Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

899.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

является обратной матрице A. Для этого рассмотрим произведение

0 a21

a22

: : : a2n

0 A12

A22

: : : An2

A A0 = B

a11

a12

: : : a1n

A11

A21

: : : An1

: : :

: : : : : : : : :

jAj

: : :

: : : : : :

B a

: : : a

B A

: : : A

					n	n	n	1
				0 kn		n	n	1
					P	P	P
= 1					a1kA1k	a1kA2k : : :	a1kAnk	C:
= 1				B k=1 a2kA1k		k=1 a2kA2k : : :	k=1 a2kAnk	C:
				B	=1	k=1	k=1	C
		A		B P : : :		P : : : : : :	P : : :	C
	j		j	B				C
				B	n	n	n	C
				B	ankA1k	ankA2k : : :	ankAnk	C
				B				C
				B k=1		k=1	k=1	C
				@	P	P	P	A

По теореме 3.1 все элементы произведения матриц, стоящие на главной диагонали, равны определителю матрицы A, а остальные элементы полученной матрицы равны нулю по теореме 3.2. Следовательно, произведение

0 j0j

: : :

0 0

: : :

= B

: : :

A A0 =

j: : :j

= E:

jAj

: : :

: : : : : :

: : : : : : : : : : : :

: : :

Аналогично

A0 A = E

показывается, что произведение

2) Теперь докажем единственность обратной матрицы. Пусть матрица A00 также является обратной для матрицы A. Рассмотрим произведение A0 A A00. Имеем

A0 A A00 = (A0 A) A00 = E A00 = A00;

A0 A A00 = A0 (A A00) = A0 E = A 1:

Из этих равенств следует, что A00 = A0.

Обозначается обратная матрица A 1.

Условие невырожденности квадратной матрицы является не только достаточным, но и необходимым для существования обратной матрицы.

Теорема 4.2. Если квадратная матрица A имеет обратную матрицу,

то она невыроженная матрица.

Доказательство. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A 1. Тогда A A 1 = E. Значит, jA A 1j = jEj = 1. По свойству 9 определителей имеем jA A 1j = jAj jA 1j. Следовательно, jAj jA 1j = 1. Откуда вытекает, что jAj 6= 0.

	!
6	7
Пример 4.1. Найдите матрицу, обратную матрице A =	:
4	5

Решение . Вычислим определитель.
j j	4	5		6
A =		7	= 30 28 = 2 = 0;

значит матрица A невырожденная и для нее существует обратная матрица. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A:

A11 = 5; A12 = ( 4) = 4;			A21 = ( 7) = 7; A22 = 6: Составим присоеди-
ненную матрицу A =	7	8	!: Транспонировав ее и разделив на определитель,
	5	4

получим матрицу, обратную матрице A

					A 1 =	1	5	7	=	2; 5		3; 5	:
					A 1 =	2	4	6	=	2		3	:
						2	4	6		2		3
Выполним проверку. Для этого вычислим произведение														4 3; 5 + 5 3				!
		4 5		!	2	3	!		4	2; 5 + 5 2				4 3; 5 + 5 3				!
A	A 1 =	6	7		2; 5 3; 5			=	6 2; 5		7	2 6			3; 5	7	3	=

1 0

== E:

0 1

Пример 4.2. Найдите матрицу, обратную матрице

0 1

1 3 2

A = B 2 4 1 C:

		3	1			4
Решение . Вычислим определитель.																=								= 30 = 0;
A =		2 4 1						=			0		2 5			=								= 30 = 0;
j j		1	3	2							1	3		2						2		5						6
		3	1 4								0	10 10

значит,		матрица A					невырожденная								è	äëÿ	нее существует											обратная матрица. Вычис-

лим алгебраические									дополнения					элементов				матрицы A:
A11 = ( 1)1+1					41				4		= 17; A12 = ( 1)1+2										3		4		= 5;
									1												2		1

A13	= ( 1)		1+3		2		4												2+1			3					2		=	10;
A13	= ( 1)				3				1		= 14; A21 = ( 1)																		=	10;
					3				1														1 4


A22	= ( 1)		2+2		1				2								2+3				1		3
A22	= ( 1)				3						= 10; A23 = ( 1)													1		= 10;
					3		4														3			1


A31	= ( 1)		3+1		3				2								3+2				1			2		= 5;
A31	= ( 1)				4						= 11; A32 = ( 1)															= 5;
					4	1															2 1


A33	= ( 1)		3+3		1		3					2:
A33	= ( 1)				2		4			=		2:
					2		4

Составим присоединенную матрицу											A		=	0	10	10	10	1	: Транспонировав
														B	17	5	14	C
ее и разделив на определитель, получим														B	11	5	2	C		A
ее и разделив на определитель, получим														@				A		A
								A 1 = 30 0				матрицу, обратную матрице
								A 1 = 30 0			5 10				5 1:
									1	B	17		10		11	C
										B	14			10	2	C
									@							A
Проверку выполните самостоятельно, то есть покажите, что
0 2 4	1	1	1 0				5 10			5 1 = E.
1 3	2					17		10	11
B 3 1 4		C			B						C
				30
						14 10 2
@		A			@						A

Метод вычисления обратной матрицы с использованием алгебраиче- ских дополнений можно применять, если порядок матрицы мал.

Для матриц, порядки которых достаточно велики, для вычисления обратной матрицы удобно применять метод Гаусса 10 Жордана11, который состоит в следующем: Справа к матрице A припишем единичную мат-

рицу E. Используя элементарные преобразования матрицы, приведем

матрицу A к единичной матрице. Тогда вторая матрица окажется

равной A 1. Этим методом можно найти обратную матрицу для невы-

рожденной квадратной матрицы любого порядка.

Пример 4.3. Методом Жордана-Гаусса найдите матрицу, обратную

0 1

1 3 2

матрице A = B 2 4 1 C:

3 1 4

10Иоганн Карл Фридрих Гаусс (Johann Carl Friedrich Gauss) (1777-1855) немецкий математик, астроном и геодезист, почетный член Петербургской АН. Считается одним из величайших математиков всех времeн, "королeм математиков". С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: в алгебре, теории чисел, дифференциальной и неевклидовой геометрии, математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, а также в небесной механике, астрономии, физике. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс мгновенно получил результат. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника, нашeл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки. В

1815 году публикует первое строгое доказательство основной теоремы алгебры. В его бумагах обнаружены заметки по тому предмету, что позже назвали топологией. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы

ознакомиться с трудами Лобачевского.

11Мари Энмон Камиль Жордан (Jordan) (1838-1922) французский математик), издатель "Journal de mathеmatiques pures et appliquеes"(1885-1921), член-корреспондент Петербургской АН. Работы Жордана относятся к алгебре (нормальная жорданова форма матриц), теории функций (понятие функции с ограниченным изменением), а также топологии и кристаллографии.

Решение . Припишем справа к матрице единичную матрицу и и с помощью элементарных преобразований перегоним единичную матрицу налево.

A = 0 2 4					1		j	0 1 0					1		0 0 2 5											j 2 1			0 1
		B	1 3	2			j	1 0 0					C B			1 3							2			j 1 0			0	C
		B	3 1 4 jj					0 0 1					C B			0 10 10 j 3 0													1	C
		@											A		@		0													A
0 0 1					5=2				j	1		1=2 0 1					0				0 1				5=2		j 1 1=2 0 1
	B	1	3	2					j	1		0			0						1 0				11=2		j 2 3=2 0
	B	0	10	10 jj						3	0				0 C B						0 0				15 j 7						5 1 C
	@														A		@														A		1:
	0 0		1	5=2		j				1			1=2			0			1 0							0 1 0	j				1=6 1=3	1=6	1:
	B	1	0 11=2						2			3=2				0			C				B			1 0 0	j		17=30 1=3 11=30				C
			0			jj																					j
		0	0	1		jj		7=15 1=3 1=15																		0 0 1 j 7=15 1=3 1=15
	@				0		17				1		11		1	= 1			A				@			10		5	1		:		A
	Èòàê, A 1 =				0			1		1				1	1	= 1				0				5		10		5	1		:
					B		30				3		30		C					B			17			10	11		C
							6			3			6
							6			3			6					30								10
								15		3				15								14				10	2
					@				7	1				1	A					@									A
									7	1				1

Свойства обратной матрицы.

1. jA	j = A ;									2. (A	)	T	= (A				)		1;
1			1							1		T				T			1;
1		)	1 j j							4. (AB)			1				1	A		1.
3. (A		)	= A;							4. (AB)				= B				A
Задания для самостоятельного решения																										!:
Задание 4.1. Найдите матрицу, обратную матрице A =																								7	5	!:
																								4	3
Задание 4.2. Найдите матрицу, обратную матрице
a) A = 0 3 7 15 1; á) A = 0													5 4 4 1;
B		1	2		4			C		B				2		1			3		C
B		4	1			2		C		B				3		1			7		C
@								A		@											A
â) A = 0 2 7 13 1; ã) A = 0													3 2 1 1:
B		1	4		2			C			B		2		4			3			C
B		3		10	7			C			B		4		1			0			C
@								A			@										A
Задание 4.3. Найдите матрицу, обратную матрице
0 2			3 3					2		1					0 2 5 3							3 1
à) A = B		1		2	1			0		C; á) A =					B	1			2		2	1	C
à) A = B		1	1				2		1	C; á) A =					B	4 15 7						1	C	:
B										C					B	1				3 2		5	C
B		3 0 25 13								C					B	1				3 2		5	C
B										C					B								C
@										A					@								A

Задание 4.4. При каких значениях k матрица A имеет обратную, если

à) A =	0 k 1				4 1;		á)	A =	0 3		2	1	1;	â)	A =	0 2		5	1 1.
	B	1	2	1		C			B	k	1	1	C			B	k	4	1	C
		3	k							1	k	2					0	k
		3	k	3						1	k	2					0	k	1
	@					A			@				A			@				A

5. Матричные уравнения.

Пусть A невырожденная квадратная матрица.

Поставим задачу: найти такие матрицы X è Y , чтобы были справед-

ливы уравнения A X = B è Y A = B (в общем случае X 6= Y ).

Так как A невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица A 1. Умножим обе части уравнения AX = B на матрицу A 1 слева. Получим

		A 1AX = A 1B								èëè			X = A 1B.
	Аналогично можно получить, что Y = BA 1.
Пример 5.1. Пусть A =											6			7	!	, B =		7		3	!. Решите урав-
												4		5	!				2	9	!. Решите урав-
нения AX = B è Y A = B.
нения AX = B è Y A = B.														!, обратная матрице A была найдена в при-
Решение . Матрица A							1		=	1	5		7
Решение . Матрица A									=	2	2		3
ìåðå 4.1.
	Найдем матрицы:							!
	X = A 1B = 1			5 7						7 3				=	1	5 7 + 7 ( 3) 5 ( 2) + 7 9									=
			2	4 6							2 9			!	2	4	7 + 6		( 3) 4			(	2) + 6	9	!
			!
			!							!
=	1	14	53	7		26; 5				:
=	1		=							:
	2	10	46	5		23
		10	46	5		23				!				!											!
			2		2 9					!	4 6			!	2	( 3) 5 + 9 4 ( 3) 7 + 9 6									!
	Y = BA 1 = 1			7		3					5 7			= 1		7	5 + ( 2)			4 7		7 + ( 2)		6	=
			!								!
			!								!
=	1	27	37	13; 5					18; 5		:
=	1		=								:
	2	21	33	10; 5					16; 5
		21	33	10; 5					16; 5

Этот пример еще раз подтверждает, что умножение матриц не коммутативно.

Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. Решите уравнения AX = B è Y A = B, åñëè

		2	7	!			7			1		!.
A =		1	2	,		B =	2		5

Задание 5.2. Решите уравнения AX = B è Y A = B, ãäå
A =	0 2		10			7 1,	B =	0 5 3						1 1:
	B	1		4		2		B			2 1			3	C
	B	3	10 8 C					B				4 3		2	C
	@					A		@							A
Задание 5.3. Решите уравнения													1; á) 0 3 7 5							1X = 0 13		1;
à) 0 3		7 15 1X = 0							4 1				1; á) 0 3 7 5							1X = 0 13		1;
	1		2 4						2 5							1	3 2				1
B					2 C B				3			2	C B						2	C B	0	C
B	4 1				2 C B				3			2	C B			4 3			2	C B	0	C
@						A @							A @							A @ A
â) 0 3		3 4				1X = 0 5 2						1;		ã)	0 3 2				1	1X = 0	3 1.
	1		2 2				2		3							2	4 3				5
B						C B 1					2	C			B	4 1				C B		C
B	2 1 3					C B 1					2	C			B	4 1		0		C B	4	C
@						A	@					A			@					A @		A

Задание 5.4. Решите уравнения

a) X	B	2	1	3	C	=	2 4	5 !;
		5 4		4
	@				A		3 5	1
		3	1	7

		1	2		3				4	3	1	!;
á) X	B	3	4 7			C	=	5		1	2	!;
	B	2	4		3	C
	@	1	4	2	1	A
â) X	0	2	7	3	1	=		2 1		3 .
	B	3	10	7	C
	@				A

Задание 5.5. Решите уравнения

a)	4 7 !X			3		7	! =		2	9 !;
	1	3		4		10			5	4
á)	2 1 !X										!;
á)	2 1 !X			2		1 !	=	10		5	!;
	7	5	!	5		3	!	23	10		38 !.
â)	3	4	!		2 3		!		3		38 !.
	2	5	X	1		4		=		2	37

Задание		5.6.		Решите систему матричных уравнений
8	X + Y =	1	1
8	X + Y =	0	1 !;
>
>		1	0
>		1	0
>
<	2X + 3Y =	0	1	:
>		0	1	!

6. Системы линейных уравнений.

В школе вы изучали системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(

a1x + b1y = c1; a2x + b2y = c2:

Напомню один из методов решения этой системы.

Умножим первое уравнение на b2, а второе на b1, а затем сложим эти уравнения

(

a1b2x + b1b2y = b2c1;a2b1x b1b2y = b1c2:

Получим (a1b2 a2b1)x = b2c1

b1c2.

Заметим, что a1b2 a2b1	=	a1	b1	, c1b2	c2b1	=	c1	b1	. Обозначим эти опре-
Заметим, что a1b2 a2b1	=	a2	b2	, c1b2	c2b1	=	c2	b2	. Обозначим эти опре-

делители через и x соответственно. Равенство для определения x принимает вид

x = x:

Åñëè 6= 0, òî

x = x :

Аналогично можно получить, что

y = y ;

ãäå y =	a2	c2	:
	a1	c1

Так как уравнение ax + by = c задает на плоскости прямую, то система двух

уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение, если прямые, задающие уравнения, пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают.

Аналитически эти условия можно записать следующим образом:

система имеет единственное решение, если aa12 6= bb12 ,

система не имеет решений, если a1 = b1 6= c1 , a2 b2 c2

система имеет бесконечно много решений, если a1 = b1 = c1 . a2 b2 c2

Рассмотрим задачу, при решении который применяются системы линейных уравнений. Классическая транспортная задача одна из задач линейного программирования о поиске оптимального распределения однородных объектов. В общем случае под названием транспортная зада- ча, определяется широкий круг задач с единой математической моделью. Для простоты понимания она рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления с минимальными затратами на перевозки. Задача была впервые формализована французским математиком Гаспаром Монжем 12. Существенное продвижение в решении транспортной задачи было сделано советским математиком и экономистом Леонидом Канторовичем 13. Поэтому иногда эта проблема называется транспортной задачей Монжа Канторовича.

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов

отправления A1; A2; : : : ; Am â n пунктов назначения B1; B2; : : : ; Bn. Ïðè этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через cij тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через ai запасы груза в i-м пункте отправления, через bj потребности в грузе в j-м пункте назначения, а через xij количество единиц груза, перевозимого из i-ãî

12Гаспар Монж, граф де Пелюз (Gaspard Monge, comte de Peluse) (1746-1818) французский математик, геометр, государственный деятель. Монж разработал основы начертательной геометрии и вариационного исчисления. Он определил, что вода представляет соединение водорода и кислорода.

13Леонид Витальевич Канторович (1912-1986) советский математик и экономист, один из создателей линейно-

го программирования, лауреат Нобелевской премии по экономике "за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов". Развил общую теорию приближ¸нных методов, построил эффективные методы решения операторных уравнений, первым применил функциональный анализ в вычислительной математике, развил идею оптимальности в экономике. Интересный факт: После того, как Л. В. Канторовичем был предложен оптимальный метод распила фанерного листа, этот метод попытались применить к разрезанию стальных листов. После внедрения методов оптимизации на производстве одной из фабрик инженерам удалось улучшить показатели, что привело, однако, к негативным последствиям: а) система социалистического планирования требовала, чтобы в следующем году план был перевыполнен, что было принципиально невозможно при имеющихся ресурсах (поскольку найденное решение было абсолютным максимумом); б) фабрика не выполнила план по металлолому, львиная доля которого складывалась из обрезков стальных листов. Руководство фабрики получило выговор от партии и больше с математиками не связывалось.

пункта отправления в j-й пункт назначения. Тогда математическая по-

становка задачи состоит в определении минимального значения функ-
m n		m
iP P	cijxij при условиях	P
öèè F =	cijxij при условиях	xij = bj (каждый потребитель
=1 j=1		i=1

получает нужное количество продукта), P xij = ai (каждый поставщик

j=1

отгружает весь произведенный продукт) и xij > 0 (условиe неотрицательности: поставка от какого-то пункта производства тому или иному пункту потребления может быть равна нулю, но отрицательнîé, следо-

вать в обратном направлении, быть не может) ( i = 1; m, j = 1; n).

Âнастоящее время разработано много различных алгоритмов решения транспортной задачи: распределительный метод, метод потенциалов, дельта-метод, метод дифференциальных рент, способ двойного предпо- чтения, различные сетевые методы. По ним составлены десятки программ. Во многих снабженческих, транспортных и других организациях с их помощью рассчитываются маршруты доставки материалов на строительные площадки, планы длительного прикрепления поставщиков металлопроката к потребителям, планы перевозок топлива. Задачи эти часто усложняются разного рода дополнительными условиями: например, в них включается расчет не только себестоимости перевозок, но и себестоимости производства продукции (производственнотранспортная задача), оптимизируется совместно доставка взаимозаменяемых видов продукции, оптимизируется доставка грузов с промежуточными базами (складами). Кроме того, следует учитывать, что экономико-математическая модель транспортной задачи позволяет описывать множество ситуаций, весьма далеких от проблемы перевозок, в частности, находить оптимальное размещение заказов на производство изделий с разной себестоимостью.

Âкурсе линейной алгебры мы будем изучать системы линейных урав-

нений с произвольным числом уравнений и неизвестных.

8 a21x1		+ a22x2	+ : : : + a2nxn
>	a11x1	+ a12x2	+ : : : + a1nxn

>: : : : : : : : : : : :

: am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn

= b1;

= b2;

(6:1)

:: :

=bm:

Числа aij коэффициенты системы, они образуют матрицу A = (aij),

называемую матрицей системы.

Дополняя матрицу A столбцом свободных членов, получим

ренную матрицу системы			j		1
0 a21	a22	: : : a2n	j	b2	1
a11	a12	: : : a1n	j	b1	C
A = B : : :	: : :	: : : : : :	j	: : :	C	:
B		: : : amn	j	bm	C
e B am1 am2		: : : amn	j	bm	C
B			j		C
@					A

расши-

(6:2)

Свободные члены отделены от основной матрицы чертой.

Обозначим X = (x1; x2; : : : ; xn)T матрицу-столбец неизвестных,

B = (b1; b2; : : : ; bm)T матрицу-столбец свободных членов. Используя

операцию умножения матриц, систему (6:1) можно записать в матрич- ном виде

AX = B:	(6:3)
Решением системы (6:1) называется	упорядоченный набор чисел

(x1; x2; : : : ; xn); при подстановке которого в систему уравнений вме- сто неизвестных x1; x2; : : : ; xn каждое уравнение превращается в верное числовое равенство. Система (6:1) называется совместной, если

она имеет хотя бы одно решение. Совместная система (6:1) называется

определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю (b1 = b2 = : : : = bm = 0), и неоднородной, если хотя один из свободных членов отличен от нуля.

При рассмотрении систем линейных уравнений возникают вопросы: 1) имеет ли система хотя бы одно решение (совместна ли система);

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023283.09 Кб2Ландшафтоведение..pdf
#
05.02.20235.04 Mб18Лекции по аналоговым электронным устройствам..pdf
#
05.02.20232.9 Mб6Лекционный демонстрационный материал «Сети связи»..pdf
#
05.02.20231.35 Mб10Линейная алгебра. Аналитическая геометрия.pdf
#
05.02.20231.22 Mб10Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия-1.pdf
#
05.02.2023899.42 Кб2Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.pdf
#
05.02.2023583.47 Кб5Линейная алгебра.-1.pdf
#
05.02.2023637.62 Кб3Линейная алгебра..pdf
#
05.02.20231.39 Mб10Линейные программы с графическим интерфейсом в среде Lazarus..pdf
#
05.02.20231.71 Mб3Линейные программы..pdf
#
05.02.2023440.19 Кб1Личностные компетенции предпринимателя.-1.pdf