32
2.6 Лабораторная работа «Вычисление определённых интегралов»
Цель работы
Освоить следующие способы вычисления определённых интегралов:
1)Символьные вычисления
2)Вычисление интегралов методом их замены интегральной суммой
3)Точные и приближённые вычисления несобственных интегралов
Теоретические основы
Рекомендуется изучить разделы «Определённый интеграл. Определение, свойства, существование», «Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница», «Приближённое вычисление определённого интеграла», «Несобственные интегралы» в пособии Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения: Учебное пособие / Ельцов А. А., Ельцова Т. А. — 2003. 235 с.
Порядок выполнения работы
Порядок выполнения работы рассмотрим на примерах.
Задание 1. Найти определённые интегралы:
2 |
x +1 |
|
x − a |
2 |
sin x |
|||
1) |
|
dx ; |
2) |
|
dx ; |
3) |
|
dx |
x3 + 2x + 3 |
x2 +1 |
x2 + x +1 |
||||||
−1 |
|
|
a |
|
|
−1 |
|
|
•Для первого и второго интегралов найти точные символьные выражения, используя знак →.
•Третий («неберущийся») интеграл заменить интегральной суммой и вычислить приближённое значение. Найти абсолютную погрешность, допускаемую при этом. Определить число отрезков разбиения для достижения абсолютной точности вычисления 10-3.
Задание 2. Найти несобственные интегралы:
+ cos x |
|
+ |
x |
||||
1) |
|
|
dx ; |
2) |
|
dx |
|
|
|
|
ex +1 |
||||
x |
|||||||
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
•Первый интеграл найти точно, используя знак →.
•Второй интеграл найти с точностью до 10-5, заменяя данный несобственный интеграл собственным, подбирая большое число вместо +∞.
33
Решение.
1. Используя знак
|
2 |
|
|
x + 1 |
|
||
|
|
|
|
dx → |
|||
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
||||
|
+ 2 x + 3 |
|
|||||
|
|
|
x |
|
|||
− 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
(x − a) |
|
|
|
|||
|
|
dx simp lify |
|||||
|
|
||||||
|
2 |
+ 1 |
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|||
→ вычисляем первый и второй интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
atan |
3 11 |
|
|
||
4 |
11 |
|
|||||
11 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
= 0.887 |
|||
|
11 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
→ |
ln ( 2 |
+ 1) |
− |
ln (a2 |
+ 1) |
+ a atan(a) − a atan( ) |
2 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
2sin x
•Найдём интеграл −1 x2 + x +1dx . Непосредственное интегрирование с точностью
10-5 даёт:
TOL = 10− 5
|
2 |
|
sin (x) |
|
|
||
I = |
|
dx |
I = −0.11895 |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
x |
+ x + 1 |
|
|
|||
|
− 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
•Заменим интеграл частичной суммой и вычислим приближённое значение.
Вводим нижние и верхние пределы:
a = −1 |
b = 2 |
Число разбиений отрезка интегрирования выберем равным:
n = 10 ,
что соответствует длине промежутка:
x |
= |
b − a |
x = 0.3 |
||
n |
|
||||
|
|
|
|||
34
Вычисляем аргумент и функцию в середине каждого отрезка разбиения:
i = 1 n
x
xi = a + i x − 2
f i = |
sin (xi) |
|
|
||
(xi)2 + xi + 1 |
||
|
Получаем приближённое значение интеграла:
|
n |
I10 = |
x f i |
|
i = 1 |
I10 = −0.11958
Допускаемая при этом абсолютная погрешность:
|
|
|
= 6.297 10− 4 |
|
= |
I |
− I |
|
|
|
0 |
10 |
|
|
•Будем теперь менять число отрезков разбиения (а значит, и ширину отрезков) и каждый раз вычислять частичную сумму:
a = |
−1 |
b = 2 |
n = |
20 |
|
j = |
1 n |
|
i = |
1 n |
|
x j = |
b − a |
|
||
j |
|
|
||
|
|
|||
xi j = |
a + i x j − |
x j |
||
|
||||
2 |
||||
|
|
|
||
f i j = |
sin (xi j ) |
|
|
||
(xi j )2 + xi j + 1 |
||
|
j
Ij = x j f i j i = 1
35
j = I0 − Ij
Выведем на экран значения частичных сумм и абсолютных погрешностей:
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
-0.11895 |
|
0 |
0 |
|
|
1 |
0.82187 |
|
1 |
0.94082 |
|
|
2 |
-0.08337 |
|
2 |
0.03558 |
|
|
3 |
-0.15528 |
|
3 |
0.03633 |
|
|
4 |
-0.13095 |
|
4 |
0.012 |
|
|
5 |
-0.12274 |
|
5 |
3.7898·10-3 |
|
I = |
6 |
-0.12099 |
= |
6 |
2.03598·10-3 |
|
|
7 |
-0.12037 |
|
7 |
1.42162·10-3 |
|
|
8 |
-0.12 |
|
8 |
1.04802·10-3 |
|
|
9 |
-0.11975 |
|
9 |
7.99157·10-4 |
|
|
10 |
-0.11958 |
|
10 |
6.29711·10-4 |
|
|
11 |
-0.11946 |
|
11 |
5.09842·10-4 |
|
|
12 |
-0.11937 |
|
12 |
4.21758·10-4 |
|
|
13 |
... |
|
13 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для достижения точности 10-3 достаточно n = 9 отрезков разбиения.
2. Используя знак → вычисляем первый интеграл:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (x) |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
dx → |
|
= 1.25331 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
x |
|
|
|
• |
С точностью 10-5 вычислим второй интеграл |
dx , заменяя бесконеч- |
||||||||
|
|
ex +1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ный предел конечным.
Непосредственное вычисление такого интеграла не даёт результата:
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dx = |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
e |
+ 1 |
|
|
||
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
36 |
|
Сначала решим уравнение |
b |
|
= 0.00001. |
|||
eb +1 |
||||||
|
|
|
|
|||
Для определения начального приближения к корню построим график подынтергаль- |
||||||
ной функции f ( x) = |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ex +1 |
|
|
|
||
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
f (x) |
0.2 |
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
00 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
|
|
|
x |
|
|
Видим, что нужный корень лежит в области x > 4.
Вводим функцию, начальное приближение и получаем необходимое значение b:
x
f1(x) = ex + 1 − 0.00001
x = 4
b = root(f1(x) x)
b = 14.164
Подставляем значение b = 15 и вычисляем интеграл:
15 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
dx = 0.38486 |
||
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
||
|
e |
+ 1 |
|
||
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Оценим оставшуюся часть интеграла. Имеет место неравенство:
+ |
x |
+ |
|
|
dx x e− xdx |
||
ex +1 |
|||
b |
|
b |
37
|
|
Считаем интеграл: |
|
|
|
|
x e− x dx = 4.89439 10− 6 |
|
|
|
|
15 |
|
|
Таким образом, требуемая точность вычисления 10-5 достигнута.
|
|
|
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 1. Найти определённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1) (x |
3 |
+ x) e |
−2 x |
dx ; |
2) sin |
2 |
x − |
3) |
x |
4 |
+ x |
2 |
+1 dx . |
|||
|
|
|
|
dx ; |
|
|
||||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
•Для первого и второго интегралов найти точные символьные выражения, используя знак →.
•Третий («неберущийся») интеграл заменить интегральной суммой и вычислить приближённое значение. Найти абсолютную погрешность, допускаемую при этом. Определить число отрезков разбиения для достижения абсолютной точности вычисления 10-3.
Задание 2. Найти несобственные интегралы:
0 |
x3 + x2 + 2 |
dx ; |
+ |
|
|
1 |
dx . |
|
1) |
|
|
2) |
|
|
|
||
3 |
x2 |
x |
3 |
+ sin x |
||||
− |
|
|
1 |
|
|
|||
•Первый интеграл найти точно, используя знак →.
•Второй интеграл найти с точностью до 10-5, заменяя данный несобственный интеграл собственным, подбирая большое число вместо +∞.
38
Контрольные вопросы
1.Что называется интегральной суммой?
2.Опишите процесс построения интегральной суммы для функции f(x) на отрезке
[a, b].
3.Перечислите свойства определённого интеграла.
4.Запишите и поясните формулу Ньютона-Лейбница.
5.Дайте определение несобственных интегралов первого рода, их сходимости и расходимости. Приведите примеры.
6.Дайте определение несобственных интегралов второго рода, их сходимости и расходимости. Приведите примеры.
7.Запишите и поясните формулу Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов первого и второго рода. Приведите примеры.