Компьютерное моделирование и проектирование

СЛАУ с трехдиагональной матрицей, т.е. с матрицей, все элементы которой, не лежащие на главной и двух побочных диагоналях, равны нулю (аij=0 при j>i+1 и j<i–1), представляет собой частный случай (32). Актуальность рассмотрения такого частного случая объясняется широким классом краевых задач для дифференциальных уравнений (см. 16.3), решение которых разностным методом сводится именно к таким СЛАУ.

В общем случае СЛАУ с трехдиагональной матрицей имеют вид

Для численного решения систем с трехдиагональными матрицами применяется метод прогонки, который представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных.

Приведем вывод расчетных формул метода прогонки. Будем искать решение системы (51) в виде

где αj+1, βj+1 −неизвестные пока коэффициенты. Отсюда найдем

y j−1 =αj y j + βj =αj (αj+1 y j+1 + βj+1) + βj =

=αjαj+1 y j+1 + (αj βj+1 + βj ), j =1,2,..., N −1.

Подставляя полученные выражения для y j , y j−1 в уравнения (51), приходим при j =1,2,..., N −1 к уравнению

αj+1(a jαj − cj + bj ) y j+1 + βj+1(a jαj − cj ) + a j βj + f j = 0.

Последнее уравнение будет выполнено, если коэффициенты αj+1, βj+1 выбрать такими, чтобы выражения в квадратных скобках обращались в нуль. А именно, достаточно положить

Соотношения (54) представляют собой нелинейные разностные уравнения первого порядка. Для их решения необходимо задать начальные

41

значения α1, β1. Эти начальные значения находим из требования эквивалентности условия (53) при j=0, т.е. условия y0 =α1 y1 + β1, первому из уравнений (52). Таким образом, получаем

называется прямой прогонкой. После того как прогоночные коэффициенты αj+1, βj+1, j = 0,1,..., N −1 найдены, решение системы (51),(52) находится по

рекуррентной формуле (53), начиная с j=N–1. Для начала счета по этой формуле требуется знать yN, которое определяется из уравнений

yN = χ2 yN −1 + µ2 , yN −1 =αN yN + βN

и оказывается равно

Нахождение y j по формулам (53), начиная с (56), называется

обратной прогонкой. Алгоритм решения системы (51) и (52), определяемый по формулам (54)–(56), называется методом прогонки.

Метод прогонки можно применять, если знаменатели выражений (54), (56) не обращаются в нуль. Покожем, что для возможности применения метода прогонки достаточно потребовать, чтобы коэффициенты системы (51), (52) удовлетворяли условиям

Заметим, что числа aj ,bj ,cj , χ1, χ2 могут быть комплексными.

Сначала докажем по индукции, что при условиях (57), (58) модули прогоночных коэффициентов αj , j =1,2,..., N −1 не превосходят единицы.

cj −αjaj ≥ bj > 0, т.е. знаменатели выражений (54) не обращаются в нуль. Более того,

т.е. не обращается в нуль и знаменатель выражения для yN .

К аналогичному выводу можно прийти и в том случае, когда условия

В этом случае из предположения αj ≤1 следует

cj −αj aj ≥ cj − aj > bj , αj+1 <1,

т.е. все прогоночные коэффициенты, начиная со второго, по модулю строго меньше единицы. При этом

1− χ2αN ≥1− χ2 αN ≥1− αN > 0.

Таким образом, при выполнении условий (57), (58) (так же как и условий (59), (60)) система (51)–(52) эквивалентна системе (54)–(56). Поэтому условия (57), (58) (или условия (59), (60)) гарантируют существование и единственность решения системы (51), (52) и возможность нахождения этого решения методом прогонки. Кроме того,

доказанные неравенства αj ≤1, j =1,2,..., N обеспечивают устойчивость счета по рекуррентным формулам (56). Последнее означает, что

ипогрешность окажется равной

δj0 = y%j0 − y j0 =α j0 +1δ j0 +1.

10 Интерполяция функций

Интерполяция состоит в следующем: для данной функции y = f (x) строим многочлен ϕ(x) степени m, принимающий в заданных точках xi те же значения yi , что и функция f (x) , т.е.

При этом предполагается, что среди значений xi нет одинаковых, т.е.

условием интерполяции.

Таким образом, близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе n точек x0 … xn (рисунок 3, сплошная линия).

Рис. 3 - Интерполяция и аппроксимация

44

Максимальная степень интерполяционного многочлена m = n ; в этом случае говорят о глобальной интерполяции, поскольку один многочлен

интервале изменения аргумента x . Коэффициенты aj многочлена (62) находятся из системы уравнений (61). Можно показать, что при xi ≠ xk

(i ≠ k ) эта система имеет единственное решение. При большом количестве узлов интерполяции получается высокая степень многочлена (62).

Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения x . В этом случае имеем кусочную (или локальную) интерполяцию.

Как правило, интерполяционные многочлены используются для представления функции в промежуточных точках между крайними узлами интерполяции, т.е. при x0 < x < xn . Однако иногда они используются и для

приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка ( x < x0, x > xn ). Это приближение называют экстраполяцией.

Рассмотрим сначала случаи глобальной интерполяции, т.е. построение интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка Существует несколько алгоритмов построения такого

интерполяционного многочлена.

10.1 Канонический многочлен

Искомый многочлен записывается в виде (62). Из основного условия интерполяции получим следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов a0,a1,...,an :

Можно показать, что эта система имеет единственное решение, если среди узлов интерполяции нет совпадающих, т.е. если xi ≠ xk , при k ≠ i .

Решив эту систему, найдем коэффициенты интерполяционного многочлена

45

Введем также понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах xi : yi = f (xi ) . Составим разности значений

функции:

∆y0 = y1 − y0 = f (x0 + h) − f (x0 ), ∆y1 = y2 − y1 = f (x0 + 2h) − f (x0 + h),

.....................................................................

∆yn−1 = yn − yn−1 = f (x0 + nh) − f (x0 + (n −1)h).

Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядка) функции. Можно составить вторые разности функции:

Эту формулу можно записать и для значения разности в узле xi :

Используя конечные разности, можно определить yk :

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в следующем виде:

48

С учетом этих соотношений формулу (74) можно переписать в виде

Полученное выражение интерполирует данную функцию y = f (x) на всем отрезке изменения аргумента [x0 , xn ] . Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа членов в

Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед.

Интерполяционную формулу (76) обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим. Разности ∆k yi вычисляются через значения функции yi , yi+1,..., yi+k , , причем i + k ≤ n ; поэтому при больших значениях i мы не можем вычислить разности высших порядков (k ≤ n −i) . Например, при i = n −3 в (76) можно учесть только ∆y , ∆2 y и

∆3 y .

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае

т.е. t < 0, и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде

Формула (78) называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.

50