Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
899.42 Кб
Скачать

является обратной матрице A. Для этого рассмотрим произведение

0 a21

a22

: : : a2n

1

 

1

 

0 A12

A22

: : : An2

1

 

A A0 = B

a11

a12

: : : a1n

C

 

 

 

B

A11

A21

: : : An1

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

: : :

: : : : : : : : :

jAj

: : :

: : :

: : : : : :

B a

n1

a

n2

: : : a

C

 

 

 

B A

1n

A

2n

: : : A

C

 

B

 

 

nn

C

 

 

 

B

 

 

nn

C

 

@

 

 

 

 

 

A

 

 

 

@

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

n

n

n

1

 

 

 

 

 

0 kn

n

n

 

 

 

 

 

 

P

P

P

 

= 1

 

 

 

a1kA1k

a1kA2k : : :

a1kAnk

C:

 

 

B k=1 a2kA1k

k=1 a2kA2k : : :

k=1 a2kAnk

 

 

 

 

 

B

=1

k=1

k=1

C

 

 

A

 

 

B P : : :

P : : : : : :

P : : :

C

 

j

 

j

B

 

 

 

C

 

 

 

 

 

B

n

n

n

C

 

 

 

 

 

B

ankA1k

ankA2k : : :

ankAnk

C

 

 

 

 

 

B

 

 

 

C

 

 

 

 

 

B k=1

k=1

k=1

C

 

 

 

 

 

@

P

P

P

A

По теореме 3.1 все элементы произведения матриц, стоящие на главной диагонали, равны определителю матрицы A, а остальные элементы полученной матрицы равны нулю по теореме 3.2. Следовательно, произведение

1

 

0 j0j

A

: : :

 

0

 

1

0 0

1

: : :

0

 

1

 

 

 

 

B

A

0

: : :

 

0

 

C

= B

1

0

: : :

0

 

C

 

A A0 =

 

 

 

j: : :j

 

 

= E:

jAj

: : :

: : : : : :

: : : : : : : : : : : :

 

 

 

B

0

0

: : :

j

A

j

C

B

0

0

: : :

1

 

C

 

Аналогично

B

 

 

 

 

C

B

 

A0 A = E

 

C

 

@

 

 

 

 

 

 

A

@

 

 

A

 

 

 

 

показывается, что произведение

 

 

 

.

 

2) Теперь докажем единственность обратной матрицы. Пусть матрица A00 также является обратной для матрицы A. Рассмотрим произведение A0 A A00. Имеем

A0 A A00 = (A0 A) A00 = E A00 = A00;

A0 A A00 = A0 (A A00) = A0 E = A 1:

Из этих равенств следует, что A00 = A0.

Обозначается обратная матрица A 1.

Условие невырожденности квадратной матрицы является не только достаточным, но и необходимым для существования обратной матрицы.

Теорема 4.2. Если квадратная матрица A имеет обратную матрицу,

то она невыроженная матрица.

Доказательство. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A 1. Тогда A A 1 = E. Значит, jA A 1j = jEj = 1. По свойству 9 определителей имеем jA A 1j = jAj jA 1j. Следовательно, jAj jA 1j = 1. Откуда вытекает, что jAj 6= 0.

 

!

6

7

Пример 4.1. Найдите матрицу, обратную матрице A =

:

4

5

19

Решение . Вычислим определитель.

j j

 

 

4

5

 

 

6

A =

 

 

7

 

= 30 28 = 2 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значит матрица A невырожденная и для нее существует обратная матрица. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A:

A11 = 5; A12 = ( 4) = 4;

A21 = ( 7) = 7; A22 = 6: Составим присоеди-

ненную матрицу A =

7

8

!: Транспонировав ее и разделив на определитель,

 

5

4

 

получим матрицу, обратную матрице A

!!

 

 

 

 

 

 

A 1 =

1

5

7

=

 

2; 5

 

3; 5

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

6

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполним проверку. Для этого вычислим произведение

 

4 3; 5 + 5 3

!

 

 

 

4 5

!

2

3

!

 

4

 

2; 5 + 5 2

 

A

 

A 1 =

6

7

 

2; 5 3; 5

=

6 2; 5

7

2 6

3; 5

7

3

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

1 0

== E:

0 1

Пример 4.2. Найдите матрицу, обратную матрице

0 1

1 3 2

A = B 2 4 1 C:

@A

 

 

3

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение . Вычислим определитель.

=

 

 

 

 

 

 

 

= 30 = 0;

 

A =

2 4 1

 

 

=

 

0

 

2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

1

 

3

2

 

 

 

 

 

1

3

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

5

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

3

 

1 4

 

 

 

 

 

0

10 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значит,

матрица A

невырожденная

è

äëÿ

нее существует

обратная матрица. Вычис-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лим алгебраические

 

дополнения

элементов

матрицы A:

 

 

 

 

A11 = ( 1)1+1

 

41

 

 

4

 

= 17; A12 = ( 1)1+2

 

3

 

4

 

= 5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A13

= ( 1)

1+3

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2+1

 

3

 

 

2

 

=

 

10;

 

 

3

 

 

 

1

 

= 14; A21 = ( 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A22

= ( 1)

2+2

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2+3

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

= 10; A23 = ( 1)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

= 10;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A31

= ( 1)

3+1

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3+2

 

1

 

 

2

 

= 5;

 

 

 

 

4

 

 

 

= 11; A32 = ( 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A33

= ( 1)

3+3

 

1

 

3

 

 

 

 

2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

Составим присоединенную матрицу

A

=

0

10

10

10

1

: Транспонировав

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

17

5

14

C

 

 

ее и разделив на определитель, получим

 

 

11

5

2

 

A

 

 

@

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1 = 30 0

 

матрицу, обратную матрице

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 10

5 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

B

17

10

11

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

10

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

Проверку выполните самостоятельно, то есть покажите, что

 

 

 

0 2 4

1

1

1 0

 

5 10

 

5 1 = E.

 

 

 

 

 

 

1 3

2

 

 

 

 

17

10

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B 3 1 4

C

 

 

B

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14 10 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

A

 

 

@

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод вычисления обратной матрицы с использованием алгебраиче- ских дополнений можно применять, если порядок матрицы мал.

Для матриц, порядки которых достаточно велики, для вычисления обратной матрицы удобно применять метод Гаусса 10 Жордана11, который состоит в следующем: Справа к матрице A припишем единичную мат-

рицу E. Используя элементарные преобразования матрицы, приведем

матрицу A к единичной матрице. Тогда вторая матрица окажется

равной A 1. Этим методом можно найти обратную матрицу для невы-

рожденной квадратной матрицы любого порядка.

Пример 4.3. Методом Жордана-Гаусса найдите матрицу, обратную

0 1

1 3 2

матрице A = B 2 4 1 C:

@A

3 1 4

10Иоганн Карл Фридрих Гаусс (Johann Carl Friedrich Gauss) (1777-1855) немецкий математик, астроном и геодезист, почетный член Петербургской АН. Считается одним из величайших математиков всех времeн, "королeм математиков". С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: в алгебре, теории чисел, дифференциальной и неевклидовой геометрии, математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, а также в небесной механике, астрономии, физике. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс мгновенно получил результат. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника, нашeл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки. В

1815 году публикует первое строгое доказательство основной теоремы алгебры. В его бумагах обнаружены заметки по тому предмету, что позже назвали топологией. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы

ознакомиться с трудами Лобачевского.

11Мари Энмон Камиль Жордан (Jordan) (1838-1922) французский математик), издатель "Journal de mathеmatiques pures et appliquеes"(1885-1921), член-корреспондент Петербургской АН. Работы Жордана относятся к алгебре (нормальная жорданова форма матриц), теории функций (понятие функции с ограниченным изменением), а также топологии и кристаллографии.

21

Решение . Припишем справа к матрице единичную матрицу и и с помощью элементарных преобразований перегоним единичную матрицу налево.

A = 0 2 4

 

1

 

j

0 1 0

 

1

0 0 2 5

 

j 2 1

0 1

 

 

 

 

B

1 3

2

 

1 0 0

 

C B

1 3

 

 

2

j 1 0

0

C

 

 

 

 

3 1 4 jj

0 0 1

 

0 10 10 j 3 0

1

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

@

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

0 0 1

 

5=2

 

 

j

1

 

1=2 0 1

0 1

5=2

j 1 1=2 0 1

 

 

 

B

1

3

2

 

 

 

1

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

1 0

11=2

j 2 3=2 0

 

 

 

0

10

10 jj

3

0

 

 

0 C B

0 0

15 j 7

 

5 1 C

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

1:

 

0 0

1

5=2

j

 

 

 

1

 

 

1=2

 

 

0

 

 

1 0

0 1 0

j

 

 

1=6 1=3

1=6

 

B

1

0 11=2

 

 

 

2

 

3=2

 

 

0

 

 

C

 

B

1 0 0

17=30 1=3 11=30

C

 

0

 

 

jj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

0

1

 

 

7=15 1=3 1=15

 

 

0 0 1 j 7=15 1=3 1=15

 

@

 

 

 

0

 

17

 

1

 

11

 

1

= 1

A

 

 

@

10

 

5

1

 

:

 

A

 

Èòàê, A 1 =

 

 

1

1

 

 

1

 

 

0

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

30

 

3

 

30

 

C

 

 

 

 

B

 

17

 

10

11

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

3

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

3

 

15

 

 

 

 

14

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

7

1

1

 

A

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства обратной матрицы.

1. jA

j = A ;

 

 

 

 

2. (A

)

T

= (A

)

1;

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

)

1 j j

 

 

 

 

 

4. (AB)

1

 

 

 

1

A

1.

 

 

 

 

 

3. (A

 

= A;

 

 

 

 

 

= B

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

!:

Задание 4.1. Найдите матрицу, обратную матрице A =

7

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

Задание 4.2. Найдите матрицу, обратную матрице

 

 

 

 

a) A = 0 3 7 15 1; á) A = 0

5 4 4 1;

 

 

 

 

B

 

1

2

4

 

C

 

B

 

2

 

1

 

3

C

 

 

 

 

 

 

4

1

 

 

2

 

 

3

 

1

 

 

7

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

â) A = 0 2 7 13 1; ã) A = 0

3 2 1 1:

 

 

 

 

 

B

 

1

4

2

C

 

 

B

2

4

 

3

 

C

 

 

 

 

 

 

3

 

10

7

 

 

4

1

 

0

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

Задание 4.3. Найдите матрицу, обратную матрице

 

 

 

 

0 2

3 3

2

1

 

 

 

 

0 2 5 3

3 1

 

 

 

à) A = B

 

1

 

2

 

1

0

C; á) A =

B

1

 

2

2

1

C

 

 

 

 

1

1

 

 

2

 

1

4 15 7

1

:

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

B

1

 

 

3 2

5

C

 

 

 

B

 

3 0 25 13

C

 

 

 

 

B

 

 

C

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

22

Задание 4.4. При каких значениях k матрица A имеет обратную, если

à) A =

0 k 1

 

4 1;

á)

A =

0 3

2

1

1;

â)

A =

0 2

5

1 1.

 

B

1

2

1

C

 

 

B

k

1

1

C

 

 

B

k

4

1

C

 

3

k

 

 

 

 

1

k

2

 

 

0

k

 

 

3

 

 

 

 

1

 

@

 

 

 

 

A

 

 

@

 

 

 

A

 

 

@

 

 

 

A

5. Матричные уравнения.

Пусть A невырожденная квадратная матрица.

Поставим задачу: найти такие матрицы X è Y , чтобы были справед-

ливы уравнения A X = B è Y A = B (в общем случае X 6= Y ).

Так как A невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица A 1. Умножим обе части уравнения AX = B на матрицу A 1 слева. Получим

 

 

A 1AX = A 1B

èëè

 

X = A 1B.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично можно получить, что Y = BA 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.1. Пусть A =

6

 

7

!

, B =

 

 

7

 

3

!. Решите урав-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

 

 

 

 

 

 

2

 

9

нения AX = B è Y A = B.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!, обратная матрице A была найдена в при-

Решение . Матрица A

1

=

1

5

 

7

 

 

2

2

 

3

ìåðå 4.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем матрицы:

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X = A 1B = 1

5 7

 

7 3

=

1

5 7 + 7 ( 3) 5 ( 2) + 7 9

=

 

 

 

2

4 6

 

 

2 9

!

2

4

 

7 + 6

 

( 3) 4

 

(

 

2) + 6

 

9

!

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

14

53

7

26; 5

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

10

46

5

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

2

 

2 9

4 6

2

( 3) 5 + 9 4 ( 3) 7 + 9 6

 

Y = BA 1 = 1

7

3

 

5 7

= 1

7

 

5 + ( 2)

 

4 7

 

7 + ( 2)

 

6

=

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

27

37

13; 5

 

18; 5

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

21

33

10; 5

 

16; 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот пример еще раз подтверждает, что умножение матриц не коммутативно.

Задания для самостоятельного решения

23

Задание 5.1. Решите уравнения AX = B è Y A = B, åñëè

 

 

2

7

!

 

 

7

 

 

1

!.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

1

2

,

B =

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5.2. Решите уравнения AX = B è Y A = B, ãäå

 

 

A =

0 2

10

 

7 1,

B =

0 5 3

1 1:

 

 

 

 

 

 

 

B

1

 

4

 

2

 

B

 

2 1

3

C

 

 

 

 

 

 

 

 

3

10 8 C

 

 

 

4 3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A

 

@

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5.3. Решите уравнения

1; á) 0 3 7 5

1X = 0 13

1;

à) 0 3

7 15 1X = 0

 

4 1

 

1

 

2 4

 

 

 

2 5

 

 

 

1

3 2

 

1

B

 

 

 

 

2 C B

 

3

 

 

2

C B

 

 

 

2

C B

0

C

4 1

 

 

 

 

4 3

 

@

 

 

 

 

 

A @

 

 

 

 

 

A @

 

 

 

A @ A

â) 0 3

3 4

 

1X = 0 5 2

1;

 

ã)

0 3 2

 

1

1X = 0

3 1.

 

1

 

2 2

 

 

2

3

 

 

 

 

2

4 3

 

5

 

B

 

 

 

 

C B 1

 

 

2

C

 

 

B

4 1

 

 

C B

 

C

2 1 3

 

 

 

 

 

0

4

@

 

 

 

 

 

A

@

 

 

 

A

 

 

@

 

 

 

 

A @

 

A

Задание 5.4. Решите уравнения

01

a) X

B

2

1

3

C

=

2 4

5 !;

5 4

4

@

 

 

 

A

3 5

1

 

3

1

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

1

 

2

 

3

 

 

 

4

3

1

!;

á) X

B

3

4 7

C

=

5

1

2

 

2

 

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

@

1

 

4

2

1

A

 

 

 

 

 

 

â) X

0

2

 

7

3

=

 

2 1

 

3 .

 

 

B

3

 

10

7

C

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5.5. Решите уравнения

a)

4 7 !X

3

 

7

! =

2

9 !;

 

1

3

 

4

 

10

 

 

5

4

 

á)

2 1 !X

 

 

 

 

 

 

 

!;

2

 

1 !

=

10

 

5

 

7

5

!

5

 

3

!

23

10

38 !.

â)

3

4

 

2 3

 

3

 

2

5

X

1

4

=

 

2

37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

>

Задание

5.6.

 

Решите систему матричных уравнений

8

X + Y =

1

1

 

0

1 !;

>

 

 

 

 

>

 

1

0

 

>

 

 

>

 

 

 

 

<

2X + 3Y =

0

1

:

>

 

!

>

>

:

6. Системы линейных уравнений.

В школе вы изучали системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(

a1x + b1y = c1; a2x + b2y = c2:

Напомню один из методов решения этой системы.

Умножим первое уравнение на b2, а второе на b1, а затем сложим эти уравнения

(

a1b2x + b1b2y = b2c1;a2b1x b1b2y = b1c2:

Получим (a1b2 a2b1)x = b2c1

b1c2.

Заметим, что a1b2 a2b1

=

 

a1

b1

, c1b2

c2b1

=

 

c1

b1

. Обозначим эти опре-

a2

b2

c2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

делители через и x соответственно. Равенство для определения x принимает вид

x = x:

Åñëè 6= 0, òî

x = x :

Аналогично можно получить, что

y = y ;

ãäå y =

a2

c2

:

 

a1

c1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как уравнение ax + by = c задает на плоскости прямую, то система двух

уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение, если прямые, задающие уравнения, пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают.

Аналитически эти условия можно записать следующим образом:

система имеет единственное решение, если aa12 6= bb12 ,

система не имеет решений, если a1 = b1 6= c1 , a2 b2 c2

система имеет бесконечно много решений, если a1 = b1 = c1 . a2 b2 c2

25

Рассмотрим задачу, при решении который применяются системы линейных уравнений. Классическая транспортная задача одна из задач линейного программирования о поиске оптимального распределения однородных объектов. В общем случае под названием транспортная зада- ча, определяется широкий круг задач с единой математической моделью. Для простоты понимания она рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления с минимальными затратами на перевозки. Задача была впервые формализована французским математиком Гаспаром Монжем 12. Существенное продвижение в решении транспортной задачи было сделано советским математиком и экономистом Леонидом Канторовичем 13. Поэтому иногда эта проблема называется транспортной задачей Монжа Канторовича.

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов

отправления A1; A2; : : : ; Am â n пунктов назначения B1; B2; : : : ; Bn. Ïðè этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через cij тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через ai запасы груза в i-м пункте отправления, через bj потребности в грузе в j-м пункте назначения, а через xij количество единиц груза, перевозимого из i-ãî

12Гаспар Монж, граф де Пелюз (Gaspard Monge, comte de Peluse) (1746-1818) французский математик, геометр, государственный деятель. Монж разработал основы начертательной геометрии и вариационного исчисления. Он определил, что вода представляет соединение водорода и кислорода.

13Леонид Витальевич Канторович (1912-1986) советский математик и экономист, один из создателей линейно-

го программирования, лауреат Нобелевской премии по экономике "за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов". Развил общую теорию приближ¸нных методов, построил эффективные методы решения операторных уравнений, первым применил функциональный анализ в вычислительной математике, развил идею оптимальности в экономике. Интересный факт: После того, как Л. В. Канторовичем был предложен оптимальный метод распила фанерного листа, этот метод попытались применить к разрезанию стальных листов. После внедрения методов оптимизации на производстве одной из фабрик инженерам удалось улучшить показатели, что привело, однако, к негативным последствиям: а) система социалистического планирования требовала, чтобы в следующем году план был перевыполнен, что было принципиально невозможно при имеющихся ресурсах (поскольку найденное решение было абсолютным максимумом); б) фабрика не выполнила план по металлолому, львиная доля которого складывалась из обрезков стальных листов. Руководство фабрики получило выговор от партии и больше с математиками не связывалось.

26

пункта отправления в j-й пункт назначения. Тогда математическая по-

становка задачи состоит в определении минимального значения функ-

m n

 

m

iP P

cijxij при условиях

P

öèè F =

xij = bj (каждый потребитель

=1 j=1

 

i=1

n

получает нужное количество продукта), P xij = ai (каждый поставщик

j=1

отгружает весь произведенный продукт) и xij > 0 (условиe неотрицательности: поставка от какого-то пункта производства тому или иному пункту потребления может быть равна нулю, но отрицательнîé, следо-

вать в обратном направлении, быть не может) ( i = 1; m, j = 1; n).

Âнастоящее время разработано много различных алгоритмов решения транспортной задачи: распределительный метод, метод потенциалов, дельта-метод, метод дифференциальных рент, способ двойного предпо- чтения, различные сетевые методы. По ним составлены десятки программ. Во многих снабженческих, транспортных и других организациях с их помощью рассчитываются маршруты доставки материалов на строительные площадки, планы длительного прикрепления поставщиков металлопроката к потребителям, планы перевозок топлива. Задачи эти часто усложняются разного рода дополнительными условиями: например, в них включается расчет не только себестоимости перевозок, но и себестоимости производства продукции (производственнотранспортная задача), оптимизируется совместно доставка взаимозаменяемых видов продукции, оптимизируется доставка грузов с промежуточными базами (складами). Кроме того, следует учитывать, что экономико-математическая модель транспортной задачи позволяет описывать множество ситуаций, весьма далеких от проблемы перевозок, в частности, находить оптимальное размещение заказов на производство изделий с разной себестоимостью.

Âкурсе линейной алгебры мы будем изучать системы линейных урав-

27

нений с произвольным числом уравнений и неизвестных.

8 a21x1

+ a22x2

+ : : : + a2nxn

>

a11x1

+ a12x2

+ : : : + a1nxn

>

>

>

<

>: : : : : : : : : : : :

>

>

>

: am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn

= b1;

= b2;

(6:1)

:: :

=bm:

Числа aij коэффициенты системы, они образуют матрицу A = (aij),

называемую матрицей системы.

Дополняя матрицу A столбцом свободных членов, получим

ренную матрицу системы

 

 

j

 

1

 

0 a21

a22

: : : a2n

b2

 

a11

a12

: : : a1n

j

b1

C

 

A = B : : :

: : :

: : : : : :

: : :

:

B

 

: : : amn

j

bm

C

 

e B am1 am2

j

C

 

B

 

 

 

C

 

@

 

 

 

 

A

 

расши-

(6:2)

Свободные члены отделены от основной матрицы чертой.

Обозначим X = (x1; x2; : : : ; xn)T матрицу-столбец неизвестных,

B = (b1; b2; : : : ; bm)T матрицу-столбец свободных членов. Используя

операцию умножения матриц, систему (6:1) можно записать в матрич- ном виде

AX = B:

(6:3)

Решением системы (6:1) называется

упорядоченный набор чисел

(x1; x2; : : : ; xn); при подстановке которого в систему уравнений вме- сто неизвестных x1; x2; : : : ; xn каждое уравнение превращается в верное числовое равенство. Система (6:1) называется совместной, если

она имеет хотя бы одно решение. Совместная система (6:1) называется

определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю (b1 = b2 = : : : = bm = 0), и неоднородной, если хотя один из свободных членов отличен от нуля.

При рассмотрении систем линейных уравнений возникают вопросы: 1) имеет ли система хотя бы одно решение (совместна ли система);

28