Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Сборник задач для студенческих олимпиад по математике

..pdf
Скачиваний:
92
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
926.94 Кб
Скачать

ЗАДАЧА 11. (Геометрия + математический анализ (экстремум)) Найти такое отношение высоты к радиусу основания конуса, чтобы при фиксированном объѐме площадь боковой поверхности конуса была минимальна.

Справка. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле Rl , где l - длина боковой образующей.

РЕШЕНИЕ. Объѐм конуса V 13 Sh = 13 R2h , боковая образующая

вычисляется по теореме Пифагора: l R2 h2 . Найти экстремум величины Rl при фиксированном объѐме V. Сначала выразим

 

3V

 

 

2

3V

2

высоту через R: h

 

. Тогда l

R

 

 

 

.

R2

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3V

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

9V 2

 

 

2 R6 9V 2

 

Rl = R R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= R R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= R

2 R4

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 R4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

2 R6 9V 2

 

 

 

2 R6 9V 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдѐм условие, при котором производная по R равна 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6R5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 2 R6 9V 2

 

 

 

 

 

 

R

 

9V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

6

2

 

 

2

 

 

 

2

R

6

9V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3R5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 2 R6 9V 2 , 3R6 2 2 R6 9V 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 R6

9V 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2R6 2 9V 2 , R6

 

9 V 2

, R 6

9

3

 

 

V

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Можно также убедиться, что получили минимум, а не максимум. Для этого установим тот факт, что вторая производная по параметру R положительна.

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 R6 9V 2

1

 

 

 

3R6 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 R6 9V 2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

R

2

 

 

2

R

6

9V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

18R5 2

2 R6 9V 2

 

 

=

 

2 R6 9V 2 3R6 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

2

 

 

2

R

6

 

9V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

6 2 R5

 

 

 

 

 

, что в итоге сводится к выражению

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 R6 9V 2

 

1 18R

 

 

 

 

 

R

 

 

9V

 

3

 

R

 

 

 

3R

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

R

 

 

 

 

R

 

9V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

5

 

 

6

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

5

 

 

 

 

 

2

 

 

6

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

R

6

 

9V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

R

6

 

9V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

множим на положительную величину R2

 

 

 

2 R6 9V 2

, теперь

 

достаточно проверить знак выражения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18R5 2

2 R6 9V 2

 

3 2 R5 3R6 2 3 2 R5 2 R6 9V 2

 

 

 

 

 

 

После приведения подобных получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2 R5 (2R6 2 45V 2 ) >0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим найденное выражение R 6

 

 

9

3

 

 

V

 

 

 

в h :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

3V

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Найдѐм соотношение

 

 

h

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

V

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3V

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

= 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 V

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТВЕТ:

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

ЗАДАЧА 12. (Геометрия + математический анализ (экстремум)) Найти, какую максимальную долю объѐма может занимать прямой круговой конус, вписанный в шар радиуса R .

РЕШЕНИЕ.

 

 

 

Объѐм шара равен, как известно,

4

R3

. Для вписанного в шар

3

 

 

 

конуса, высота h и радиус r взаимосвязаны между собой. Расстояние от центра основания конуса до центра шара есть h R (см.чертѐж -

вид сбоку, на чертеже это ОС). Отрезок ВС на чертеже равен r -

радиусу основания конуса. Далее, по теореме Пифагора (ОС)2+(ВС)2 =

(ОВ)2.

То есть,

(h R)2 r 2

R 2 , следовательно,

 

(h R)2 r 2

R 2 ,

r 2 R 2 (h R)2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2 R 2

(h2 R 2 2Rh) ,

r 2 2Rh h2 . По известным

формулам, объѐм конуса равен V

1

Sh , а

площадь основания

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S r 2 , тогда V

1

 

r 2 h ,

V

1

 

(2Rh h2 )h = (2Rh2 h3 ) .

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

3

 

 

Найдѐм экстремум по h .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

) 0 , 4Rh 3h

2

 

4

 

 

 

V (h)

3 (4Rh 3h

 

 

 

, h

 

 

R .

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Легко убедиться, что это именно максимум, так как вторая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4R 6h) , при h

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 R

производная отрицательна: V

(h)

3

23

 

 

 

4

 

 

 

 

4R 6

 

R = 4

 

R 0 .

получается V (h)

 

 

 

 

3

 

3

 

3

 

При этом значении объѐм конуса равен V

1

r 2 h =

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

4

 

1

 

4

 

16

 

 

2

 

4

 

 

V

 

(2Rh h

 

)

 

R =

 

2R

 

R

 

 

R

 

 

 

 

R

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

3

 

3

 

9

 

 

 

 

 

3

 

 

4

R

3

 

8

 

16

4

R

3

8

 

32

R

3

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

3

 

9

9

 

 

9

 

81

 

 

 

Нужно найти отношение объѐма конуса к объѐму шара, поэтому

 

 

поделим друг на друга объѐмы этих тел:

32

R3

:

4

R3

=

32

 

 

3

=

81

3

81

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТВЕТ. Максимальная доля объѐма, занимаемая вписанным конусом в шаре, 278 .

24

ЗАДАЧА 13. (Геометрия + математический анализ (экстремум))

На плоском листе нарисован график функции sin 2 t , затем лист свѐрнут в цилиндр радиуса 1 вокруг оси Z так, чтобы совпали точки, отличающиеся на 2 . Найти наибольший угол между касательной к получившейся пространственной кривой и плоскостью Oxy.

РЕШЕНИЕ. Пусть исходный график лежит в плоскости параметров t,u , график u sin2 t . Преобразование координат при таком переходе от плоскости параметров ( t,u ) к пространственным координатам ( x, y, z ) задаѐтся так: x cost , y sin t , z u .

Таким образом, указанная кривая переходит в пространственную кривую, заданную параметрически:

x cost ,

y sin t ,

z sin2 t .

Касательная к пространственной

кривой выражается по формуле:

 

 

 

(x , y , z ) ( sin t,cost,2sin t cost) .

Тангенс угла наклона касательной по отношению к плоскости Oxy

можем

 

 

 

найти

по

формуле

 

 

 

 

 

 

z

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x )

 

( y )

 

 

 

2sin t cost

 

 

 

 

= 2sin t cost = sin 2t .

Экстремум

достигается

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 t cos2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin 2t) 2cos2t

0 2t 2 k , t 4

2 k . Это соответствует 4-

м

 

 

касательным

к

пространственной

кривой,

а

именно

 

в точках

 

 

1

 

,

1

 

 

1

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

,

tg угла

наклона

 

 

 

 

 

 

 

= sin 2t =

1 в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x )

( y )

 

 

 

 

 

указанных точках, поэтому искомый угол 45 градусов. ОТВЕТ: 45 градусов.

25

ЗАДАЧА 14. (Геометрия + математический анализ (экстремум))

Поверхность

z ax2 by 2

пересекается с прямым круговым

цилиндром

x2 y 2 1 .

Найти максимальный угол между

касательной к получившейся пространственной кривой и плоскостью

0xy.

РЕШЕНИЕ.

 

 

Для справки, при

ab 0 поверхность вида

z ax2 by 2 есть

гиперболический

параболоид, при ab 0

это эллиптический

параболоид. Для того, чтобы найти уравнения пространственной

кривой, введѐм параметр t . Так

как

движение в проекции

на

плоскость 0xy происходит по окружности, то очевидно,

 

x cost , y sin t . Тогда z a cos2 t bsin 2 t . 0 t 2 .

 

Вычислим направляющий вектор касательной:

 

x sin t , y cost .

 

 

 

z 2a cost( sin t) 2bsin t cost

=

2(a b)sin t cost

=

(a b) sin 2t .

Вообще, для произвольного вектора P ( A, B, C) тангенс угла

C

наклона , тогда угол наклона к горизонтальной плоскости

A2 B 2

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равен

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

В

этой задаче

направляющий

вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2

 

B

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin t, cost, (a b) sin 2t

,

поэтому

угол наклона

равен

 

(a b) sin 2t

 

= arctg (a b) sin 2t .

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

t

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

t

 

 

 

 

 

 

В задаче требуется только абсолютное значение угла, поэтому знаком

«-» можно пренебречь. Итак, осталось найти экстремум величины

arctg (a b) sin 2t .

Но

arctg

функция монотонная, поэтому

достаточно найти

и приравнять

к

0 производную только

от

(a b) sin 2t . (Впрочем,

даже если

вычислить

производную

от

arctg (a b) sin 2t ,

мы

всѐ равно получим, что

равенство нулю

должно быть именно в числителе, и результат будет точно таким же).

26

 

= 2(a b) cos2t 0 , что возможно лишь в двух

Итак, (a b)sin 2t

случаях:

 

 

1) b a , этот случай соответствует поверхности

z a(x 2 y 2 ) -

эллиптический параболоид. Для него любое горизонтальное сечение есть окружность, и угол наклона тождественно равен 0, и его максимум тоже 0.

2) cos2t 0 , при этом

2t

 

k ,

t

 

 

k , что фактически

 

 

2

 

 

 

4

 

2

 

даѐт всего два разных значения:

t

 

и

t

3

. При этом угол

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

между горизонтальной плоскостью и касательной к рассматриваемой

кривой

составляет

 

arctg (a b) sin 2t ,

т.е. получаем значения

 

 

 

 

 

 

3

arctg

(a b) sin

 

 

и

arctg (a b) sin

 

, по модулю они

 

 

 

 

2

 

 

 

2

одинаковы, и равны величине arctg a b .

 

 

Ответ: Максимальный угол составляет arctg a b .

27

ЗАДАЧА 15.

(Геометрия + математический анализ (экстремум))

Уравнения

движения

точки

заданы

параметрически:

x(t) t 2 , y(t) 1 t3 .

Касательная к

еѐ траектории отсекает

треугольник в первой четверти. Найти наименьшую возможную площадь такого треугольника.

Решение. Уравнение касательной y y0 f (x0 ) (x x0 ) , а для параметрической кривой производная вычисляется так:

f (x0 ) y (t0 ) . Итак, найдѐм уравнение касательной для x (t0 )

произвольного параметра t.

y (1 t3 )

3t 2

(x t 2 ) ,

y

3

tx

3

t3

t3 1 , подставим x=0

2t

2

2

 

 

 

 

 

 

для поиска точки пересечения касательной с осью Oy, и y=0 для поиска пересечения с осью Ox.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим, что точки пересечения с координатными осями:

0,

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

t

 

 

 

,0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

t

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна S

 

 

1

t

 

 

2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3t

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

1

 

5

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

t

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

. Осталось найти экстремум по t.

6

2

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

6

2

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5t 4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение S (t)

 

 

 

 

 

 

 

4t

 

 

 

 

 

 

0 сводится к уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

2

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5t6 8t3 4 0 . Обозначим t3

u

и решим квадратичное уравнение

 

 

 

 

 

5u2 8u 4 0 , u 8 144

= 4 6 , имеет смысл только

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

положительное u так же как и t

(так как при их отрицательных

 

значениях треугольник находится не в первой четверти).

28

u t3

2

, t 3

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

t3

 

t 2

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4

 

 

2

 

 

5

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5

 

 

 

3 25 3 2

 

 

 

2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

=

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

25

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

5

 

 

25

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

5

 

ОТВЕТ. Наименьшая возможная площадь равна

 

 

3

 

 

 

2 3

 

 

.

 

 

 

 

 

5

 

 

 

25

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

ЗАДАЧА 16. (Математический анализ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказать монотонность функции x x x

на полуоси (0, ) .

 

 

РЕШЕНИЕ.

Функция

 

 

x x x

рассматривается на

полуоси

0, .

x x x

exx ln x

exp ex ln x ln x . Докажем,

что функция x ( x x ) монотонно

возрастает. Найдѐм производную:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f exp ex ln x ln x ex ln x ln x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln x

 

 

 

 

 

x ln x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp e

 

 

 

 

 

 

ln x e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln x e

 

 

 

ln x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp e

x ln x

ln x

 

x ln x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x x

 

 

e

 

ln x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp e

x ln x

ln x e

x ln x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x 1 ln x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp e

x ln x

ln x exp x ln x

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

x ln x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что exp e x ln x

ln x 0 ,

exp x ln x 0 . Осталось доказать,

что

 

1

 

 

ln 2 x ln x 0 ,

 

то

 

 

 

 

 

 

есть

ln x

1

ln 2

x

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

ln

1

 

1

 

ln 2 x (1). При

 

x 1 неравенство

(1) выполняется (0 1) .

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Также заметим, что для всех x (0, ) справедливо

 

1

ln 2 x 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

При x (1, ) : ln

1

0 , поэтому неравенство (1) выполняется.

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

 

 

x (0,1) :

 

 

 

значение

 

ln

 

1

 

 

 

положительно,

 

однако

можно

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

утверждать, что

 

 

ln

1

 

1

 

, так как ln t t

t 1. Тем более,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

добавить к дроби

 

1

 

заведомо положительную величину ln 2 x . Таким

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]