовскому по второму и третьему индексу, приводит к следующему выражению
|
|
(e m2 |
e m m e m m e m2 )2 |
|
||||||||||||
11 |
|
26 |
2 |
36 |
3 |
2 |
25 |
2 |
3 |
35 |
3 |
(24) |
||||
|
22 |
m2 |
32 |
m m |
23 |
m m |
m2 |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
2 |
|
2 |
3 |
|
33 |
3 |
|

|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
Cложив |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
Г11 и |
11, получим компоненту П11. Остальные компоненты тензора П |
|||||||||||||
находятся аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.2.4. Определение фазовых скоростей упругих волн начинается с записи |
||||||||||||||
уравнения Кристоффеля в координатной форме: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
П 2 p П p П p 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
11 |
П |
|
1 |
12 |
2 |
13 |
3 |
|
|||
|
|
П |
p |
22 |
2 |
p |
П |
23 |
p 0 . |
(25) |
||||
|
|
|
21 1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|||
|
|
П p П p П |
33 |
2 p 0 |
|
|||||||||
|
|
|
31 1 |
32 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.5. Получим характеристическое уравнение для нахождения фазовых скоростей. Для этого приравниваем к нулю определитель системы уравнений (25):
П11 2 |
П12 |
П13 |
|
|
|
|
|||
П21 |
П22 2 |
П23 |
0 . |
(26) |
П31 |
П32 |
П33 2 |
|
|
В общем случае имеем уравнение третьей степени относительно 2 , или – шестой относительно . Но в данном случае оно распадается на линейную и квад-
ратичную составляющие, поэтому данное уравнение можно решать с помощью теоремы Виета. В итоге получим три решения, каждое из которых определяет величину фзовой скорости упругой волны в кристалле, образовавшейся в результате расщепления вошедшей в кристалл одной плоской упругой волны.
3.2.6. Для определения компонент вектора упругого смещения
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||||||
p |
|
|
p2 |
p3 |
|
, где 1, 2, 3 , каждой акустической волны (собственного вектора, |
|
p1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующему данному собственному значению 2 ) в уравнение Кристоф-
феля подставить выбранное значение фазовой скорости значения - одно из
трех собсвенных значений, в систему (25)
24
|
П 2 |
p П p П p |
0 |
|
|||||||||
|
|
11 |
|
|
1 |
12 |
2 |
13 |
3 |
|
|
||
П |
|
p П |
|
2 p П |
|
p 0 , |
(27) |
||||||
|
|
21 |
1 |
|
|
22 |
p П |
2 |
|
23 |
3 |
|
|
П |
|
|
|
|
|
||||||||
31 |
p П |
32 |
33 |
2 p 0 |
|
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дополнив его условием нормировки вектора смещения:
p1 2 p2 2 p3 2 1.
При вычислении следует помнить, что в системе (27) необходимо использовать только два уравнения.
4. ТРЕБОВАНИЯ К СОДЕРЖАНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА
4.1. Отчет по лабораторной работе в обязательном порядке должен содержать
следующие разделы:
-цель лабораторной работы;
-изложение теоретической части работы;
-описание расчетной части лабораторной работы;
-конкретные данные на выполнение лабораторной работы (полученные ана-
литические соотношения, предварительные выводы и т.д.);
-полученные расчетные результаты в виде графиков зависимостей фазовых скоростей волн и их векторов поляризаций,
-объяснение полученных результатов на основе теоретических положений,
симметрии кристалла.
4.2. Отчет должен быть набран в редакторе Word и представлен в скрепленном виде. Схемы и графики выполнены в графическом редакторе и вставлены в текст отчета. Рекомендуемые параметры для набора текста: шрифт Arial – 12,
поля со всех сторон по 2 см, одиночный интервал между строк.
4.3. В случае выполнения работы несколькими студентами в конце отчета должно быть указано конкретное участие каждого в выполнении работы.
25 4.4. В соответствии с рейтинговой системой качество выполнения лабораторной
работы и оформления отчета оценивается в баллах, которые суммируются с баллами по контрольным работам.
5.ЛИТЕРАТУРА
1.Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М: Наука, 1979. - - 640 с.
2.Най Дж. Физические свойства кристаллов. - М.: Мир, - 1967. - 388с.
3.Давыдов В.Н. Материалы электронной техники и методы их анализа. Томск,
ТУСУР, 2013. - 132 с.
4.Задорин А.С., Шандаров С.М., Шарангович С.Н. Акустические и акустоопти-
чес-
кие свойства монокристаллов. - Томск: Изд-во ТГУ, 1987.- 152 с.

26
Приложение
Материальные константы кристаллов LiNbO3
1. Упругие постоянные
|
|
|
|
|
|
C11 |
C12 |
C13 |
C14 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C21 |
C22 |
C23 |
C24 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
C31 |
C32 |
C33 |
0 |
0 |
0 |
1011 Н/м2. |
|
4700 |
кг |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
mn |
|
|
|
|
C41 |
C42 |
0 |
C44 |
0 |
0 |
|
|
|
м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
C55 |
C56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
C56 |
C66 |
|
|
|
|
где имеют место равенства:
С21 С12 ; |
С31 С13 ; |
С55 С44 ; |
С24 С14 ; |
С66 (С11 С12 ) / 2 ; |
С22 С11; |
С32 С13 ; С56 С14 ; С42 С14 ; С23 С13 ; С41 С14 ; С65 С14 , |
|
||||
причём: |
|
|
|
|
|
С11 2.03 ; С13 0.75 ; |
С14 0.09 ; С33 |
2.45 ; С12 0.53 ;С44 0.6 ;С66 0.75 . |
2. Пьезоэлектрические модули
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
e15 |
e16 |
|
|
e |
|
|
e |
e |
0 |
e |
0 |
0 |
, Кл/м2 |
|
|
|||||||||
|
m |
|
|
21 |
22 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
e31 |
e32 |
e33 |
0 |
0 |
0 |
|
где имеют место следующие равенства:
e16 e22 ; |
e32 e31; |
e31 0.2 ; e21 e22 ; |
e15 3.669 ; e33 |
1.301 |
e24 e15 ; |
e22 2.502 . |
|
|
3. Диэлектрические постоянные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
11 22; |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
11 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
mn |
|
0 |
2 |
0 |
10 |
|
, Ф/м. |
11 |
3.894; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
2.567. |
||
|
|
|
|
|
33 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|