Методы оптимизации информационных систем

6 этап.

Если F(z

k

) F(xc ) , исключить интервал

[a , xc ) , приняв a

xc

, b

b .

k

k

k

k 1

k

k 1

k

Средней точкой нового интервала становится точка z

k

: xc

z

k

.

k 1

Перейти на этап 7.

Если

F(z

k

) F(xc ) ,

исключить

интервалы

[a , y ), (z

,b ] ,

приняв

k

k

k

k

k

a

y , b

z

k

. Средней точкой нового интервала останется точка xc

: xc

xc .

k 1

k k 1

k

k 1

k

7 этап. Вычислить

L2(k 1)

bk 1

ak 1

и проверить условие окончания:

Если

L

,

то процесс

поиска

завершается

и

x* L

[a

,b

]

. В

2(k 1)

2(k 1)

k 1

k 1

качестве приближенного решения принимают середину последнего интервала x* xc

.

k 1

Если

L2(k 1)

, то принять k k 1 и перейти к этапу 4.

Для

оценки

сходимости

метода используется

характеристика

относительного

уменьшения начального интервала неопределенности

R(N )

1

,

где

N

количество

2N / 2

вычислений функции.

Метод дихотомии. Метод относится к последовательным стратегиям.

Задается

неопределенности делится пополам и в обе стороны от середины откладывается по

, где

2

малое положительное число. Поиск заканчивается,

если длина текущего интервала

неопределенности меньше заданной величины.

Алгоритм поиска минимума функции сводится к выполнению следующих этапов.

1 этап. Задается начальный интервал неопределенности

L0 [a0 ,b0 ] и

0 -

требуемая точность, 0 - малое положительное число.

2 этап. Задать k 0 .

3 этап. Вычислить

y

ak bk

, F( y ), z

ak bk

, F(z

) .

k

k

k

2

k

2

4 этап. Если F( yk ) F(zk ) , принять ak 1

ak , bk 1

zk

и перейти к этапу 5.

Если F( yk ) F(zk ) , принять ak 1 yk , bk 1 bk .

5 этап. Вычислить

L2(k 1)

bk 1

ak 1

и проверить условие окончания:

Если

L

,

то

процесс

поиска

завершается и

x* L

[a

,b

] . В

2(k 1)

2(k 1)

k 1

k 1

качестве приближенного

решения

принимают середину

последнего

интервала

x*

ak 1 bk 1

.

2

, то принять k k 1 и перейти к этапу 3.

Если

L2(k 1)

Для

оценки

сходимости метода используется

характеристика

относительного

уменьшения начального интервала неопределенности

R(N )

1

, где

N

количество

2N / 2

вычислений функции.

Метод золотого сечения. В методе золотого сечения в качестве двух внутренних

точек выбираются точки золотого сечения.

Точка производит золотое сечение, если отношение длины всего отрезка к большей

части равно отношению большей части к меньшей части. На отрезке [a0 ,b0 ]

имеются две

симметричные относительно его концов точки y0 и z0 :

21

безусловной оптимизации.

Метод штрафов. Алгоритм метода штрафов состоит из следующих этапов.

1 этап. Задать начальную точку

x 0 вне области допустимых решений, начальное

значение

параметра

штрафа r0 0 ,

число

C 1

для

увеличения параметра

штрафа,

погрешность расчета 0 . Принять k 0 .

2 этап. Составить вспомогательную функцию

r

k

m

p

F (x, rk ) f (x )

{ [g j (x)]2

[g j (x)]2} ,

2

j 1

j m 1

r

k

m

p

где функция штрафа P(x, rk )

{ [g j (x )]2

[g j

(x )]2} - квадрат срезки.

2

j 1

j m 1

g

(x ) - срезка функции:

j

g

j

(x ),

g

j

(x ) 0,

g j

(x ) max{0, g j (x )}

0,

g j (x ) 0.

3 этап. Найти точку x* (rk ) безусловного минимума функции

F(x, rk )

по x с

помощью какого либо метода (нулевого, первого или второго порядка):

F(x* (rk ), rk )

F(x, rk )

. При этом задать все требуемые выбранным методом

min

x Rn

параметры.

В

качестве

начальной

точки

взять

x k . Вычислить функцию

штрафа

r

k

m

p

P(x* (rk ), rk )

{ [g j (x* )]2 [g j (x* )]2} .

2

j 1

j m 1

4 этап. Проверить выполнение условия окончания:

А)

если

P(x* (rk ), rk ) ,

процесс

поиска

закончить:

x* x* (rk ),

f (x* ) f (x* (rk )) ;

Б)

если P(x* (rk ), rk ) ,

то принять

rk 1 Crk ,

x k 1

x* (rk ), k k 1 и перейти к

этапу 2.

24

следующих этапов.

1

этап. Задать

начальную

точку x 0 внутри

области U , начальное значение

параметра штрафа

r0 0 , число

C 1

для уменьшения величины параметра штрафа,

погрешность расчета 0 . Принять k 0 .

2 этап. Составить вспомогательную функцию

m

1

m

F (x, rk ) f (x ) rk

или F (x, rk ) f (x ) rk ln( g j (x )) .

g j (x )

j 1

j 1

3 этап. Найти точку x* (rk )

безусловного минимума функции

F(x, rk )

по x с

помощью какого либо метода (нулевого, первого или второго порядка):

min

F(x* (rk ), rk )

F(x, rk )

с

проверкой

принадлежности

текущей

точки

x Rn

внутренности множества U . При этом задать все требуемые выбранным методом

параметры. В качестве начальной точки взять x k .

m

1

Вычислить функцию штрафа

P(x* (rk ), rk ) rk

(обратная функция

g j (x

*

(r

k

))

j 1

m

штрафа)

или P(x* (rk ), rk ) rk ln[ g j (x* (rk ))] (логарифмическая функция штрафа).

j 1

4 этап. Проверить выполнение условия окончания:

А)

если

P(x* (rk ), rk )

,

то

процесс

поиска

закончить,

приняв

x* x* (rk ),

f (x* ) f (x* (rk )) ;

, то принять

rk 1

rk

,

x k 1 x* (rk ), k k 1 и перейти к

Б)

если

P(x* (rk ), rk )

этапу 2.

C

№

Целевая функция

Метод

варианта

1

f x sin x ,

x / 2, / 2 .

Метод перебора

2

f x cos x ,

x 0, .

Метод дихотомии

3

f x x 2

2

, x 2,20 .

Метод золотого сечения

4

f x x 15

2

5 , x 2,200 .

Метод Фибоначчи

5

f x x 5

4

, x 10,15 .

Метод перебора

6

f x ex , x 0,100 .

Метод дихотомии

25

7

f x x2

2x 4 , x 10,20 .

Метод золотого сечения

8

f x x3

x ,

x 0,1 .

Метод Фибоначчи

9

f x x5

x2 ,

x 0,1 .

Метод перебора

10

f x x / ex ,

x 0,3 .

Метод дихотомии

11

f x x4

x ,

x 0,1 .

Метод золотого сечения

12

f x x4

/ ln x , x 1.1, 1.5 .

Метод Фибоначчи

13

f x x 5

4

, x 10,15 .

Метод перебора

14

f x cos x ,

x 0, .

Метод дихотомии

15

f x sin x ,

x / 2, / 2 .

Метод золотого сечения

16

f x x4

x ,

x 0,1 .

Метод Фибоначчи

17

f x x5

x2 ,

x 0,1 .

Метод перебора

x a

2

y c

2

x a

2

y c

2

1

2

2

f (x, y) A1 exp

1

A2 exp

b1

d1

b2

d2

f (x, y)

A1

A2

x a

2

y c

2

x a

2

y c

2

1

2

2

1

1

1

b1

d1

b2

d2

№

A1

A2

a1

a2

b1

b2

c1

c2

d1

d2

Метод поиска

варианта

1

2

3

1

2

2

3

1

3

1

2

метод

наискорейшего