Практикум по теории вероятностей

²Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то есть

M[X + Y ] = M[X] + M[Y ].

²Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их

X и Y . Рассмотрим два события A(X < x) и B(Y < y). Случайные величины X и Y называются независимыми, если события A и B независимы, и зависимыми, если эти события зависимы. При этом закон распределения одной из них не зависит от того, какое из возможных значений приняла другая величина).

Дисперсия. Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

то есть дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата ее математического ожидания. p

Величина ¾(x) = D[X] называется средним квадратическим отклонением случайной величины.

Дисперсия обладает следующими свойствами:

²Дисперсия постоянной величины равна нулю, то есть

D[C] = 0, C = const.

²Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D[C ¢ X] = C2 ¢ D[X], где C = const.

²Дисперсия алгебраической суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий: D[X § Y ] = D[X] + D[Y ].

Моменты, асимметрия и эксцесс.

Кроме характеристик положения средних значений случайной величины, употребляются еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом k-го порядка mk случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины

mk = M[Xk]:

Для дискретной случайной величины:

Xn

mk = xki ¢ pi:

i=1

72

Для непрерывной случайной величины:

Z1

mk = xk ¢ ½(x) dx:

¡1

Очевидно, математическое ожидание случайной величины представляет собой первый начальный момент : M[X] = m1.

Центральным моментом k-го порядка ¹k случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени отклонения случайной величины от ее математического ожидания h i

¹k = M (X ¡ M[X])k :

Для дискретной случайной величины:

Xn

¹k = (xi ¡ M[X])k ¢ pi:

i=1

Для непрерывной случайной величины:

Z1

¹k = (x ¡ M[X])k ¢ ½(x) dx:

¡1

Очевидно, для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю, а рассмотренная ранее дисперсия является центральным моментом второго порядка

D[X] = ¹2:

Между начальными и центральными моментами различных порядков существует следующая связь:

¹1 = 0; ¹2 = m2 ¡ m21;

¹3 = m3 ¡ 3m1m2 + 2m31;

¹4 = m4 ¡ 4m1m3 + 6m21m2 ¡ 3m41:

73

Моменты более высоких порядков применяются редко. Третий центральный момент служит для характеристики

асимметрии (или “скошенности” распределения). Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю и асимметрия S = 0. Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов, например простейший из них третий. Асимметрия вычисляется по формуле

(10)

Четвертый центральный момент служит для характеристики так называемой “крутости”, то есть островершинности или плосковершинности распределения.

Число 3 вычитается из отношения ¾¹44 потому, что для весьма важного и широко распространенного в природе нормального закона распределения ¾¹44 = 3. Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые, более островершинные по сравнению с нормальной, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные отрицательным эксцессом.

10.1. Производится один выстрел по мишени; вероятность попадания равна p. Определите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа

где q = 1 ¡ p вероятность промаха. По формуле (6) находим математическое ожидание величины X:

M[X] = 0 ¢ q + 1 ¢ p = p:

74

Дисперсию числа попаданий определяем по формуле (9)

D[X] = (0 ¡ p)2 ¢ q + (1 ¡ p)2 ¢ p = pq;

откуда ¾[X] = ppq.

10.2. Дан закон распределения случайной величины X

квадратическое отклонение, асимметрию, эксцесс этой случайной величины.

Решение. Найдем математическое ожидание данной случайной величины

M[X] = 0 ¢ 0; 2 + 1 ¢ 0; 3 + 2 ¢ 0; 4 + 3 ¢ 0; 1 = 1; 4:

Дисперсию вычислим по формуле (9). Составим закон распределения квадрата случайной величины X

Асимметрию находим по формуле (10). Для ее определения сначала составляем закон распределения случайной величины

Теперь вычислим центральный момент третьего порядка

¹3 = MhX ¡ M[X]i3 = ¡2; 744 ¢ 0; 2 ¡ 0; 064 ¢ 0; 3+ +0; 216 ¢ 0; 4 + 4; 096 ¢ 0; 1 ¼ ¡0; 072:

И, наконец, зная, что ¾3 = (0;92)3, находим

¡0; 072

S = (0; 92)3 ' ¡0; 092:

75

Эксцесс вычислим по формуле (11). Для его определения

составим закон распределения случайной величины hX ¡ M[X]i4

hX ¡ M[X]i4 3,842 0,0256 0,1296 6,554

Зная ¾4 = (0;92)4 = 0; 7157, можно подсчитать

1; 48322

Ex = 0; 7157 ¡ 3 ¼ ¡0; 926:

10.3. Непрерывная случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью: ½(x) = A ¢ e¡jxj. Найдите коэффициент A. Определите математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, асимметрию, эксцесс величины X.

Решение. Для определения A воспользуемся свойством плотности распределения (4):

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение равны, соответственно:

10.4. Составьте закон распределения случайной величины Z = X + Y , если независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

ожидании и дисперсии суммы независимых случайных величин.

Решение. Значения величины Z равны возможным суммам xi + yj значений величин X и Y . Вероятности этих сумм определяются по теореме умножения независимых событий, а именно: P (xi) ¢ P (yj)

Заметим, что

X6

P (zk) = 1:

k=1

Применив теорему сложения для равных значений Z, получим

P (z = 3) = P [(0 + 3)или (2 + 1)] = 0; 04 + 0; 42 = 0; 46:

77

X

M[X] = xi ¢ pi = 0 ¢ 0; 1 + 1 ¢ 0; 2 + 2 ¢ 0; 7 = 1; 6:

Аналогично вычисляются M[Y ] = 1;8; M[Z] = 3;4. Так как

3;4 = 1;6 + 1;8, убеждаемся, что M[Z] = M[X + Y ] = M[X] + + M[Y ].

Для нахождения дисперсии случайной величины X

составим вспомогательную таблицу: X2 0 1 4

P(X2) 0,1 0,2 0,7

Далее определяем: M[X2] = 0 ¢ 0; 1 + 1 ¢ 0; 2 + 4 ¢ 0; 7 = 3.

D[X] = M[X2] ¡ M2[X] = 3 ¡ (1; 6)2 = 0; 44:

Аналогично вычисляются D[Y ] = 0;96; D[Z] = 1;40. Так как

1;40 = 0;44 + 0;96, убеждаемся, что D[Z] = D[X + Y ] = D[X] + + D[Y ].

Задачи для самостоятельного решения 10.5. Заработная плата рабочих цеха распределяется

Найдите математическое ожидание заработной платы рабочих.

10.6. Найдите закон распределения случайной дискретной величины X, которая может принимать только два значения: x1 с вероятностью p1 и x2 с вероятностью p2, причем x1 < x2, если M[X] = 1;9, D[X] = 0;09, p1 = 0;1.

10.7. Завод получает сырье от трех поставщиков (от каждого по отдельности по одной автомашине). Вероятность прибытия автомашины от первого поставщика равна 0;2, от второго 0;5, от третьего 0;1. Составьте закон распределения случайной величины числа прибывших

78

машин; вычислите математическое ожидание, асимметрию и эксцесс этой случайной величины.

10.8. Плотность распределения случайной величины X записывается так

Чему равно a? Вычислите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

10.9. Случайная величина X подчинена закону распределения, плотность которого задана графически.

Найдите плотность распределения ½(x), математическое ожидание, дисперсию, асимметрию, эксцесс, постройте графики функций F (x) и ½(x).

10.11. Проводятся испытания трех приборов. Вероятность, что приборы выдержат испытание, соответственно равна 0;9, 0;8, 0;7. Случайная величина X число приборов, выдержавших испытание. Найдите:

а) ряд распределения случайной величины X; б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание; г) дисперсию; д) P (1; 3 < X < 2; 4).

79

10.12. Дана функция случайной величины X

1)Составьте законы распределения случайных величин Y = 2X, Z = X +X и убедитесь, что это различные случайные величины, то есть что X + X 6= 2X;

2)Вычислите математические ожидания случайных величин Y и Z;

3)Найдите дисперсии случайных величин Y и Z. Можно ли для Z = X + X применить теорему о дисперсии суммы:

Запишите ряды распределения случайных величин Y = X2 и Z = X ¢ X. Найдите математические ожидания этих случайных величин.

10.15. Два стрелка стреляют по мишени. Случайные величины X и Y числа выбиваемых каждым из них очков

Составьте закон распределения суммарного числа очков, выбиваемых обоими стрелками Z = X + Y , и вычислите M[Z] и D[Z].

80