Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по теории вероятностей

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

931.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

а) Функцию распределения находим, пользуясь формулой (9):

¼R

dx dy

F (x; y) =

¼2

¡1 ¡1

(1+x2)(1+y2)

¼2

¡1

1+x2

¡1

1+y2

´:

= ¼2

³arctg x + 2 ´³arctg y + 2

´ = ³

2 ´³

arctg x

arctg y

б) На основании формулы (10) получаем

dx dy

P (M 2 H) =

arctg ® ¢ arctg ¯

¼2

(1 + x2)(1 + y2)

¼2

Случайные величины X и Y независимы. Действительно,

½(x; y) =

= ½1(x) ¢ ½2(y):

¼(1 + x2)

¼(1 + y2)

Задачи для самостоятельного решения

13.13. Дана матрица распределения системы дискретных случайных величин

	Y	5	8
X	2	5	8

0,4	0,15	0,30	0,35
0,8	0,05	0,12	0,03

Найдите: а) законы распределения случайных величин X и Y ; б) условный закон распределения Y при X = 0;4; в) условный закон распределения X при Y = 5.

13.14. Дана матрица распределения системы дискретных случайных величин (X; Y )

	Y	0	1
X	-1	0	1

0	0,1	0,2	0

10,2 0,3 0,2

Найдите: а) законы распределения случайных величин X и Y ; б) закон распределения Y при X = 1; в) вероятность события (X = 1; Y ¸ 0). Выясните, зависимы ли случайные величины

X и Y .

121

13.15. Дана матрица распределения системы дискретных случайных величин

	Y	0	0,2
X	-0,1	0	0,2

0	0,02	0,03	0,05
1	0,06	0,12	0,02
2	0,08	0,20	0,22

30,04 0,15 0,01

Найдите: а) условный закон распределения X при Y = 0; б) вероятность события (X · 2; Y < 0). Выясните, зависимы ли случайные величины X и Y .

13.16. Дана матрица распределения системы дискретных случайных величин (X; Y )

	Y	0	1
X	-1	0	1

-2	0,01	0,03	0,06
-1	0,02	0,24	0,09
0	0,05	0,15	0,16

10,03 0,06 0,10

Найдите законы распределения случайных величин X + Y

иX ¢ Y .

13.17.Двумерная случайная величина (X; Y ) задана матрицей распределения вероятностей

	Y	1
X	0	1

-1	0,10	0,15
0	0,15	0,25

10,20 0,15

Найдите: а) математические ожидания M [X], M [Y ]; б) дисперсии D [X], D [Y ].

13.18. Двумерная случайная величина (X; Y ) задана матрицей распределения вероятностей

	Y	-1	1	2
X		-1	1	2

-2		0,1	0,05	0,05
1		0,2	0,15	0,15
3		0,1	0,1	0,1

122

Найдите: а) ряды распределения компонент X и Y , M [X], M [Y ]; б) ковариацию случайных величин X и Y ; в) условные математические ожидания M [X /Y = 1], M [Y /X = 1].

13.19. Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин (X; Y ):

	Y	40	60
X	20	40	60

10	3¸	¸	0
20	2¸	4¸	2¸
30	¸	2¸	5¸

Найдите: а) ¸; б) математические ожидания M[X] и M[Y ].

13.20. Найдите математические ожидания и дисперсии двумерных случайных величин X и Y , заданных таблицей распределения вероятностей

	Y
X		1		2		3
		1		2		3
1			1		1		1
1		18		12		36
2		1		1			1
2		9		6		18
3		1		1			1
3		6		4		12

13.21. Задана двумерная плотность вероятности

½(x; y) = (x2 + y2 + 1)3

системы случайных величин (X; Y ). Найдите постоянную C. (Указание. Перейдите к полярным координатам.)

13.22. В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин

F (x; y) = 1 + 2¡x ¡ 2¡y + 2¡x¡y:

Найдите вероятность попадания случайной точки (x; y) в

треугольник с вершинами A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).
13.23.	Плотность			непрерывного	совместного
распределения	двух	случайных величин X и			Y задана
формулой
½(x; y) =		A	; x ¸ 1; y ¸ 1;
½(x; y) =		x3y3	; x ¸ 1; y ¸ 1;
	(	0;		в остальных случаях:
				123

Найдите Cov(x; y).

13.24. Плотность непрерывного совместного распределения двух случайных величин x и y задана формулой

½(x; y) = ½	A(1 ¡ xy	3);	x 1; y	1;
½(x; y) = ½	A(1 ¡ xy	0;	вj остальныхj · j j ·	случаях:

Найдите коэффициент корреляции r(x; y).

13.25. Двумерная случайная величина (X; Y ) задана плотностью распределения

½(x; y) = 8	23 (2x + y);				O(0; 0); A(1; 1); B(1;				1);
<					в 4OAB			¡
			0;		в других точках:
:
Найдите: а) плотности ½1(x),						½2(y) компонент			X и Y ;
б) ковариацию случайных				величин X и			Y ;	в)	условные
математические ожидания M[X=Y = 1=2],							M[Y=X = 1].
13.26. Система случайных						величин	(X; Y )		подчинена
закону распределения с плотностью
½(x; y) = ½		a	x	¢	y	в области D ;
			¢ 0			вне области D :

Область D треугольник, ограниченный прямыми x + y ¡ 1 = 0, x = 0, y = 0. Найдите постоянную a, математические ожидания M[X], M[Y ].

13.27. Заданы плотности распределения независимых составляющих непрерывной двумерной случайной величины

(X; Y )	½	5 ¢ e¡5x	при	x > 0:
½1(x) =	½	5 ¢ e¡5x	при	x > 0:
½2(y) = ½		0	при	x < 0;
½2(y) = ½		2 ¢ e¡2y	при	y > 0:
		0	при	y < 0;

Найдите: а) плотность совместного распределения системы случайных величин; б) функцию распределения системы случайных величин.

124

13.28.Непрерывная двумерная случайная величина (X; Y ) распределена равномерно в круге радиуса r с центром в начале координат. Докажите, что X и Y независимы, но некоррелированы.

13.29.Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X; Y )

½(x; y) = ½

1 sin(x + y)

в квадрате 0

¼ ;

вне квадрата.

Найдите

математические

ожидания

дисперсии

составляющих.

13.30. Задана функция случайной величины

F (x; y) =	½ 1 ¡ 5¡		¡ 0¡		¡ ¡
		x	5	y + 5	x y

распределения двумерной

при	x ¸ 0;	y > 0;
при	x < 0	или y < 0:

Найдите двумерную плотность вероятностей системы.

13.31. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X; Y )

½(x; y) =	2	¢ e¡	x2+2xy+5y2	:
			2
	¼

Найдите плотности распределения составляющих.

13.32. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X; Y ) равна

½(x; y) = C ¢ e¡x2¡2xy¡4y2 :

Найдите постоянный коэффициент C и плотности распределения составляющих.

13.33. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X; Y )

½(x; y) = ½

cos x

0¢

cos y

в квадрате 0

¼ ;

¼ :

вне квадрата:

125

Докажите, что составляющие X и Y независимы.

	Ответы
13.13. а)							X				0,4					0,8							Y					2						5				8
13.13. а)							P				0,80					0,20							P			0,20								0,42				0,38
б)
б)	Y/X=0,4											2				5				8					в)				X/Y=5							0,4				0,8
			P								3/16					3/8				7/16												P				5/2				7/2

13.14. а)							X				0			1						Y		-1					0							1
13.14. а)							P				0,3			0,7							P	0,3				0,5						0,2
б)
	Y/X=1								-1					0					1				в) 5/7.
		P							2/7				3/7						2/7				в) 5/7.
		P							2/7				3/7						2/7

13.15. а)							X/ Y=0									0				1			2					3								б) 0;66.
13.15. а)										P				0,06						0,24			0,4					0,3								б) 0;66.
										P				0,06						0,24			0,4					0,3

13.16.				X + Y								-3							-2		-1				0									1		2
13.16.							P					0,01						0,05			0,35				0,27							0,22				0,1
							P					0,01						0,05			0,35				0,27							0,22				0,1

X ¢ Y						-2					-1					0				1					2						13.17. а) M[X] =
X ¢ Y					0,06						0,12			0,69						0,12			0,01								13.17. а) M[X] =
	P				0,06						0,12			0,69						0,12			0,01
= 0;10,			M[Y ] = 0;55;													б) D[X] = 0;59, D[Y ] = 0;2475.
13.18. а)							X				-2			1					3				Y				-1							1		2
13.18. а)							P				0,2			0,5					0,3				P			0,4						0,3				0,3
M[X] = 1, M[Y ] = 0;5;																			б) Cov(X; Y ) = 0;7;
в) M[X=Y = 1] = 7=6,																			M[Y=X = 1] = 1=2. 13.19. ¸ = 1=20;
M[X] = 22;									M[Y ] = 41. 13.20. M[X] = 7=3;																											M[Y ] = 11=6;
D[X] = 19=18;											D[Y ] = 17=36. 13.21. C = 2=¼. 13.22. ½(x; y) =
= ln2 2		¢		2¡x¡y в первом квадранте, вне квадранта ½(x; y) = 0;
		¢				2	12				13.23. 0.								13.24.					0;2.					13.25. а) ½												2
P = 5=3				¢		2		.			13.23. 0.								13.24.				¡	0;2.					13.25. а) ½										(x) = 6x ,
				¢				.				2											¡															1
½2(y) = 3 + 3y ¡ 6y													; б) Cov(x; y) = ¡14=5; в) M[X=Y = 1=2] =
= 37=96,					M[Y=X = 1] = 1=6. 13.26. a = 24;																													M[X] = M[Y ] =
= 2=5. 13.27. ½(x; y) =																½			10 ¢ e¡(5x+2y)										при					x > 0;						y > 0:
F (x; y) = ½																				0									при					x < 0					или		y < 0;
F (x; y) = ½									1 ¡ e¡5x								¢ 1 ¡ e¡2y							при						x > 0;							y > 0:
														¢		0						¢		при						x < 0						или				y < 0;
13.28.					Указание.											Сравните							плотности													распределения
13.28.							¡											¡					плотности													распределения
составляющих												и			условные							плотности,													убедитесь,						что
коэффициент корреляции равен нулю.																											½			(x) = 2pr2 2 x2										½ (y) =
коэффициент корреляции равен нулю.																												1										¡		, 2
2p																																				¼r
	r2 y2
	r2 y2													21 pr2 ¡ y2, ½(y=x)																			21 pr2 ¡ x2.
¡			,		½(x=y)							=																=												13.29.
¼r2			,		½(x=y)							=																=												13.29.
																				126

M[X] = = M[Y ] = ¼=4, D[X] = D[Y ] = ¼=2+¼2=16¡2 ¼ 0;187. ½ ln2 5 ¢ 5¡x¡y при x ¸ 0; y > 0;

13.30.½(x; y) = 0 при x < 0 или y < 0:

13.31.Найдем плотность распределения составляющей X:

	R			x2R=2
	+1			+1	e¡	x2	+2x6+5y2
½1(x) =		½(x; y) dy =	¼2		e¡		2	dy: Вынесем за знак
	¡1		¡1
интеграла		множитель	e¡		, не		зависящий от переменной

интегрирования y, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата. Тогда

¢ e¡ 2

¢ e 10

e¡(p2 y+p5 x)

Ãr2y + r5x!

¡1

Учитывая,

что

интеграл

Пуассона

+1e¡u2 d u

¼;

окончательно

¡1

распределения

получим

плотность

(x) =

0;4x2 :

найдем

составляющей

Аналогично

5¼

e¡

2y2

плотность распределения составляющей Y : ½2

(y) =

e¡

13.32.

p3=¼,

½1(x)

p3=(2p¼)

q¼0¢;75x2

½2(y)

= p

¢ e¡3y2 .

13.33.

Указание. ¢Убедитесь,

что плотности распределения составляющих равны соответствующим условным плотностям.

127

Элементы математической статистики

Математическая статистика занимается разработкой методов сбора, описания и обработки опытных данных, то есть результатов наблюдений, с целью получения научных и практических выводов.

14.Статистическое распределение. Полигон и гистограмма

Статистическим распределением выборки называется соответствие между вариантами и их частотами (или относительными частотами). Статистическое распределение может быть задано, например, с помощью таблицы, в которой указаны варианты и соответствующие им частоты.

14.1. Задано распределение частот выборки объема n = 60:

xi	4	10	16	20	24	30
ni	15	18	6	4	5	12
Найдите распределение относительных частот.

Решение. Относительной частотой !i варианты xi называется отношение ее частоты к объему выборки:

!i = nni :

Применяя эту формулу, вычисляем относительные частоты:

!1	=		n1	=	15			=	1	; !2 =							n2		=		18			=		3		; !3 =					n3		=			6		=		1	;

			n		60												n				60												n									10
			n		60				4								n				60					10							n				60					10
!4	=		n4	=		4		=	1			; !5 =						n5		=		5			=		1		; !6			=		n6		=		12			=	1	:

			n		60				15																													60				5
			n		60				15									n			60					12								n				60				5
Следовательно,												распределение														относительных													частот
определяется таблицей
		xi		4		10			16					20			24				30
		ni		1			3				1				1		1				1
		ni		4		10			10					15			12				5
		Отметим, что
					6							1		3					1					1			1			1
						Xi						1		3					1					1			1			1
								!i =						+			+				+					+				+		= 1:
					=1			!i =					4	+		10	+		10		+		15			+		12		+	5	= 1:
					=1
																			128

В целях наглядности изображается графически.

n
18	M1
15
12
6
4

M3 M4 M5

0 4 10 16 20 24 30 x

статистическое распределение

Если статистическое распределение задано перечнем вариант xi и соответствующих частот ni, то на оси абсцисс откладывают варианты xi, на оси ординат частоты

ni. Строят точки M1(x1; n1),

M2(x2; n2), : : :, Mk(xk; nk)

и последовательно соединяют их отрезками прямых; полученная ломаная называется полигоном частот. На рисунке изображен полигон частот распределения для задачи 14.1.

Аналогично строится полигон относительных частот, то есть ломаная, отрезки которой последовательно соединяют

точки M1(x1; !1), M2(x2; !2), : : :, Mk(xk; !k), где !i

относительная частота xi.

Кроме дискретных вариационных рядов рассматриваются интервальные вариационные ряды, в которых значения признака могут меняться непрерывно. Пусть имеются результаты измерений непрерывной случайной величины X, для которой a и b соответственно наименьшее и наибольшее значения. Отрезок [a; b] разобьем на k элементарных отрезков

[xi¡1; xi], i = 1; 2; : : : ; k, x0 = a, xk = b. Обозначим через ni число значений величины X, принадлежащих интервалу

xi¡1; xi. Построим таблицу:

Значения признака	Частота
(x0; x1)	n1
(x1; x2)	n2
: : :	: : :
(xk¡1; xk)	nk
Сумма	n(объем выборки)

Эта таблица называется интервальным вариационным рядом. Относительной частотой, соответствующей i-му интервалу, называется отношение частоты ni к объему

выборки n, где n = n1 + n2 + : : : + nk. Очевидно, Pk nni = 1.

i=1

129

Интервальный вариационный ряд будет наиболее простым, когда все интервальные разности равны между собой, то есть xi ¡ xi¡1 = h, плотность распределения частот на i-м интервале в этом случае равна ni=h.

Если статистическое распределение задано перечнем интервалов и соответствующих им частот, то строят гистограмму частот. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями hi = xi ¡ xi¡1 и высотами ni=hi. На оси абсцисс откладывают частичные интервалы длины hi, над i-м интервалом строят прямоугольник высотой ni=hi (плотность частоты). Отметим, что площадь S гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки. Аналогично строится гистограмма относительных частот, то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых равны hi длина каждого частичного интервала, а высоты !i=hi плотность относительной частоты.

14.2. Имеются статистические данные распределения объема n = 75. Постройте гистограмму частот.

xi ¡ xi+1			3-6	6-9	9-12	12-15		15-18		18-21	21-24
	ni		6	9	12		21	18		6	3
	ni=h		2	3	4		7	6		2	1
ni
_
h
7
7
5


3


1


0									x

	3	6	9	12	15	18	21	24

Решение. Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины h = 3. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20233.1 Mб203Практикум по логистике..pdf
#
05.02.20233.39 Mб25Практикум по объектно-ориентированному программированию..pdf
#
05.02.20231.39 Mб20Практикум по программированию на языке программирования Си..pdf
#
05.02.2023406.11 Кб2Практикум по социально-культурной деятельности..pdf
#
05.02.20231.98 Mб17Практикум по Теоретической механике..pdf
#
05.02.2023931.61 Кб35Практикум по теории вероятностей..pdf
#
05.02.20231.22 Mб10Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению..pdf
#
05.02.20231.44 Mб59Практикум по физико-химическим методам анализа..pdf
#
05.02.2023206.8 Кб0Практическая подготовка студентов.-1.pdf
#
05.02.2023623.34 Кб0Практическая подготовка студентов..pdf
#
05.02.2023290.92 Кб12Практический маркетинг..pdf