
Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия
.pdf
является обратной матрице A. Для этого рассмотрим произведение
0 a21 |
a22 |
: : : a2n |
1 |
|
1 |
|
0 A12 |
A22 |
: : : An2 |
1 |
|
||||||
A A0 = B |
a11 |
a12 |
: : : a1n |
C |
|
|
|
B |
A11 |
A21 |
: : : An1 |
C |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
: : : |
: : : : : : : : : |
jAj |
: : : |
: : : |
: : : : : : |
||||||||||||
B a |
n1 |
a |
n2 |
: : : a |
C |
|
|
|
B A |
1n |
A |
2n |
: : : A |
C |
|
||
B |
|
|
nn |
C |
|
|
|
B |
|
|
nn |
C |
|
||||
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
1 |
|
|
|
|
|
0 kn |
n |
n |
||
|
|
|
|
|
|
P |
P |
P |
|
= 1 |
|
|
|
a1kA1k |
a1kA2k : : : |
a1kAnk |
C: |
||
|
|
B k=1 a2kA1k |
k=1 a2kA2k : : : |
k=1 a2kAnk |
|||||
|
|
|
|
|
B |
=1 |
k=1 |
k=1 |
C |
|
|
A |
|
|
B P : : : |
P : : : : : : |
P : : : |
C |
|
|
j |
|
j |
B |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
B |
n |
n |
n |
C |
|
|
|
|
|
B |
ankA1k |
ankA2k : : : |
ankAnk |
C |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
B k=1 |
k=1 |
k=1 |
C |
|
|
|
|
|
|
@ |
P |
P |
P |
A |
По теореме 3.1 все элементы произведения матриц, стоящие на главной диагонали, равны определителю матрицы A, а остальные элементы полученной матрицы равны нулю по теореме 3.2. Следовательно, произведение
1 |
|
0 j0j |
A |
: : : |
|
0 |
|
1 |
0 0 |
1 |
: : : |
0 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
B |
A |
0 |
: : : |
|
0 |
|
C |
= B |
1 |
0 |
: : : |
0 |
|
C |
|
A A0 = |
|
|
|
j: : :j |
|
|
= E: |
|||||||||||
jAj |
: : : |
: : : : : : |
: : : : : : : : : : : : |
|||||||||||||||
|
|
|
B |
0 |
0 |
: : : |
j |
A |
j |
C |
B |
0 |
0 |
: : : |
1 |
|
C |
|
Аналогично |
B |
|
|
|
|
C |
B |
|
A0 A = E |
|
C |
|
||||||
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
A |
|
||||||
|
|
|
показывается, что произведение |
|
|
|
. |
|
2) Теперь докажем единственность обратной матрицы. Пусть матрица A00 также является обратной для матрицы A. Рассмотрим произведение A0 A A00. Имеем
A0 A A00 = (A0 A) A00 = E A00 = A00;
A0 A A00 = A0 (A A00) = A0 E = A 1:
Из этих равенств следует, что A00 = A0.
Обозначается обратная матрица A 1.
Условие невырожденности квадратной матрицы является не только достаточным, но и необходимым для существования обратной матрицы.
Теорема 4.2. Если квадратная матрица A имеет обратную матрицу,
то она невыроженная матрица.
Доказательство. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A 1. Тогда A A 1 = E. Значит, jA A 1j = jEj = 1. По свойству 9 определителей имеем jA A 1j = jAj jA 1j. Следовательно, jAj jA 1j = 1. Откуда вытекает, что jAj 6= 0.
|
! |
6 |
7 |
Пример 4.1. Найдите матрицу, обратную матрице A = |
: |
4 |
5 |
19
Решение . Вычислим определитель. |
|||||||
j j |
|
|
4 |
5 |
|
|
6 |
A = |
|
|
7 |
|
= 30 28 = 2 = 0; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значит матрица A невырожденная и для нее существует обратная матрица. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A:
A11 = 5; A12 = ( 4) = 4; |
A21 = ( 7) = 7; A22 = 6: Составим присоеди- |
||
ненную матрицу A = |
7 |
8 |
!: Транспонировав ее и разделив на определитель, |
|
5 |
4 |
|
получим матрицу, обратную матрице A
!!
|
|
|
|
|
|
A 1 = |
1 |
5 |
7 |
= |
|
2; 5 |
|
3; 5 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
6 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выполним проверку. Для этого вычислим произведение |
|
4 3; 5 + 5 3 |
! |
||||||||||||||||||
|
|
|
4 5 |
! |
2 |
3 |
! |
|
4 |
|
2; 5 + 5 2 |
|
|||||||||
A |
|
A 1 = |
6 |
7 |
|
2; 5 3; 5 |
= |
6 2; 5 |
7 |
2 6 |
3; 5 |
7 |
3 |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!
1 0
== E:
0 1
Пример 4.2. Найдите матрицу, обратную матрице
0 1
1 3 2
A = B 2 4 1 C:
@A
|
|
3 |
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение . Вычислим определитель. |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 30 = 0; |
|
|||||||||||||||||||||||||
A = |
2 4 1 |
|
|
= |
|
0 |
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
j j |
|
1 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||||
|
|
3 |
|
1 4 |
|
|
|
|
|
0 |
10 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значит, |
матрица A |
невырожденная |
è |
äëÿ |
нее существует |
обратная матрица. Вычис- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лим алгебраические |
|
дополнения |
элементов |
матрицы A: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
A11 = ( 1)1+1 |
|
41 |
|
|
4 |
|
= 17; A12 = ( 1)1+2 |
|
3 |
|
4 |
|
= 5; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A13 |
= ( 1) |
1+3 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2+1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
= |
|
10; |
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
= 14; A21 = ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A22 |
= ( 1) |
2+2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2+3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
= 10; A23 = ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= 10; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A31 |
= ( 1) |
3+1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3+2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
= 5; |
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
= 11; A32 = ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A33 |
= ( 1) |
3+3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20

Составим присоединенную матрицу |
A |
= |
0 |
10 |
10 |
10 |
1 |
: Транспонировав |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
17 |
5 |
14 |
C |
|
|
ее и разделив на определитель, получим |
|
|
11 |
5 |
2 |
|
A |
|||||||||||||
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 = 30 0 |
|
матрицу, обратную матрице |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 10 |
5 1: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
B |
17 |
10 |
11 |
C |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
10 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
Проверку выполните самостоятельно, то есть покажите, что |
|
|
|
|||||||||||||||||
0 2 4 |
1 |
1 |
1 0 |
|
5 10 |
|
5 1 = E. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 3 |
2 |
|
|
|
|
17 |
10 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B 3 1 4 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
14 10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
@ |
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод вычисления обратной матрицы с использованием алгебраиче- ских дополнений можно применять, если порядок матрицы мал.
Для матриц, порядки которых достаточно велики, для вычисления обратной матрицы удобно применять метод Гаусса 10 Жордана11, который состоит в следующем: Справа к матрице A припишем единичную мат-
рицу E. Используя элементарные преобразования матрицы, приведем
матрицу A к единичной матрице. Тогда вторая матрица окажется
равной A 1. Этим методом можно найти обратную матрицу для невы-
рожденной квадратной матрицы любого порядка.
Пример 4.3. Методом Жордана-Гаусса найдите матрицу, обратную
0 1
1 3 2
матрице A = B 2 4 1 C:
@A
3 1 4
10Иоганн Карл Фридрих Гаусс (Johann Carl Friedrich Gauss) (1777-1855) немецкий математик, астроном и геодезист, почетный член Петербургской АН. Считается одним из величайших математиков всех времeн, "королeм математиков". С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: в алгебре, теории чисел, дифференциальной и неевклидовой геометрии, математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, а также в небесной механике, астрономии, физике. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс мгновенно получил результат. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника, нашeл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки. В
1815 году публикует первое строгое доказательство основной теоремы алгебры. В его бумагах обнаружены заметки по тому предмету, что позже назвали топологией. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы
ознакомиться с трудами Лобачевского.
11Мари Энмон Камиль Жордан (Jordan) (1838-1922) французский математик), издатель "Journal de mathеmatiques pures et appliquеes"(1885-1921), член-корреспондент Петербургской АН. Работы Жордана относятся к алгебре (нормальная жорданова форма матриц), теории функций (понятие функции с ограниченным изменением), а также топологии и кристаллографии.
21
Решение . Припишем справа к матрице единичную матрицу и и с помощью элементарных преобразований перегоним единичную матрицу налево.
A = 0 2 4 |
|
1 |
|
j |
0 1 0 |
|
1 |
0 0 2 5 |
|
j 2 1 |
0 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
B |
1 3 |
2 |
|
1 0 0 |
|
C B |
1 3 |
|
|
2 |
j 1 0 |
0 |
C |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 1 4 jj |
0 0 1 |
|
0 10 10 j 3 0 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
||||||
0 0 1 |
|
5=2 |
|
|
j |
1 |
|
1=2 0 1 |
0 1 |
5=2 |
j 1 1=2 0 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
B |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 0 |
11=2 |
j 2 3=2 0 |
|
|
|||||||||||
|
0 |
10 |
10 jj |
3 |
0 |
|
|
0 C B |
0 0 |
15 j 7 |
|
5 1 C |
|
|
||||||||||||||||||||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
1: |
||||
|
0 0 |
1 |
5=2 |
j |
|
|
|
1 |
|
|
1=2 |
|
|
0 |
|
|
1 0 |
0 1 0 |
j |
|
|
1=6 1=3 |
1=6 |
|||||||||||
|
B |
1 |
0 11=2 |
|
|
|
2 |
|
3=2 |
|
|
0 |
|
|
C |
|
B |
1 0 0 |
17=30 1=3 11=30 |
C |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
jj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
7=15 1=3 1=15 |
|
|
0 0 1 j 7=15 1=3 1=15 |
||||||||||||||||||||||||||
|
@ |
|
|
|
0 |
|
17 |
|
1 |
|
11 |
|
1 |
= 1 |
A |
|
|
@ |
10 |
|
5 |
1 |
|
: |
|
A |
||||||||
|
Èòàê, A 1 = |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
30 |
|
3 |
|
30 |
|
C |
|
|
|
|
B |
|
17 |
|
10 |
11 |
C |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 |
3 |
|
15 |
|
|
|
|
14 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
@ |
|
7 |
1 |
1 |
|
A |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства обратной матрицы.
1. jA |
j = A ; |
|
|
|
|
2. (A |
) |
T |
= (A |
) |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
) |
1 j j |
|
|
|
|
|
4. (AB) |
1 |
|
|
|
1 |
A |
1. |
|
|
|
|
|
|||||||
3. (A |
|
= A; |
|
|
|
|
|
= B |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задания для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
!: |
|||||||||||||||||||||
Задание 4.1. Найдите матрицу, обратную матрице A = |
7 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
Задание 4.2. Найдите матрицу, обратную матрице |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
a) A = 0 3 7 15 1; á) A = 0 |
5 4 4 1; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
B |
|
1 |
2 |
4 |
|
C |
|
B |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
C |
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
||
â) A = 0 2 7 13 1; ã) A = 0 |
3 2 1 1: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
B |
|
1 |
4 |
2 |
C |
|
|
B |
2 |
4 |
|
3 |
|
C |
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
10 |
7 |
|
|
4 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
Задание 4.3. Найдите матрицу, обратную матрице |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
0 2 |
3 3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
0 2 5 3 |
3 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
à) A = B |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
0 |
C; á) A = |
B |
1 |
|
2 |
2 |
1 |
C |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
4 15 7 |
1 |
: |
|
|
|||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
B |
1 |
|
|
3 2 |
5 |
C |
|
|
|
|||||
B |
|
3 0 25 13 |
C |
|
|
|
|
B |
|
|
C |
|
|
|
|||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
22
Задание 4.4. При каких значениях k матрица A имеет обратную, если
à) A = |
0 k 1 |
|
4 1; |
á) |
A = |
0 3 |
2 |
1 |
1; |
â) |
A = |
0 2 |
5 |
1 1. |
||||||
|
B |
1 |
2 |
1 |
C |
|
|
B |
k |
1 |
1 |
C |
|
|
B |
k |
4 |
1 |
C |
|
|
3 |
k |
|
|
|
|
1 |
k |
2 |
|
|
0 |
k |
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
A |
5. Матричные уравнения.
Пусть A невырожденная квадратная матрица.
Поставим задачу: найти такие матрицы X è Y , чтобы были справед-
ливы уравнения A X = B è Y A = B (в общем случае X 6= Y ).
Так как A невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица A 1. Умножим обе части уравнения AX = B на матрицу A 1 слева. Получим
|
|
A 1AX = A 1B |
èëè |
|
X = A 1B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Аналогично можно получить, что Y = BA 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 5.1. Пусть A = |
6 |
|
7 |
! |
, B = |
|
|
7 |
|
3 |
!. Решите урав- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
9 |
|||||||||
нения AX = B è Y A = B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
!, обратная матрице A была найдена в при- |
||||||||||||||||||||||||||||
Решение . Матрица A |
1 |
= |
1 |
5 |
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||
ìåðå 4.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найдем матрицы: |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X = A 1B = 1 |
5 7 |
|
7 3 |
= |
1 |
5 7 + 7 ( 3) 5 ( 2) + 7 9 |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
4 6 |
|
|
2 9 |
! |
2 |
4 |
|
7 + 6 |
|
( 3) 4 |
|
( |
|
2) + 6 |
|
9 |
! |
||||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
14 |
53 |
7 |
26; 5 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
10 |
46 |
5 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
! |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
||||||||
|
|
|
2 |
|
2 9 |
4 6 |
2 |
( 3) 5 + 9 4 ( 3) 7 + 9 6 |
|||||||||||||||||||||||
|
Y = BA 1 = 1 |
7 |
3 |
|
5 7 |
= 1 |
7 |
|
5 + ( 2) |
|
4 7 |
|
7 + ( 2) |
|
6 |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
1 |
27 |
37 |
13; 5 |
|
18; 5 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
21 |
33 |
10; 5 |
|
16; 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот пример еще раз подтверждает, что умножение матриц не коммутативно.
Задания для самостоятельного решения
23
Задание 5.1. Решите уравнения AX = B è Y A = B, åñëè
|
|
2 |
7 |
! |
|
|
7 |
|
|
1 |
!. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
1 |
2 |
, |
B = |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5.2. Решите уравнения AX = B è Y A = B, ãäå |
|
|
||||||||||||||||||||
A = |
0 2 |
10 |
|
7 1, |
B = |
0 5 3 |
1 1: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
B |
1 |
|
4 |
|
2 |
|
B |
|
2 1 |
3 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
10 8 C |
|
|
|
4 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
@ |
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание 5.3. Решите уравнения |
1; á) 0 3 7 5 |
1X = 0 13 |
1; |
|||||||||||||||||||
à) 0 3 |
7 15 1X = 0 |
|
4 1 |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 4 |
|
|
|
2 5 |
|
|
|
1 |
3 2 |
|
1 |
||||||||
B |
|
|
|
|
2 C B |
|
3 |
|
|
2 |
C B |
|
|
|
2 |
C B |
0 |
C |
||||
4 1 |
|
|
|
|
4 3 |
|
||||||||||||||||
@ |
|
|
|
|
|
A @ |
|
|
|
|
|
A @ |
|
|
|
A @ A |
||||||
â) 0 3 |
3 4 |
|
1X = 0 5 2 |
1; |
|
ã) |
0 3 2 |
|
1 |
1X = 0 |
3 1. |
|||||||||||
|
1 |
|
2 2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
2 |
4 3 |
|
5 |
|
||||||
B |
|
|
|
|
C B 1 |
|
|
2 |
C |
|
|
B |
4 1 |
|
|
C B |
|
C |
||||
2 1 3 |
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|||||||||||||||
@ |
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
A @ |
|
A |
Задание 5.4. Решите уравнения
01
a) X |
B |
2 |
1 |
3 |
C |
= |
2 4 |
5 !; |
5 4 |
4 |
|||||||
@ |
|
|
|
A |
3 5 |
1 |
||
|
3 |
1 |
7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
01
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
3 |
1 |
!; |
á) X |
B |
3 |
4 7 |
C |
= |
5 |
1 |
2 |
|||||
|
2 |
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
@ |
1 |
|
4 |
2 |
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
â) X |
0 |
2 |
|
7 |
3 |
= |
|
2 1 |
|
3 . |
|
||
|
B |
3 |
|
10 |
7 |
C |
|
|
|
|
|
||
|
@ |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5.5. Решите уравнения
a) |
4 7 !X |
3 |
|
7 |
! = |
2 |
9 !; |
||||
|
1 |
3 |
|
4 |
|
10 |
|
|
5 |
4 |
|
á) |
2 1 !X |
|
|
|
|
|
|
|
!; |
||
2 |
|
1 ! |
= |
10 |
|
5 |
|||||
|
7 |
5 |
! |
5 |
|
3 |
! |
23 |
10 |
38 !. |
|
â) |
3 |
4 |
|
2 3 |
|
3 |
|||||
|
2 |
5 |
X |
1 |
4 |
= |
|
2 |
37 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24

>
Задание |
5.6. |
|
Решите систему матричных уравнений |
|
8 |
X + Y = |
1 |
1 |
|
0 |
1 !; |
|||
> |
|
|
|
|
> |
|
1 |
0 |
|
> |
|
|
||
> |
|
|
|
|
< |
2X + 3Y = |
0 |
1 |
: |
> |
|
! |
>
>
:
6. Системы линейных уравнений.
В школе вы изучали системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
(
a1x + b1y = c1; a2x + b2y = c2:
Напомню один из методов решения этой системы.
Умножим первое уравнение на b2, а второе на b1, а затем сложим эти уравнения
(
a1b2x + b1b2y = b2c1;a2b1x b1b2y = b1c2:
Получим (a1b2 a2b1)x = b2c1
b1c2.
Заметим, что a1b2 a2b1 |
= |
|
a1 |
b1 |
, c1b2 |
c2b1 |
= |
|
c1 |
b1 |
. Обозначим эти опре- |
a2 |
b2 |
c2 |
b2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делители через и x соответственно. Равенство для определения x принимает вид
x = x:
Åñëè 6= 0, òî
x = x :
Аналогично можно получить, что
y = y ;
ãäå y = |
a2 |
c2 |
: |
|
a1 |
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как уравнение ax + by = c задает на плоскости прямую, то система двух
уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение, если прямые, задающие уравнения, пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают.
Аналитически эти условия можно записать следующим образом:
система имеет единственное решение, если aa12 6= bb12 ,
система не имеет решений, если a1 = b1 6= c1 , a2 b2 c2
система имеет бесконечно много решений, если a1 = b1 = c1 . a2 b2 c2
25

Рассмотрим задачу, при решении который применяются системы линейных уравнений. Классическая транспортная задача одна из задач линейного программирования о поиске оптимального распределения однородных объектов. В общем случае под названием транспортная зада- ча, определяется широкий круг задач с единой математической моделью. Для простоты понимания она рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления с минимальными затратами на перевозки. Задача была впервые формализована французским математиком Гаспаром Монжем 12. Существенное продвижение в решении транспортной задачи было сделано советским математиком и экономистом Леонидом Канторовичем 13. Поэтому иногда эта проблема называется транспортной задачей Монжа Канторовича.
Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов
отправления A1; A2; : : : ; Am â n пунктов назначения B1; B2; : : : ; Bn. Ïðè этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через cij тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через ai запасы груза в i-м пункте отправления, через bj потребности в грузе в j-м пункте назначения, а через xij количество единиц груза, перевозимого из i-ãî
12Гаспар Монж, граф де Пелюз (Gaspard Monge, comte de Peluse) (1746-1818) французский математик, геометр, государственный деятель. Монж разработал основы начертательной геометрии и вариационного исчисления. Он определил, что вода представляет соединение водорода и кислорода.
13Леонид Витальевич Канторович (1912-1986) советский математик и экономист, один из создателей линейно-
го программирования, лауреат Нобелевской премии по экономике "за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов". Развил общую теорию приближ¸нных методов, построил эффективные методы решения операторных уравнений, первым применил функциональный анализ в вычислительной математике, развил идею оптимальности в экономике. Интересный факт: После того, как Л. В. Канторовичем был предложен оптимальный метод распила фанерного листа, этот метод попытались применить к разрезанию стальных листов. После внедрения методов оптимизации на производстве одной из фабрик инженерам удалось улучшить показатели, что привело, однако, к негативным последствиям: а) система социалистического планирования требовала, чтобы в следующем году план был перевыполнен, что было принципиально невозможно при имеющихся ресурсах (поскольку найденное решение было абсолютным максимумом); б) фабрика не выполнила план по металлолому, львиная доля которого складывалась из обрезков стальных листов. Руководство фабрики получило выговор от партии и больше с математиками не связывалось.
26

пункта отправления в j-й пункт назначения. Тогда математическая по-
становка задачи состоит в определении минимального значения функ- |
||
m n |
|
m |
iP P |
cijxij при условиях |
P |
öèè F = |
xij = bj (каждый потребитель |
|
=1 j=1 |
|
i=1 |
n
получает нужное количество продукта), P xij = ai (каждый поставщик
j=1
отгружает весь произведенный продукт) и xij > 0 (условиe неотрицательности: поставка от какого-то пункта производства тому или иному пункту потребления может быть равна нулю, но отрицательнîé, следо-
вать в обратном направлении, быть не может) ( i = 1; m, j = 1; n).
Âнастоящее время разработано много различных алгоритмов решения транспортной задачи: распределительный метод, метод потенциалов, дельта-метод, метод дифференциальных рент, способ двойного предпо- чтения, различные сетевые методы. По ним составлены десятки программ. Во многих снабженческих, транспортных и других организациях с их помощью рассчитываются маршруты доставки материалов на строительные площадки, планы длительного прикрепления поставщиков металлопроката к потребителям, планы перевозок топлива. Задачи эти часто усложняются разного рода дополнительными условиями: например, в них включается расчет не только себестоимости перевозок, но и себестоимости производства продукции (производственнотранспортная задача), оптимизируется совместно доставка взаимозаменяемых видов продукции, оптимизируется доставка грузов с промежуточными базами (складами). Кроме того, следует учитывать, что экономико-математическая модель транспортной задачи позволяет описывать множество ситуаций, весьма далеких от проблемы перевозок, в частности, находить оптимальное размещение заказов на производство изделий с разной себестоимостью.
Âкурсе линейной алгебры мы будем изучать системы линейных урав-
27
нений с произвольным числом уравнений и неизвестных.
8 a21x1 |
+ a22x2 |
+ : : : + a2nxn |
|
> |
a11x1 |
+ a12x2 |
+ : : : + a1nxn |
>
>
>
<
>: : : : : : : : : : : :
>
>
>
: am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn
= b1;
= b2;
(6:1)
:: :
=bm:
Числа aij коэффициенты системы, они образуют матрицу A = (aij),
называемую матрицей системы.
Дополняя матрицу A столбцом свободных членов, получим
ренную матрицу системы |
|
|
j |
|
1 |
|
0 a21 |
a22 |
: : : a2n |
b2 |
|
||
a11 |
a12 |
: : : a1n |
j |
b1 |
C |
|
A = B : : : |
: : : |
: : : : : : |
: : : |
: |
||
B |
|
: : : amn |
j |
bm |
C |
|
e B am1 am2 |
j |
C |
|
|||
B |
|
|
|
C |
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
расши-
(6:2)
Свободные члены отделены от основной матрицы чертой.
Обозначим X = (x1; x2; : : : ; xn)T матрицу-столбец неизвестных,
B = (b1; b2; : : : ; bm)T матрицу-столбец свободных членов. Используя
операцию умножения матриц, систему (6:1) можно записать в матрич- ном виде
AX = B: |
(6:3) |
Решением системы (6:1) называется |
упорядоченный набор чисел |
(x1; x2; : : : ; xn); при подстановке которого в систему уравнений вме- сто неизвестных x1; x2; : : : ; xn каждое уравнение превращается в верное числовое равенство. Система (6:1) называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение. Совместная система (6:1) называется
определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю (b1 = b2 = : : : = bm = 0), и неоднородной, если хотя один из свободных членов отличен от нуля.
При рассмотрении систем линейных уравнений возникают вопросы: 1) имеет ли система хотя бы одно решение (совместна ли система);
28