Сборник задач для студенческих олимпиад по математике

ЗАДАЧА 15А. Сколько корней имеет уравнение x x x

1

0 на

x3

полуоси (0, ) ?

Корень x 1

очевиден. Функция

1

является

монотонно

x3

точку этой последовательности: (x0 , y0 ) lim (xn , yn ) .

n

РЕШЕНИЕ.

Необходимо сначала найти экстремум для произвольного n.

Прологарифмируем исходное выражение: xnxn (eln x )nxn

=

exp( nxn ln x) .

Тогда f (x) = exp( nx

n

ln x) (nx

n

ln x) =

1

exp( nxn ln x) n nxn 1 ln x xn

=

x

exp( nxn ln x) n nxn 1 ln x xn 1 =

1

1

1

x e

e

.

. Итак, для n получили

x

n

ln x

,

n

n

n

При этом ордината

1

1

n

yn exp e

=

1

1

ne

n

1

exp

= e

e

.

yn exp

n

,

e

1

1

(xn

n

, e

e

, yn ) e

.

1

0 .

есть константа. lim

n

n

1e

ОТВЕТ. Точка 1, e

.

РЕШЕНИЕ.

ex cos2 x

=

(ex 1) (1 cos2 x)

=

1 cos3 x

1 cos x 1 cos x cos2 x

(e x 1) sin 2 x

=

=

x

2 sin

2

1 cos x cos2 x

2

(e x 1) sin 2 x

.

x

2

sin

1 cos x cos2 x

2

При переходе через точку x 0 sin

x

меняет знак с «-» на «+»,

2

выражение

(e x 1) sin 2 x

в окрестности точки x 0

2 1 cos x cos2 x

имеет положительные значения. Таким образом,

(e x 1) sin 2 x

=

x

2

sin

1 cos x cos2 x

2

(e x

1) sin 2 x

при x 0 0

x

sin

1 cos x cos2 x

2

2

(e x 1) sin 2 x

=

x

2

sin

1 cos x cos2

x

2

(e x 1) sin 2 x

при x 0 0

x

2 sin

1 cos x cos2

x

2

lim

e x

cos2

x

= lim

e x 1 sin 2 x

=

x

x 0 1

cos3

x

x 0

2

sin

1 cos x cos

2

x

2

1

lim

x x 2

=

2

lim

x x2

=

2

lim

1 x =

x

x

6

x 0

sin

6

x0

6

x0

2

2

Ответ. 2

2

=

8

.

3

3

3

1

РЕШЕНИЕ.

Область

определения

функции

f1

(x) ln ln

x

совпадает с множеством

точек, где функция

f

(x) ln

1

ln x

0

x

положительна,

то есть

D( f

) 0,1 .

Кроме

того,

f

(x) ln

1

0

1

x

1

области определения

предыдущей. Так как

для

f1 (x) ln ln

x

область определения – интервал (0,1) , то и все

f n (x) не определены

вне (0,1) . Так как

функции монотонно

убывающие, то

для

область определения функции

f n (x) .

1

1

1

1

f1 (x) ln ln

0 ln

1

e x

x

x

e

x

1

D( f 2 )

0,

.

e

1

1

1

f2

(x) ln f1(x) ln ln ln

0 ln ln

1

ln

e

x

x

x

1

ee

x

1

x

ee

1

D( f3 ) 0,

.

e

e

1

1

f3

(x) ln( f

ln

1

2 (x)) ln ln ln

0 ln ln ln

x

x

1

ln ln

e

x

ln

1

exp(e)

1

exp(exp( e)) x

1

x

x

exp(exp( e))

1

1

D( f4 ) 0,

0,

.

ee

e

exp(exp(e))

1

fn ( x) ln( fn 1 ( x)) ln

ln

...ln(

) 0

x

n 1

1

1

exp exp ...exp(e) x exp exp ...exp(e)

x

n 1

n 1

1

D( fn )

0,

exp exp ... exp( e)

.

n 1

a

1

exp exp ...exp(e) .

n

n 1

Следовательно,

1

1

1

1

an 1

exp exp ...exp(e)

.

e

e

e

n 1

e e

e

n 1

Для

этого

используем

неравенство

ex x 1 ,

справедливое

для

любого

x 0 (графики

y x 1

и

y e x касаются только в точке

x 0),

а также то, что y e x возрастающая функция. Получим:

e 2

ee e2

1

1

.

ee

e2

e2 3 и ee e2

eee ee 2

e3

1

1

ee e

e3

en 1

n и

exp exp ...exp(e) en 1 exp exp ...exp(e) en

n 2

n 1

1

1

exp exp ...exp(e)

en

n 1

Итак,

ряд

an

мажорируется

геометрической

прогрессией

n 1

1

1

1

1

1

со

знаменателем

q

1

1. Так

как

en

e

e2

e3

e

прогрессия сходится, то ряд an

тоже сходится.

поверхность сферы 4 R 2 . Так как

рассматривается

северное

полушарие, то широты 1 и 2 > 0.

Уравнение верхней полусферы z f (x, y) R2

x2 y2 .

Формула площади поверхности для

явно

заданной

функции:

S 1 ( f x )2 ( f y )2 dxdy .

D

определяемое

максимальным

радиусом

R cos 1 и минимальным

R cos 2 , так

как изначально

взяли 1

< 2 . Вычислим частные

производные:

f x

2x

и

f y

2 y

.

2 R2 x2 y 2

2 R2 x2 y 2

S

1

x2

y 2

dxdy =

R

2

x

2

y

2

R

2

x

2

y

2

D

R2

dxdy .

Перейдѐм к полярным координатам.

R

2

x

2

y

2

D

2

R cos 1

R 2

R2

dxdy = d

d

=

R

2

x

2

y